據(jù)說高考改革方案中的數(shù)學(xué)考試占有重要份額，由此聯(lián)想到為什么'社會這樣喜愛數(shù)學(xué)'這個教育問題。既然數(shù)學(xué)被民眾'重視'到了如此地步，索性就讓大家看看高深數(shù)學(xué)王國中一些一線城市的風(fēng)貌。只要大膽和堅持，保證會有點滴收獲。
面對數(shù)學(xué)的巒峰，其實所有的數(shù)學(xué)人都是數(shù)學(xué)努力進程中的無窮小量。對那些讓我們崇拜與尊敬的偉大數(shù)學(xué)家們而言，當對比廣博的數(shù)學(xué)同仁時，他們才是數(shù)學(xué)努力進程中的無窮大量。要想成為數(shù)學(xué)的無窮大量型人才，第一件事就是在心理上必須解除任何的“名人未解、自己無望”的悲觀研究心理障礙，使得自身處于完全無約束的能量自由勃發(fā)狀態(tài)，然后才可能真實地驗證出自己的數(shù)學(xué)價值。非數(shù)學(xué)人士其實可以類似地打開自己數(shù)學(xué)心扉和挖掘數(shù)學(xué)潛能。在數(shù)學(xué)成才教育中，學(xué)生自身的潛能、興趣、能力、志向、毅力、勤勉與自信等微觀元素的宏觀合成是至關(guān)重要的數(shù)學(xué)教育成才技術(shù)。在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)洗禮之后, 廣大數(shù)學(xué)愛好者非數(shù)學(xué)符號地進入現(xiàn)代核心分析數(shù)學(xué)的海洋中暢游, 不失之為一條快速提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的捷徑。撰寫本文的動力是教育成才理念的鼓舞，而非作者學(xué)識之因。泛函分析，調(diào)和分析，復(fù)分析，隨機分析，偏微分方程和大范圍分析等核心分析數(shù)學(xué)學(xué)科的知識寶庫足以讓代代數(shù)學(xué)人追求永遠，因而個人之力就是個微重力而已。數(shù)學(xué)的雄峰雖難以撼動，但通過教育的望遠鏡卻可以領(lǐng)略其幾何的教育外貌，這也許正是本文的微小作為之處。泛函分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的重要分支之一，其深遠的理論體系和廣泛的應(yīng)用價值已經(jīng)對現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)，乃至現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都產(chǎn)生了重大影響。大學(xué)本科階段的泛函分析課程主要以線性泛函分析中的賦范線性空間及其上的有界線性算子理論等一些最基本內(nèi)容為主。研究生階段的線性泛函分析主要介紹緊算子與Fredholm算子、Banach代數(shù)、無界線性算子、線性算子半群、廣義函數(shù)、Hilbert-Schmidt算子與跡類算子等內(nèi)容。研究生階段的非線性泛函分析課程一般簡要講授Banach空間上的微積分學(xué)、隱函數(shù)定理與分歧問題、拓撲度、單調(diào)算子以及變分方法等基本內(nèi)容。泛函分析的主要研究方向為: 線性算子譜理論、函數(shù)空間、Banach空間幾何學(xué)、算子代數(shù)、非交換幾何、應(yīng)用泛函分析以及非線性泛函分析的相關(guān)研究方向等。
泛函分析是經(jīng)過數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和空間解析幾何的“升空式洗禮”，而從“地上”到“天上”的一個數(shù)學(xué)抽象推廣過程。有限維空間的幾何理論以及從有限維空間到有限維空間的映射理論是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)一二年級的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。若只考慮線性映射的運算性質(zhì)，那就是線性代數(shù)。若考慮非線性映射的連續(xù)性與光滑性，那就是微積分。若把有限維空間的距離概念推廣到無限維空間，再考慮相應(yīng)的線性映射與非線性映射的連續(xù)性以及光滑性，那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)和解析幾何的很多結(jié)論在泛函分析層面上都有相應(yīng)的推廣結(jié)論。注意到這一點之后，又可以從“天上”回到“地上”了。把有限維換成無限維，以及歐式度量換成抽象度量，想法還是一樣的想法，但現(xiàn)象卻是作為拓撲、代數(shù)、幾何與分析的融合體的泛函分析了。