公眾號(hào)“鄒生書數(shù)學(xué)”創(chuàng)建于2018年8月28日。    

開號(hào)宗旨：為熱愛學(xué)習(xí)和研究的高中數(shù)學(xué)教師和教研員搭建學(xué)習(xí)交流平臺(tái)，提升教學(xué)能力，促進(jìn)專業(yè)發(fā)展。本公眾號(hào)致力傳播數(shù)學(xué)文化，發(fā)表教研成果，交流教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探討數(shù)學(xué)問題，展示解題方法，分享教學(xué)資源，為服務(wù)高中教學(xué)作貢獻(xiàn)。

鄒生書，男，1962年12月出生，本科學(xué)歷，理學(xué)士學(xué)位，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，黃石市高中數(shù)學(xué)骨干教師。主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)、高中數(shù)學(xué)解題研究和探究性學(xué)習(xí)等。從2007年8月到2018年8月，在《數(shù)學(xué)通訊》《數(shù)學(xué)通報(bào)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》《中學(xué)數(shù)學(xué)》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》等，二十多種學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表解題和探究性學(xué)習(xí)文章300余篇。

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圓錐曲線阿基米德焦點(diǎn)三角形

的若干性質(zhì)

湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué)       鄒生書

圓錐曲線弦的兩個(gè)端點(diǎn)和在這兩端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形叫做阿基米德三角形，這條弦叫做阿基米德三角形的底，兩切線的交點(diǎn)叫做阿基米德三角形的頂點(diǎn)。特別地，我們把底邊過焦點(diǎn)的阿基米德三角形稱之為阿基米德焦點(diǎn)三角形。筆者借用幾何畫板研究發(fā)現(xiàn)圓錐曲線阿基米德焦點(diǎn)三角形有如下美妙性質(zhì)。

【性質(zhì)1】如圖1，已知點(diǎn)P是拋物線y²=2px(p>0) 過焦點(diǎn)F的弦AB在兩端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)，則

（1）PA⊥PB；

（2）點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上；

（3）PF⊥AB；

（4）△PAB面積的最小值為p²。

綜上可知，圓錐曲線阿基米德焦點(diǎn)三角形有如下統(tǒng)一性質(zhì)：

【定理】圓錐曲阿基米德焦點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)在焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，頂點(diǎn)在底邊上的射影就是焦點(diǎn)，當(dāng)?shù)走厼橥◤綍r(shí)阿基米德焦點(diǎn)三角形面積最小，其值為圓錐曲線的通徑長(zhǎng)與焦準(zhǔn)距的積的一半。

上述性質(zhì)實(shí)際上就是圓錐曲焦點(diǎn)弦的性質(zhì)。由文[1]知，圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是一對(duì)極點(diǎn)和極線，阿基米德三角形的頂點(diǎn)和底邊所在的直線也是一對(duì)極點(diǎn)與極線，弦端點(diǎn)和該端點(diǎn)處的切線仍為一對(duì)極點(diǎn)與極線，因此本文的性質(zhì)也就是極點(diǎn)與極線的性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1]鄒生書。圓錐曲線極點(diǎn)與極線的一組性質(zhì)。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（4）