And God said, Let there be light. And there was light.（圣經(jīng)-創(chuàng)世紀(jì)）

自然和自然規(guī)律隱藏于茫茫黑夜之中。上帝說：讓牛頓降生吧。于是一片光明?！狝lexander Pope

上帝又說：還要有陽光，于是便有了麥克斯韋方程組。

Nature and Nature's laws lay hid in night. God said 'Let Newton be!' and all was light.

And God Said Maxwell's Equations And There Was Light.

科學(xué)強(qiáng)國，做科學(xué)中國人。讓我們一起來感受數(shù)學(xué)之美吧，請(qǐng)欣賞我將文獻(xiàn)中的Maxwell方程總結(jié)成的最簡潔并顯露其波動(dòng)本質(zhì)的控制微分方程形式（真空中的電磁波動(dòng)方程）

how powerful and how mathematically elegant they are!

Maxwell 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)看懂了上帝的語言，他預(yù)言了電磁波的存在，并且指明光也是一種電磁波，引領(lǐng)無數(shù)科學(xué)家向著這個(gè)方向去探索，無線電通訊讓人類邁進(jìn)嶄新的“信息時(shí)代”，極大地推動(dòng)了人類文明的進(jìn)步。這是數(shù)學(xué)與物理最最完美的結(jié)合形式。他是Einstein最崇拜的人，Einstein將他的畫像懸掛于辦公室，以表達(dá)敬仰之情。受其影響，Einstein一生也始終以數(shù)學(xué)方法研究物理。愛因斯坦在麥克斯韋百年誕辰的紀(jì)念會(huì)上說過，麥克斯韋方程是“是牛頓以來，物理學(xué)最深刻和最富有成果的工作。

Einstein had pictures of Newton, Maxwell and Faraday in his office, indicating how important he thought their works to be.

英國科學(xué)期刊《物理世界》曾讓讀者投票評(píng)選了“最偉大的公式”，最終榜上有名的十個(gè)公式里，有著名的 E=mc2、復(fù)雜的傅立葉變換、簡潔的歐拉公式……但“麥克斯韋方程組”排名第一，成為“世上最偉大的公式”。

Maxwell 方程 文化衫

還是先得有點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)（大學(xué)本科微積分水平足夠了）

• divergence, curl, and gradient 散度，旋度和梯度

如果不能看懂下面這些 vector analysis 公式，就快去重溫您的大學(xué)高數(shù)教材吧。這是完全理解電磁波方程的基礎(chǔ)，當(dāng)然我也會(huì)介紹更簡單的用一維微積分的方法。

We all know that both electric and magnetic fields are vectors since they have both a magnitude and a direction. Hence, the study of electromagnetic fields requires basic knowledge of vector analysis. The most useful concepts in vector analysis are those of divergence, curl, and gradient.

僅僅為了數(shù)學(xué)表達(dá)的簡潔與助記，首先引入向量微分算子。

In R3 the del operator ? is a differential vector operator, denoted in Gibbs’ notation by ? and defined as:

向量微分算子

With the help of the del operator we can define the gradient, divergence and curl of a vector (in the generalised sense).

The gradient 梯度 of an R3 scalar field 數(shù)量場 u(x), denoted ?u(x), is an R3 vector field:

梯度

Assume that W is a vector function, a quantity whose magnitude and direction vary as functions of its position in space.

The divergence 散度 of the vector function W is：

散度

The 3D Laplace operator 拉氏算子 or Laplacian can be described as the divergence of the gradient operator:

Laplace operator

In R3 the curl 旋度 of a vector field W(x), denoted ? × W(x), is another R3 vector field b(x) which can be defined in the following way:

旋度

偉大科學(xué)家也是人，不是神，且看他們是怎么一步步做出偉大理論的

• Let us begin at the beginning, with Maxwell’s equations in empty, flat space in Cartesian coordinates:

Father of Modern Physics: James Clerk Maxwell

當(dāng)時(shí)，英國物理學(xué)家法拉第已經(jīng)對(duì)電磁之間的關(guān)系做出了開創(chuàng)性的研究，解決了磁生電的問題，但由于數(shù)學(xué)不好，他并沒有為這些現(xiàn)象做出數(shù)學(xué)上的解釋。自從牛頓創(chuàng)立微積分之后，微積分就成為研究物理現(xiàn)象的有力工具。Maxwell 就試圖運(yùn)用微積分建立電磁現(xiàn)象的控制微分方程，一個(gè)物理量的變化必須滿足微分方程的解。

Maxwell通過總結(jié)前人的實(shí)驗(yàn)定律，包括電場的高斯定律、磁場的高斯定律、法拉第電磁感應(yīng)定律以及安培環(huán)路定律（如果您忘記了，可以去看高中物理書或大學(xué)物理教材），再加上自己的想象力，得出了以下關(guān)于電磁規(guī)律的方程組，完美地揭示了電場與磁場相互轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生的對(duì)稱性，統(tǒng)一了整個(gè)電磁場：