分析、代數(shù)、幾何與拓撲的數(shù)學(xué)思想方法的交融是泛函分析發(fā)展壯大的力量之源。泛函分析已經(jīng)成為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的必要工具之一。Fields 獎獲得者J. Bourgain，A.Connes，W. Timothy Gowers，A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf獎獲得者I. M. Gelfand，M. G. Krein等著名數(shù)學(xué)家在泛函分析領(lǐng)域都做出了巨大成就。（1）M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。（2）K. Yosida, Functional Analysis, 1980。（3）J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。（4）張恭慶，林源渠，泛函分析講義，上冊，1987。（5）張恭慶，郭懋正，泛函分析講義，下冊，1990。（6）W. Rudin，F(xiàn)unctional Analysis，1991。（7）Alan Connes，Noncommutative geometry，1994。（8）P. Lax, Functional Analysis，2002。（9）Kung- Ching Chang，Methods in Nonlinear Analysis，2005。調(diào)和分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域之一，其輝煌的成就讓一代代分析學(xué)家為之傾倒與奮斗。按照華羅庚先生的說法，把已知函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的運算就叫做調(diào)和分析。事實上，調(diào)和分析也正是從Fourier級數(shù)和Fourier變換理論的研究開始發(fā)展壯大的。從物理的觀點，調(diào)和分析就是要把信號表示為基本波“調(diào)和子”的超位置疊加。幾個世紀以來，調(diào)和分析已經(jīng)形成了龐大的學(xué)科體系，并在數(shù)學(xué)、信息處理和量子力學(xué)等領(lǐng)域有著重要和深刻的應(yīng)用。
從應(yīng)用角度來說，有效確定Fourier級數(shù)問題的運算稱為實用調(diào)和分析。有限調(diào)和分析是實用調(diào)和分析的主體框架，即從有限個數(shù)據(jù)所應(yīng)計算的最恰當?shù)捻棓?shù)的角度，從有限到有限的思想方法來解決實際問題的Fourier方法是有限調(diào)和分析的應(yīng)用價值所在。再從物理的角度，人們可以發(fā)現(xiàn)量子力學(xué)中的測不準關(guān)系有著調(diào)和分析版的解釋，即 Paley – Wiener 定理所描述的非零緊支集廣義函數(shù)的Fourier變換沒有緊支集。抽象調(diào)和分析是調(diào)和分析更深入的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，即研究拓撲群上的調(diào)和分析理論，特別是Fourier變換理論。Abel緊群的Ponteyagin對偶理論是調(diào)和分析特征在現(xiàn)代數(shù)學(xué)處理中的合適寫照。對一般的非Abel局部緊群來說，調(diào)和分析是與酉群的表示論密切相關(guān)的。經(jīng)典卷積的Fourier變換是Fourier變換的乘積的性質(zhì)可以通過對緊群的Peter-Weyl 定理有所升華體現(xiàn)。當群既非Abel又非緊群時，一般的抽象調(diào)和分析理論還不是很完善。例如，是否此時存在Plancherel定理的類似物還不知道。但是在許多特殊情況下，通過無窮維表示技術(shù)是可以分析一定的相關(guān)問題的。下面主要對上的調(diào)和分析內(nèi)容進行簡要的描述，以便對調(diào)和分析方向的研究與學(xué)習(xí)有一點點便利。覆蓋技術(shù)、極大算子、Calderón–Zygmund分解、內(nèi)插技術(shù)和奇異積分算子是現(xiàn)代調(diào)和分析的基本內(nèi)容。覆蓋技術(shù)不僅是測度論的重要工具，也是調(diào)和分析的主要方法之一。Hardy–Littlewood 極大算子理論的建立與覆蓋技術(shù)息息相關(guān)。上的H.- L極大算子理論主要體現(xiàn)了一類非線性算子的-有界性理論，并且可以解決很多現(xiàn)代分析的重要問題。