 【引例】 我們在做題目的時候，經(jīng)常會遇到這樣的題目，比如： 例1：如圖，點P在正△ABC中，∠APB=150°，求證PA2+PB2=PC2 或者再比如： 例2：如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點P,PA=2,PB=根3,PC=1.求∠BPC的度數(shù)的大小和等邊△ABC的邊長 題目1中的三條線段并不在一個直角三角形中，怎么證勾股關(guān)系呢？ 題目2中PA,PB,PC的長度都是已知，但是它們怎么和等邊△ABC的邊長聯(lián)系起來呢？ 我們觀察發(fā)現(xiàn)里面有三條線段不是隨意的，而是共頂點的。往往具備以下的特點： 這種模型是我們出現(xiàn)得比較多的一種模型，因為長得特別像我們的雞爪，所以叫做“雞爪模型”。注意，不是“雞爪定理”，是“雞爪模型”。沒錯，就是我們經(jīng)常吃的那種雞爪。 前面的題目，都含有這樣的模型。對于這樣的模型我們主要是可以通過一些幾何變化，把其中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，以達(dá)到聚合條件，推出我們想要的結(jié)論的目的。對于幾何變化，目前學(xué)過的主要有：軸對稱，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對于“雞爪模型”我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行變換。 對于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。 今天的這主要講“雞爪模型”之旋轉(zhuǎn)全等類型。 那么，什么情況下可以利用旋轉(zhuǎn)全等呢？我們繼續(xù)看圖： 條件： ①一組相等的線段(一組手),并且夾角固定 ②第三條手 處理方式： 1.將第三條線段以固定角旋轉(zhuǎn)（順時針逆時針都可）2.左手拉左手，右手拉右 【圖形演示如下】 因此，告訴我們?nèi)龡l手，以及角度，我們就能夠確定第四條手 解題模板：1.明確雞爪位置，找到兩條相等線段，明確它們的夾角 2.再找第三條手，根據(jù)夾角相等，旋轉(zhuǎn)變換出第四條手 3.左手拉左手，右手拉右手，構(gòu)造全等三角形 好啦，我們來處理下剛剛的例題 例1：如圖，點P在正△ABC中，∠APB=150°，求證PA2+PB2=PC2 第一步：AB=BC,且∠ABC=60° 第二步：將BP繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°
第三步：左手拉左手，右手拉右手，構(gòu)造全手拉手全等三角形
因此，我們根據(jù)△ABP'≌△CBP，可知，我們已經(jīng)把，PB和PC轉(zhuǎn)化了出來。 當(dāng)然，這里還有一個關(guān)鍵步驟，連接PP'.
解析：將BP繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到BP' 連接AP',BP',PP'.易知：△ABP'≌△CBP ∴P'A=PC 又∵∠PBP'=60°，BP=BP' ∴△BPP'為等邊三角形 ∴PB=PP' 又∵∠APB=150° ∴∠APP'=90° ∴ △APP'為Rt三角形 ∴PA2+PP'2= P'A2 又∵PB=PP',P'A=PC ∴PA2+PB2=PC2
點評：由于△ABC是等邊三角形，因此“雞爪”有很多，一共有三個'雞爪',再加上順逆時針，旋轉(zhuǎn)的方式有很多.一共有六種方法，因此，在這里再補充一下全等型“旋轉(zhuǎn)六法” 【繞點A】
【繞點B】
【繞點C】
因為該變換涉及到三角形的三個頂點以及順逆時針的情況，合起來一共有六種旋轉(zhuǎn)方法，因此叫做全等型“旋轉(zhuǎn)六法”  例2：如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點P,PA=2,PB=根3,PC=1.求∠BPC的度數(shù)的大小和等邊△ABC的邊長
分析：方法和例1類似，先找“雞爪”，然后在旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手，聚合條件
當(dāng)然，我們把上面的例題進(jìn)行一定的變形看看 變式1: 如圖，點P在△ABC外，∠APC=30°，求證：PB2=PA2+PC2.
分析：AB,AC,AP構(gòu)成我們的“雞爪”，夾角為60°，因此將AP繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°即可。
變式2：如圖，點P在等腰Rt△ABC中，AB=AC， ∠APB=135°，求證2PA2+PB2=PC2.
分析：這里出現(xiàn)了一個2，感覺和前面的有點不太一樣。沒事，我們先找“雞爪模型”試試
變式3:如右圖，點P在等腰Rt△ABC外， ∠APC=45°，求證2PA2+PC2=PB2.
分析：這里跟前面的類型一樣，我們先找“雞爪模型”試試
變式4:如右圖，點P在等腰Rt△ABC外斜邊BC上，求證2PA2=PC2+PB2.
分析：處理方式跟前面的類型一樣，我們先找“雞爪模型”，構(gòu)造手拉手模型
分析：根據(jù)題目的條件分析可知，里面含有“雞爪模型”，這里面BP可以看成第三只雞爪，由此再去找地四只雞爪，因此我們按照前面所講的方法進(jìn)行處理
本節(jié)主要講解了利用全等型“雞爪模型”，構(gòu)造手拉手全等。其實，最終的目的是起到轉(zhuǎn)移線段，聚合條件的目的。 全等型“雞爪模型”解題主要抓住以下幾個步驟： 1.明確雞爪位置，找到兩條相等線段，明確它們的夾角 2.再找第三條手，根據(jù)夾角相等，旋轉(zhuǎn)變換出第四條手 3.左手拉左手，右手拉右手，構(gòu)造全等三角形 |
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