The integral-form Maxwell’s equations are valid everywhere

Maxwell 從積分方程進(jìn)一步推導(dǎo)得出電磁場的控制微分方程：

微分形式的麥?zhǔn)戏匠?/p>

從數(shù)學(xué)上理解，電場E和磁場B就是滿足上述微分方程的一個(gè)解。從而可以使用數(shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行研究。

• 上面的三維微分公式太痛苦，不好理解，讓我們回到一維，看看當(dāng)年Maxwell是如何一步步找到靈感發(fā)現(xiàn)電磁波的。

如果只是停留在上述復(fù)雜的方程組面前，Maxwell 也將一無所得。他和我們常人一樣，也無法從復(fù)雜的三維方程就看出什么頭緒，但是他想到了將方程化簡為最簡單的一維形式，看看能發(fā)現(xiàn)什么：

簡單就是美

上述公式表明了，變化的磁場產(chǎn)生電場梯度，變化的電場又產(chǎn)生磁場梯度。我們還是看不出額外的東西。感謝 Maxwell 是個(gè)數(shù)學(xué)家，他對(duì)數(shù)學(xué)公式很敏感，他曾經(jīng)仔細(xì)學(xué)習(xí)推導(dǎo)過波動(dòng)方程，也就是聲音在空氣中傳播的控制微分方程：

聲音在空氣中的傳播控制微分方程

上述方程表達(dá)的物理意義是，變化的空氣質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度 v 會(huì)產(chǎn)生壓力 p 梯度，而變化的壓力 p 又會(huì)產(chǎn)生速度 v 梯度，兩個(gè)物理量 v 和 p 是相生相克的，滿足波動(dòng)方程。凡是滿足波動(dòng)方程的物理量都會(huì)隨時(shí)間而沿空間傳播。至此，Maxwell 全明白了，上述的電場磁場也是相生相克的，也滿足波動(dòng)方程，經(jīng)過簡單的微分推導(dǎo)，可以得出以下波動(dòng)方程：

一維電磁波控制方程

既然電場滿足這個(gè)方程，那么電場必須是波動(dòng)的。同理可以推導(dǎo)出磁場也是波動(dòng)的。由此預(yù)測了不可思議的穿越時(shí)空的電磁波的存在性，這是真正偉大的發(fā)現(xiàn)。如果說電力的發(fā)展給了人類新的動(dòng)力，而無線電波的出現(xiàn)才真正讓人類變得更加自由，千里傳音變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，這一切都離不開電磁波的發(fā)現(xiàn)，因此麥克斯韋的故事將永遠(yuǎn)流傳。

一維電磁波

而且Maxwell根據(jù)波動(dòng)方程理論，采用相關(guān)電磁參數(shù)很簡單地就算出了電磁波的速度

波動(dòng)方程給出的電磁波速度

他驚奇地發(fā)現(xiàn)電磁波的速度居然跟科學(xué)界已經(jīng)發(fā)表的光速相差無幾，上帝說沒有這么湊巧的事，他由此認(rèn)為光也是一種電磁波。這真是偉大的發(fā)現(xiàn)！

可惜的是，天不假年，Maxwell 在48歲就因胃癌去世了，上帝沒給他足夠的時(shí)間去做實(shí)驗(yàn)證實(shí)他自己的理論?！按笃魍沓伞奔印坝⒛暝缡拧睂?duì)一般人來說注定一事無成，但他在有限的生命中成果輝煌，他的發(fā)現(xiàn)指引無數(shù)科學(xué)家向著這個(gè)方向去努力，Maxwell 的偉大理論首先指向了電磁波的產(chǎn)生和探測問題。1890年，德國科學(xué)家 Hertz （頻率單位）終于通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電磁波的存在，并且傳播速度等于光速。

The existence of these waves was experimentally confirmed, in 1890 by Hertz, who succeeded in producing them and verifying that they have the same propagation, interference, diffraction and polarization properties as light waves. Thus, Maxwell theory has enabled us to understand the nature of light as electromagnetic waves with very short wavelengths.

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831年6月13日?1879年11月5日），出生于蘇格蘭愛丁堡，英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一。1831年6月13日生于蘇格蘭愛丁堡，1879年11月5日卒于劍橋。1847年進(jìn)入愛丁堡大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理，畢業(yè)于劍橋大學(xué)。他成年時(shí)期的大部分時(shí)光是在大學(xué)里當(dāng)教授，最后是在劍橋大學(xué)任教。1873年出版的《論電和磁》，也被尊為繼牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之后的一部最重要的物理學(xué)經(jīng)典。麥克斯韋被普遍認(rèn)為是對(duì)物理學(xué)最有影響力的物理學(xué)家之一。沒有電磁學(xué)就沒有現(xiàn)代電工學(xué)，也就不可能有現(xiàn)代文明。