Calderón–Zygmund分解技術(shù)是研究奇異積分的實變量分析的關(guān)鍵方法，即把任意的可積函數(shù)拆分成“小部分”和“大部分”的和，然后用不同的技術(shù)分別處理各個部分是其思想精華所在。奇異積分算子是由帶有奇異性的積分核所產(chǎn)生的。奇異積分算子的-有界性問題是重要的研究問題之一。奇異積分算子的理論目前已經(jīng)很是豐富了。從Fourier級數(shù)和Fourier變換的經(jīng)典Fourie分析到Hardy–Littlewood 極大算子和奇異積分算子等理論，可以認為是調(diào)和分析的一次飛躍。調(diào)和分析的另外一次重大飛躍應(yīng)該是-空間（Hardy空間）、有界平均振蕩函數(shù)的BMO空間和-權(quán)理論的建立與完善。筆者認為：調(diào)和分析的最后一次飛躍也許是調(diào)和分析方法在分析學(xué)科的世界級數(shù)學(xué)猜想的解決方面的有效實踐問題。Hardy空間的研究起源于Fourier級數(shù)和單復(fù)變量分析，至今已經(jīng)有豐富的內(nèi)涵，特別是高維實方法的介入，使得-空間理論有了本質(zhì)性的現(xiàn)代發(fā)展。有界平均振蕩函數(shù)的BMO空間，也稱為John- Nirenberg空間，是在分析大師F. John和L. Nirenberg首次研究了該空間的拓撲性質(zhì)的基礎(chǔ)上而給出精確定義的。-空間，BMO空間和-權(quán)理論是現(xiàn)代調(diào)和分析的三大發(fā)明。C. Fefferman獲得Fields獎的主要工作就是，在L. Nirenberg工作的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)了BMO空間是-空間的對偶空間。BMO空間在分析數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域和概率秧論中都有重要的應(yīng)用。在BMO空間基礎(chǔ)上，L. Nirenberg與H. Brezis合作，還發(fā)現(xiàn)了作為BMO空間的子空間的VMO空間（消失平均振蕩空間），特別是將拓撲度理論推廣到屬于VMO空間的映射結(jié)果使得拓撲學(xué)家為之驚嘆。-權(quán)理論在奇異積分算子有界性研究中有著重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 對-權(quán)理論的建立做出了重要貢獻。我國世界級數(shù)學(xué)家華羅庚先生在經(jīng)典調(diào)和分析領(lǐng)域取得了世界領(lǐng)先成果。他的名著《多復(fù)變函數(shù)論中典型域上的調(diào)和分析》曾獲得首屆國家自然科學(xué)獎一等獎。北京大學(xué)的調(diào)和分析學(xué)派為中國調(diào)和分析方向的人才培養(yǎng)做出了巨大貢獻。獲得過Wolf獎和 Fields獎的調(diào)和分析名家有A. P. Calderón，C. Fefferman，E. M. Stein，T. Tao等。關(guān)于調(diào)和分析的數(shù)學(xué)著作推薦如下： （1）E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。（2）E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。（3）E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。在代數(shù)與分析學(xué)科中，復(fù)數(shù)域都是重要的基本數(shù)學(xué)沃土。復(fù)變函數(shù)的微積分理論就是經(jīng)典復(fù)分析的主要內(nèi)容之一。在復(fù)數(shù)土壤上的微積分，除了繼承傳統(tǒng)，當然也必定會出現(xiàn)新的天地，例如，Cauchy積分理論，Weierstrass 級數(shù)理論和復(fù)Riemann幾何理論等就是復(fù)數(shù)域上的特有理論。在大學(xué)的復(fù)變函數(shù)論課程中，作為雙射解析映射的共形映射理論應(yīng)該是課程的亮點部分之一。解析映射的無窮次可微性、非臨界點處的局部保角性，以及非常值映射的開集映成開集的開映射性質(zhì)等都是解析映射的本質(zhì)性性質(zhì)。解析映射的實部與虛部所對應(yīng)的Cauchy-Riemann方程更是深入推廣解析映射理論的偏微分方程出發(fā)點。大學(xué)本科的復(fù)變函數(shù)內(nèi)容已經(jīng)在除了數(shù)學(xué)之外的工程技術(shù)、電子工程和航天工程等領(lǐng)域產(chǎn)生了重要應(yīng)用。
