從小學(xué)到高中，我們學(xué)過(guò)12年的數(shù)學(xué)，叫做初等數(shù)學(xué)；大學(xué)后的微積分，叫做高等數(shù)學(xué)。到底什么是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)呢？它們之間有什么聯(lián)系？面對(duì)數(shù)學(xué)難題，有什么思路可以讓我們“一步到位”？中國(guó)科學(xué)院林群院士、張景中院士為你揭開(kāi)數(shù)學(xué)的奧秘！

從小學(xué)到高中，我們學(xué)過(guò)12年的數(shù)學(xué)，叫做初等數(shù)學(xué)；大學(xué)后的微積分，叫做高等數(shù)學(xué)。

初等數(shù)學(xué)大致是什么內(nèi)容呢？著名數(shù)學(xué)家華羅庚在1979年留下一個(gè)視頻，他對(duì)此做過(guò)解答。

他說(shuō)，數(shù)學(xué)就是數(shù)和形。最先出現(xiàn)的是數(shù)字，就是12345；后來(lái)有了減法，就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)；再后來(lái)有了除法，就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)。這許多“數(shù)”，有一個(gè)總名字：有理數(shù)。

有理數(shù)有一個(gè)特殊性質(zhì)：有理數(shù)加有理數(shù)還是有理數(shù)，有理數(shù)減有理數(shù)還是有理數(shù)，有理數(shù)乘有理數(shù)還是有理數(shù)。也就是說(shuō)，有理數(shù)遇到另一個(gè)有理數(shù)，不論加減乘，結(jié)果都是有理數(shù)。那么有理數(shù)除有理數(shù)呢？只有一種結(jié)果不是有理數(shù)，那就是除以0。總之，有理數(shù)本身，對(duì)加減乘除是自封的。

僅有理數(shù)夠不夠呢？不夠！例如根號(hào)2就不可能是有理數(shù)，這說(shuō)明有理數(shù)是不完整的。所以整個(gè)“數(shù)”的系統(tǒng)，給它一個(gè)定義，叫實(shí)數(shù)系統(tǒng)。實(shí)數(shù)系統(tǒng)也有這個(gè)性質(zhì)，即對(duì)加減乘除自封。

可是，實(shí)數(shù)系統(tǒng)就完整了嗎？還不完整。例如在求解方程的過(guò)程中，可能沒(méi)有實(shí)根，但是有虛根，所以實(shí)根之外又出現(xiàn)一種數(shù)，叫做復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)對(duì)加減乘除也是自封的。

自此之后，凡是一批數(shù)或一批抽象的東西，如果里面可以定義加減乘除并且是自封的，高等數(shù)學(xué)就叫它域。

最后講面積，包括長(zhǎng)方形、三角形、多角形、圓的面積。

上述是華羅庚關(guān)于初等數(shù)學(xué)的總結(jié)。華羅庚是我國(guó)最博學(xué)的數(shù)學(xué)家，他總觀全局，把初等數(shù)學(xué)講得這么少（精煉），使我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更有信心。

但是華羅庚沒(méi)有具體講高等數(shù)學(xué)（微積分）。

微積分講什么呢？是否還是應(yīng)該講面積？如果我們還是把一般圖形（如曲邊梯形）分成許多長(zhǎng)方形，不僅計(jì)算量大，而且分得再多也有疏漏，這是不得已的方案。

“牛頓”們不是這么做的。他們開(kāi)始不是求面積，他們求瞬時(shí)速度，只看一個(gè)時(shí)刻。但在某一時(shí)刻，時(shí)間與路程都等于0：

怎么算？我們給出一個(gè)算法：

即平均速度與瞬時(shí)速度之差與時(shí)間成正比地減少。于是，在短時(shí)間內(nèi)，速度就變化不大，平均速度就代替了瞬時(shí)速度。

尤其是，當(dāng)時(shí)間接近0，則平均速度接近瞬時(shí)速度，用看不用想。

注意，我們關(guān)心的正是時(shí)間接近0時(shí)出現(xiàn)的極限，如今借助公式（1）求極限，避開(kāi)了無(wú)窮?。?/p>

于是，公式（1）可改寫(xiě)為

|路程-瞬時(shí)速度×?xí)r間|≤(時(shí)間段)2的一個(gè)倍數(shù)

其中，瞬時(shí)速度×?xí)r間，可看作瞬時(shí)速度中的面積（相當(dāng)于化曲為長(zhǎng)方）。那么，路程為面積的近似值（時(shí)間的平方），那么很容易證明兩者相同：路程=速度圖的面積。

微積分把它寫(xiě)成：

二維面積變成了一維高，俗稱(chēng)：油餅面積變油條高。

通俗地講，就像計(jì)算一塊彎彎曲曲的油餅面積，既無(wú)需將油餅切成“無(wú)窮個(gè)”小油條，也無(wú)需將這“無(wú)窮個(gè)”小油條的面積再相加，一下子就能得到油餅的面積等于另一根油條的高，簡(jiǎn)稱(chēng)為：油餅面積=油條高。

原先，億萬(wàn)次計(jì)算也算不準(zhǔn)，如今，一次計(jì)算便準(zhǔn)確到達(dá)。