北京中考數(shù)學(xué)作為全國(guó)教育的先行者，一直在全國(guó)的中考數(shù)學(xué)占據(jù)重要的地位，出題的創(chuàng)新性非常的強(qiáng)，其次在于統(tǒng)計(jì)概率的應(yīng)用中，也占據(jù)的重要的地位。同時(shí)在題目的設(shè)計(jì)整點(diǎn)問(wèn)題和交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題成為全國(guó)中考其他地方借鑒的標(biāo)準(zhǔn)。例如濟(jì)南2018年中考12題借助2016北京中考?jí)狠S原題等。其他的題目在全國(guó)各地的模擬題和真題作為母題或者原題出現(xiàn)。今天我們分析北京中考數(shù)學(xué)壓軸題目分析。

（2019·北京·25）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝kx+1（k≠0）與直線x＝k，直線＝﹣k分別交于點(diǎn)A，B，直線x＝k與直線y＝﹣k交于點(diǎn)C．

（1）求直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，記線段AB，BC，CA圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．

①當(dāng)k＝2時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)沒(méi)有整點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍．

（1）令x＝0，y＝1，

直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，1）；

（2）①當(dāng)k＝2時(shí)，

A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），

在W區(qū)域內(nèi)有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)；

②當(dāng)k＞0時(shí)，區(qū)域內(nèi)必含有坐標(biāo)原點(diǎn)，

故不符合題意；

當(dāng)k＜0時(shí)，W內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在k到0之間，

故﹣1≤k＜0時(shí)，W內(nèi)無(wú)整點(diǎn)；

當(dāng)﹣2≤k＜﹣1時(shí)，

W內(nèi)可能存在的整數(shù)點(diǎn)橫坐標(biāo)只能為﹣1，此時(shí)邊界上兩點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1）；

當(dāng)k不為整數(shù)時(shí)，

其上必有整點(diǎn)，但k＝﹣2時(shí)，只有兩個(gè)邊界點(diǎn)為整點(diǎn)，故W內(nèi)無(wú)整點(diǎn)；

當(dāng)k≤﹣2時(shí)，

橫坐標(biāo)為﹣2的邊界點(diǎn)為（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），線段長(zhǎng)度為﹣k+1＞3，故必有整點(diǎn)．

解：

（1）令x＝0，y＝1，

∴直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，1）；

（2）由題意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），

①當(dāng)k＝2時(shí)，A（2，5），B（-2/3，﹣2），C（2，﹣2），

在W區(qū)域內(nèi)有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；

②當(dāng)k＞0時(shí)，

區(qū)域內(nèi)必含有坐標(biāo)原點(diǎn)，故不符合題意；

當(dāng)k＜0時(shí)，

W內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在﹣1到0之間，故﹣1≤k＜0時(shí)W內(nèi)無(wú)整點(diǎn)；

當(dāng)﹣2≤k＜﹣1時(shí)，

W內(nèi)可能存在的整數(shù)點(diǎn)橫坐標(biāo)只能為﹣1，此時(shí)邊界上兩點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1），MN＝1；

當(dāng)k不為整數(shù)時(shí)，

其上必有整點(diǎn)，但k＝﹣2時(shí)，只有兩個(gè)邊界點(diǎn)為整點(diǎn)，故W內(nèi)無(wú)整點(diǎn)；

當(dāng)k≤﹣2時(shí)，

橫坐標(biāo)為﹣2的邊界點(diǎn)為（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），線段長(zhǎng)度為﹣k+1＞3，故必有整點(diǎn)．

綜上所述：﹣1≤k＜0或k＝﹣2時(shí)，W內(nèi)沒(méi)有整數(shù)點(diǎn)；

本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征；能夠數(shù)形結(jié)合解題，根據(jù)k變化分析W區(qū)域內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的情況是解題的關(guān)鍵．

（2018·北京·23）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，1），直線l：y＝+b與圖象G交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求k的值；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．記圖象G在點(diǎn)A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．

①當(dāng)b＝﹣1時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍．

（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；

（2）直線OA的解析式為：y＝x，可知直線l與OA平行，

①將b＝﹣1時(shí)代入可得：直線解析式為y＝x﹣1，畫圖可得整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

②分兩種情況：直線l在OA的下方和上方，畫圖根據(jù)區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，確定b的取值范圍．

解：

（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；

（2）①當(dāng)b＝﹣1時(shí)，直線解析式為y＝x﹣1，

解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），

x2＝2+2√5，則B（2+2√5，（√5-1）/2），

而C（0，﹣1），

如圖1所示，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有（1，0），（2，0），（3，0），有3個(gè)；

②如圖2，直線l在OA的下方時(shí)，當(dāng)直線l：y＝+b過(guò)（1，﹣1）時(shí)，b＝-5/4，

且經(jīng)過(guò)（5，0），

∴區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍

是-4/5≤b＜-1．

如圖3，直線l在OA的上方時(shí)，

∵點(diǎn)（2，2）在函數(shù)y＝k/x（x＞0）的圖象G，

當(dāng)直線l：y＝1/4x+b過(guò)（1，2）時(shí)，b＝7/4，

當(dāng)直線l：y＝1/4x+b過(guò)（1，3）時(shí)，b＝11/4，

∴區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍

是7/4＜b≤11/4．

綜上所述，區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是--5/4≤b＜-1或7/4＜b≤11/4．

本題考查了新定義和反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，本題理解整點(diǎn)的定義是關(guān)鍵，并利用數(shù)形結(jié)合的思想．

（2016·北京·27）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)為A，B．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．

①當(dāng)m＝1時(shí)，求線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

②若拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

（1）利用配方法即可解決問(wèn)題．

（2）①m＝1代入拋物線解析式，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

②根據(jù)題意判斷出點(diǎn)A的位置，利用待定系數(shù)法確定m的范圍．

解：

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、配方法確定頂點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

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