復(fù)分析可以分成單個復(fù)變量函數(shù)論，多個復(fù)變量函數(shù)論，以及復(fù)流形上的分析理論等三個重要部分。自從19世紀左右單復(fù)變產(chǎn)生以來，單個復(fù)變量函數(shù)論的理論已經(jīng)十分完善。隨之發(fā)展的多個復(fù)變量函數(shù)論理論已經(jīng)成為現(xiàn)代主流分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。研究生階段的單復(fù)變復(fù)分析內(nèi)容主要包括Riemann映射定理、共形映射的邊界對應(yīng)定理、單值性定理、廣義Schwarz引理、共形不變量（共形模與極值長度）、擬共形映射、Riemann曲面、Riemann-Roch定理、單值化定理以及復(fù)變函數(shù)逼近論等重要內(nèi)容。鑒于單復(fù)變理論的日臻完善，該領(lǐng)域的研究趨勢正在向復(fù)動力系統(tǒng)方向縱深發(fā)展。研究生階段的多復(fù)變課程主要是在經(jīng)典多復(fù)變與現(xiàn)代多復(fù)變兩個方面加以介紹。前者是單復(fù)變理論的高維復(fù)空間推廣理論：高維復(fù)空間中的代數(shù)域及其上的多復(fù)變函數(shù)論，而后者是復(fù)流形上的相應(yīng)函數(shù)論理論。多復(fù)變課程難度更大，因而學(xué)生隊伍一般較小。多復(fù)變函數(shù)論作為單復(fù)變函數(shù)論的推廣理論，也同樣面對繼承與發(fā)揚的根本性問題。多復(fù)變有別于單復(fù)變的兩個基本定理是“不存在雙全純映射將高維復(fù)空間中的單位超球映為同一空間中的多圓柱體”的Poincaré定理，以及“高維復(fù)空間中存在如此的區(qū)域使得在此區(qū)域上的全純函數(shù)一定可以全純延拓到更大的區(qū)域之上”的Hartoge定理。Poincaré定理表明在維數(shù)大于或等于2時單復(fù)變的Riemann映射定理不再成立。Hartoge定理產(chǎn)生了高維復(fù)空間中函數(shù)論研究的合適區(qū)域判別問題。復(fù)流形上的函數(shù)論、上同調(diào)、微分形式、Cauvhy積分以及Dolbeault 和de Rham的基本定理等內(nèi)容是現(xiàn)代多復(fù)變的核心內(nèi)容之一。我國數(shù)學(xué)家在單復(fù)變與多復(fù)變領(lǐng)域都取得了世界先進水平的研究成果。例如，我國熊慶來學(xué)派的數(shù)學(xué)家在單復(fù)變亞純函數(shù)的值分布論領(lǐng)域做出了世界級的研究成果。華羅庚學(xué)派的數(shù)學(xué)家在多復(fù)變函數(shù)論中典型域上的調(diào)和分析、典型域、典型流形、積分表示與邊值問題、Schwarz引理、擬凸域等諸多方向都取得了世界領(lǐng)先成果。Fields 獎與Wolf獎獲得者中的著名數(shù)學(xué)家L. V. Ahlfors，L. Carleon，H. Cartan，Kodaira Kunihiko，J. P. Serre，C. L. Siege，S. K. Smirnov等都在復(fù)分析領(lǐng)域取得了杰出成就。關(guān)于復(fù)分析的入門數(shù)學(xué)著作推薦如下：（1） W. Rudin, Real and Complex Analysis,1966。
（2） H. Grauer, K. Fritzsche, Several Complex Variables,1976。（3） L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 1979。（5） 李 忠，復(fù)分析導(dǎo)引，2004。隨機分析是概率論分析數(shù)學(xué)深入發(fā)展的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。在隨機過程理論基石的基礎(chǔ)上，滲透拓撲、代數(shù)、幾何、分析等核心數(shù)學(xué)的思想方法，交融于實際與應(yīng)用問題的背景之下，隨機分析已然成為當今世界主流數(shù)學(xué)分支俱樂部的重要成員。我國數(shù)學(xué)家的隨機分析水平已經(jīng)步入世界先進行列，在國際數(shù)學(xué)家大會上已經(jīng)應(yīng)邀做一小時報告和四十五分鐘報告。我國的隨機數(shù)學(xué)研究隊伍也以中國科學(xué)院和一些著名大學(xué)的隨機數(shù)學(xué)學(xué)派馳名于世界。
隨機數(shù)學(xué)的兩個基本細胞應(yīng)該是測度論與隨機性。隨機性是自然界中普遍存在的客觀現(xiàn)象，測度論是分析數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。用數(shù)學(xué)模型的觀點看世界是數(shù)學(xué)家博大奉獻胸懷的基本寫照，如隨機數(shù)學(xué)的應(yīng)用內(nèi)涵所在一樣。僅從數(shù)學(xué)角度看隨機數(shù)學(xué)，那么真的不必非要提及隨機二字，只要研究測度論的發(fā)展就可以了。全有限測度空間上的微積分理論，或者分析理論，其實就是隨機分析學(xué)者的日常工作。當然，以兩種不同的觀點來看待測度論意義下的可測函數(shù)族，在思想方法上會對兩種不同的研究發(fā)展帶來本質(zhì)的區(qū)別。例如，把可測函數(shù)族視為隨機變量族的隨機過程的軌道空間思想，對隨機數(shù)學(xué)的發(fā)展是至關(guān)重要的。常微分方程模型刻畫的光滑向量場軌道與隨機（常）微分方程模型刻畫的隨機次光滑軌道對實際問題的接近度往往是后者更佳。于是，隨機微分和隨機積分的概念就是最為關(guān)鍵的學(xué)科創(chuàng)建因素了。Wolf獎獲得者K. Ito對布朗運動定義的隨機積分概念，以及隨之發(fā)現(xiàn)的Ito積分公式，使得隨機分析成為分析數(shù)學(xué)文庫中的美麗詩篇。布朗運動樣本軌道函數(shù)的連續(xù)，但幾乎處處非有界變差和處處不可微的性質(zhì)使得通常的Riemann-Stieltjes積分和Lebesgue- Stieltjes積分按樣本軌道函數(shù)無法定義，因為Riemann-Stieltjes積分定義中的Darboux和不以概率1收斂。但是，前述Darboux和可以在均方意義下收斂。也正是這一點激發(fā)了Ito積分的創(chuàng)建靈感和確立了Ito積分的獨立地位。注意到隨機過程的樣本軌道的不光滑特點，后繼的很多隨機數(shù)學(xué)分支，如隨機微分幾何等都由此得到了數(shù)學(xué)的獨立地位。本科階段的隨機分析課程多數(shù)是以隨機微分方程課程的形式出現(xiàn)的，并且主要講授Brown運動和白噪聲的基本性質(zhì)，隨機積分與Ito公式，隨機微分方程的可解性等基本內(nèi)容。對不同類型的隨機過程可以在適當意義下定義相應(yīng)的隨機積分的事實也常常加以簡述。研究生階段的隨機分析課程是可以“天高任鳥飛，海闊憑魚躍”的。倒向隨機微分方程，狄氏型理論，大偏差理論，無窮維隨機分析，擬似然分析，自由概率論，隨機偏微分方程，隨機動力系統(tǒng)，隨機微分幾何等等都是研究生隨機分析課程的有益食材。當然，這一階段的隨機分析已經(jīng)步入綜合核心數(shù)學(xué)的家園，已經(jīng)不是只了解與掌握測度論就行那樣簡單的事情了。數(shù)學(xué)的真正魅力所在，其實就是大一統(tǒng)的數(shù)學(xué)價值觀，隨機分析的高深境界也不例外。關(guān)于隨機分析的數(shù)學(xué)著作推薦如下： （1）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.1,1975。 （2）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.2,1976。 （3）I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 1991。?。?）P. Malliavin, Stochastic Analysis, 1997。?。?）黃志遠，隨機分析學(xué)基礎(chǔ)（第二版），科學(xué)出版社，2001。偏微分方程可以顧名思義地理解為含有未知函數(shù)及其若干偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)量關(guān)系式。未知函數(shù)就是人類對神秘未知的自然界現(xiàn)象的目標數(shù)學(xué)模型函數(shù)。導(dǎo)數(shù)就是目標函數(shù)隨著時間變化的變化快慢程度。偏導(dǎo)數(shù)就是自然界中影響因素的多元化而導(dǎo)致的對其中的部分因素的變化率刻畫。從因果關(guān)系出發(fā)，偏微分方程可以被認為是自然界一切因果現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，于是乎其數(shù)學(xué)之外的應(yīng)用價值的巨大程度是可想而知的。
偏微分方程在數(shù)學(xué)王國內(nèi)的地位也是富貴有加的。美國麻州的Clay數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件轟動媒體的大事：對以下七個“千年數(shù)學(xué)難題”的每一個懸賞一百萬美元尋求解答：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊- 米爾斯理論、Navier –Stokes 方程、BSD猜想。這七個世界級的數(shù)學(xué)難題中，至少有兩個半問題是與偏微分方程有關(guān)的。此外，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部的所有院士中，至少有四分之三的院士熟悉偏微分方程，而且所有數(shù)學(xué)院士中有近一半院士的數(shù)學(xué)研究工作與偏微分方程有關(guān)。偏微分方程的吸引力之所以如此之大，其中一個主要的原因就是偏微分方程的理論價值與應(yīng)用價值皆為“無窮大”。如果把整個數(shù)學(xué)比喻為宇宙，地球被比喻為數(shù)學(xué)外的應(yīng)用領(lǐng)域和數(shù)學(xué)內(nèi)的分析數(shù)學(xué)，地球外（包括大氣層）的宇宙部分被比喻為核心數(shù)學(xué)，那么偏微分方程就是可以自由往返于地球和外部空間的“空天航天器”。千年數(shù)學(xué)難題中的龐加萊猜想最近已經(jīng)被解決，而這一看似與偏微分方程知識無關(guān)的拓撲問題卻被借用偏微分方程的理論和思想方法所解決。從硬分析到軟分析，再到現(xiàn)代分析，甚至是其它核心數(shù)學(xué)領(lǐng)域，偏微分方程的身影幾乎處處存在。我國數(shù)學(xué)家的偏微分方程研究水平已經(jīng)達到世界級水平，以中國科學(xué)院和一些著名大學(xué)的偏微分方程學(xué)派為主的科研成果早已在世界一流數(shù)學(xué)雜志上頻頻出現(xiàn)，并且中國偏微分方程團隊與世界級的眾多國際偏微分方程團隊的學(xué)術(shù)交流與影響已經(jīng)處于互利雙贏的境界。偏微分方程可以分為線性與非線性的，也可以分為一階方程，二階方程和高階方程，或者橢圓型、拋物型、雙曲型等等。每一種情形都有龐大的理論體系和研究成果。與常微分方程不同，絕大多數(shù)的偏微分方程不能求出通解或解的解析表達式，甚至是線性方程也可以沒有解。同時物理與工程技術(shù)的問題也需要把方程與定解條件（初值條件、邊界條件等）來一起考慮。所以，定解問題是偏微分方程的主要研究對象，當然極少數(shù)的非線性偏微分方程也還是有精確解的表達式的。大學(xué)本科階段的偏微分方程課程主要講授線性的一階方程和二階方程，特別是相應(yīng)方程定解問題的適定性：解的存在性、唯一性與穩(wěn)定性，其中存在性部分多數(shù)限于具體的解法。研究生階段的偏微分方程課程主要研究解的定性理論和不同意義下解的適定性問題。首選的講授內(nèi)容就是廣義函數(shù)、Sobolev空間、泛函分析高級課程和偏微分方程的現(xiàn)代方法。偏微分方程領(lǐng)域有四大法寶：微局部分析理論、先驗估計技術(shù)、調(diào)和分析方法與弱收斂方法。微局部分析理論起源于一般線性偏微分方程的研究，善用諸如廣義函數(shù)的波前集，擬微分算子，F(xiàn)ourier積分算子，仿微分算子、超函數(shù)等一些現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)工具。在非線性偏微分方程的最新研究中，也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了微局部分析的應(yīng)用。先驗估計是假設(shè)解存在的前提下所建立的解的有效信息估計，其主要在解決解的存在性問題時至關(guān)重要，特別是對非線性偏微分方程的研究更加彌足珍貴。最為有名的先驗估計當屬二階橢圓型與拋物型方程的Schauder估計、-估計，De Georgi-Nash估計，與Krylov-Safanov估計等。對于一般的非線性偏微分方程而言，對解本身及其各階導(dǎo)數(shù)的可能范數(shù)模估計是非常本質(zhì)性的可解性因素。調(diào)和分析方法與弱收斂方法在一些著名偏微分方程的研究中已經(jīng)顯示了勃勃生機。Fields 獎與Wolf獎獲得者中的著名數(shù)學(xué)家J. Bourgain，De Giorgi，L.V. H?rmander，P. D. Lax，J. Leray，H. Lewy，P. L. Lions，T. Tao，C. Villani等對偏微分方程的研究都做出了杰出貢獻。關(guān)于偏微分方程的數(shù)學(xué)著作推薦如下：(1) A. Friedman, Partial Differential Equations, 1969。(2) J. Smoller, Shock Waves and Reaction –Diffusion Equations, 1983。(3) L.C.Evans, Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations, 1990。(4) M. Taylor, Partial Differential Equations, Vol. 1-3, 1996。(5) L.C. Evans, Partial Differential Equations, 1998。(6) 苗長興、張 波，偏微分方程的調(diào)和分析方法，2008?！ ?/span> 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)與空間解析幾何被視為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“第一高”，而泛函分析、一般拓撲和抽象代數(shù)被認為是“第二高”?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“第三高”就是微分流形。作為現(xiàn)代核心數(shù)學(xué)大家園之一的大范圍分析學(xué)（也稱為流形上的分析）就是在這“第三高”的基礎(chǔ)上，融合拓撲、代數(shù)與幾何的思想方法而形成的高級分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
微分流形是一個具有“微積分結(jié)構(gòu)”的Hausdorff 拓撲空間，其包含了“第一高”中通常的規(guī)范曲線、曲面和區(qū)域等幾何對象為特殊例子。微分流形就是為了微積分而生的說法并不過分。在微分流形的舞臺上，可以考慮拓撲問題（微分拓撲），幾何問題（微分幾何）和分析問題（大范圍分析），并自由與充分地運用代數(shù)、幾何、拓撲和分析的方法與理論來研究相應(yīng)的深刻數(shù)學(xué)問題。假設(shè)武術(shù)“奧妙同構(gòu)”于數(shù)學(xué)，并且武術(shù)的“第一高”，“第二高” 和“第三高”分別是“地上的騰、挪、跳、躍”，“ 梅花樁上的騰、挪、跳、躍”和“空中的騰、挪、跳、躍”，那么微分流形上的現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論就相當于武術(shù)的“第三高”。由此可以看出，大范圍分析學(xué)在現(xiàn)代核心數(shù)學(xué)中的基本重要性了。大范圍分析學(xué)課程主要講授流形與流形間的映射、流形的嵌入與浸入性質(zhì)、臨界值與橫截性、Sard定理、切叢與向量叢、流形上的微積分、流形上的微分算子、無窮維流形、Morse理論及應(yīng)用、Lie群、動力系統(tǒng)、奇點理論與幾何分析等重要內(nèi)容。應(yīng)該說明的一點就是代數(shù)拓撲知識對學(xué)習(xí)大范圍分析學(xué)的重要意義。北京大學(xué)非線性分析學(xué)派的數(shù)學(xué)家在無窮維Morse理論及應(yīng)用方面取得了世界先進水平的重要研究成果。下面關(guān)于動力系統(tǒng)和幾何分析兩個方向進行簡要介紹。動力系統(tǒng)起源于經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)過常微分方程和偏微分方程分別刻畫的有限維與無限維系統(tǒng)的演化，再到抽象的拓撲動力系統(tǒng)和隨機動力系統(tǒng)，動力系統(tǒng)已經(jīng)在現(xiàn)代核心數(shù)學(xué)領(lǐng)域確定了應(yīng)有的重要地位。非線性泛函分析中的非線性半群概念就是一個動力系統(tǒng)概念。代數(shù)運算的半群性質(zhì)是刻畫動力系統(tǒng)的主要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。動力系統(tǒng)作為抽象系統(tǒng)的定性研究，其主要特征是包含拓撲式，或遍歷式的整體性研究。哈密爾頓系統(tǒng)的微擾理論、Kolmogorov系統(tǒng)的遍歷理論以及KAM定理等等都是動力系統(tǒng)理論中的亮點性結(jié)果。J. H. Poincaré開創(chuàng)的常微分方程定性理論，諸如穩(wěn)定性、軌道周期性與回歸性等研究方法是動力系統(tǒng)學(xué)科研究的思想方法基礎(chǔ)?；贕. D.Birkhoff三體問題遍歷性定理的研究，而最終發(fā)現(xiàn)的描述哈密爾頓系統(tǒng)解的穩(wěn)定性的KAM理論是動力系統(tǒng)理論的里程碑式的工作之一。在無窮維的偏微分方程系統(tǒng)中，KAM理論也得到了深入研究。在通常的動力系統(tǒng)課程中，主要講授以下一些基本內(nèi)容：非線性微分方程系統(tǒng)的混沌吸引子、映射迭代與不變集、分形、拓撲動力系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，Hartman定理，穩(wěn)定流形定理，雙曲集，Markov分割等。我國北京大學(xué)動力系統(tǒng)學(xué)派，以及其它一些著名大學(xué)與研究機構(gòu)的數(shù)學(xué)家在動力系統(tǒng)領(lǐng)域取得了具有世界水平的開創(chuàng)性工作。Fields獎與Wolf獎獲得者中的V. I. Arnold，A. N. Kolmogorov，Elon Lindenstrauss，C. T. Mcmullen，J. K. Moser， S.P. Novikov，Y. Sinai，J. C. Yoccoz等著名數(shù)學(xué)家在動力系統(tǒng)領(lǐng)域做出了巨大貢獻。幾何分析是大范圍分析的重要分支，以幾何問題的分析方法與分析問題的幾何背景之交融研究而著稱于數(shù)學(xué)界。特別是幾何分析領(lǐng)域的一系列輝煌成就使得幾何分析擁有了已經(jīng)獨立于大范圍分析的特殊學(xué)術(shù)地位。世界著名華裔數(shù)學(xué)家、Fields獎及Wolf獎獲得者丘成桐教授的研究工作奠定了幾何分析的根基性學(xué)術(shù)地位，而且為偏微分方程方法應(yīng)用于拓撲與幾何的世界級猜想問題的解決開辟了先河?！扒陻?shù)學(xué)難題”百萬美元征解七大問題之一的龐加萊猜想的解決就歸功于幾何分析的無限力量。龐加萊猜想是法國數(shù)學(xué)家龐加萊于二十世紀初提出的著名拓撲學(xué)問題：如果一個封閉空間中所有的封閉曲線都可以收縮成一點，那么這個封閉空間一定是一個三維的圓球。鑒于俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼對解決龐加萊猜想的巨大貢獻，2006年國際數(shù)學(xué)家大會把數(shù)學(xué)最高獎Fields獎授予了佩雷爾曼，但是卻遭遇了拒絕接受的尷尬狀況。在近百年的拓撲學(xué)方法無望于解決三維龐加萊猜想之際，F(xiàn)ields獎獲得者瑟斯頓（Thurston）當時引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對三維流形進行切割，使得龐加萊猜想的解決出現(xiàn)了希望的曙光。后來美國數(shù)學(xué)家理查德?漢密爾頓，受到丘成桐用非線性偏微分方程方法解決卡拉比猜想工作的啟發(fā)，運用以意大利數(shù)學(xué)家里奇（Gregorio Ricci）命名的Ricci流方程，對三維流形進行構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)的拓撲手術(shù)，使得解決三維龐加萊猜想的進程更加本質(zhì)性地邁進。在接近解決龐加萊猜想的近距離時刻，Ricci流進行空間變換時出現(xiàn)的奇點這一解決龐加萊猜想的重大障礙出現(xiàn)了。在關(guān)鍵時刻，俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼凌空出世，以八年獨門功力，用三篇非正式期刊論文的方式，一舉撼動百年難題龐加萊猜想，隨之世界一流的相關(guān)數(shù)學(xué)家“眾人捧材”，以至于徹底宣布龐加萊猜想被正式解決。顯而易見，解決百年難題龐加萊猜想的科學(xué)意義是無比重大的。幾何分析方法也由此無比榮耀。中國幾何分析數(shù)學(xué)家們的研究工作和研究隊伍都在國際同行中產(chǎn)生了積極影響。關(guān)于大范圍分析的數(shù)學(xué)著作推薦如下：(1) D. W. Kahn, Introduction to Global Analysis, 1980。(2) 張錦炎、錢 敏，微分動力系統(tǒng)導(dǎo)引，1991。(3) R.Clark Robinson, An Introduction to Dynamical System:Continuous and Discrete, 2004。(4) R.Schoen and S.-T. Yau, Lectures on Differential Geometry, 1994。(5) D. W. Stroock, An Introduction to the Analysis of Paths on a Riemannian Manifold, 2000。
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