微分方程（英語(yǔ)：Differential equation，DE）是一種數(shù)學(xué)方程，用來(lái)描述某一類函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。微分方程的解是一個(gè)符合方程的函數(shù)。而在初等數(shù)學(xué)的代數(shù)方程里，其解是常數(shù)值。

微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。物理中許多涉及變力的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€(gè)不同的面向，但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解。只有少數(shù)簡(jiǎn)單的微分方程可以求得解析解。不過(guò)即使沒(méi)有找到其解析解，仍然可以確認(rèn)其解的部分性質(zhì)。在無(wú)法求得解析解時(shí)，可以利用數(shù)值分析的方式，利用電腦來(lái)找到其數(shù)值解。 動(dòng)力系統(tǒng)理論強(qiáng)調(diào)對(duì)于微分方程系統(tǒng)的量化分析，而許多數(shù)值方法可以計(jì)算微分方程的數(shù)值解，且有一定的準(zhǔn)確度。

分類

微分方程可分為以下幾類，而隨著微分方程種類的不同，其相關(guān)研究的方式也會(huì)隨之不同。

常微分方程及偏微分方程

常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知數(shù)是單一自變量的函數(shù)。最簡(jiǎn)單的常微分方程，未知數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)或是復(fù)數(shù)的函數(shù)，但未知數(shù)也可能是一個(gè)向量函數(shù)或是矩陣函數(shù)，后者可對(duì)應(yīng)一個(gè)由常微分方程組成的系統(tǒng)。微分方程的表達(dá)通式是：

{\displaystyle f\left(x,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},{\frac {d^{(n-1)}y}{dx^{(n-1)}}},\cdots ,{\frac {dy}{dx}},y\right)=0}f\left(x,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},{\frac {d^{{(n-1)}}y}{dx^{{(n-1)}}}},\cdots ,{\frac {dy}{dx}},y\right)=0

常微分方程常依其階數(shù)分類，階數(shù)是指自變量導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)[1]:p.3，最常見(jiàn)的二種為一階微分方程及二階微分方程。例如以下的貝塞爾方程：

{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0

（其中y為因變量）為二階微分方程，其解為貝塞爾函數(shù)。

偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知數(shù)是多個(gè)自變量的函數(shù)[2]，且方程中有未知數(shù)對(duì)自變量的偏微分。偏微分方程的階數(shù)定義類似常微分方程，但更細(xì)分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個(gè)自變量的值域中無(wú)法歸類在上述任何一種型式中，這種偏微分方程則稱為混合型。像以下的方程就是偏微分方程：

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}{\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.

線性及非線性編輯

常微分方程及偏微分方程都可以分為線性及非線性二類。

若微分方程中沒(méi)有出現(xiàn)應(yīng)變數(shù)及其微分項(xiàng)的乘積，此微分方程為線性微分方程，否則即為非線性微分方程。

齊次線性微分方程是線性微分方程中更細(xì)的分類，微分方程的解乘上一系數(shù)或是與另一個(gè)解相加后的結(jié)果仍為微分方程的解。

若線性微分方程的系數(shù)均為常數(shù)，則為常系數(shù)線性微分方程。常系數(shù)線性微分方程可以利用拉氏轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程[1]:p.315-316，因此簡(jiǎn)化求解的過(guò)程。

針對(duì)非線性的微分方程，只有相當(dāng)少數(shù)的方法可以求得微分方程的解析解，而且這些方法需要微分方程有特別的對(duì)稱性。長(zhǎng)時(shí)間時(shí)非線性微分方程可能會(huì)出現(xiàn)非常復(fù)雜的特性，也可能會(huì)有混沌現(xiàn)象。有關(guān)非線性微分方程的一些基本問(wèn)題，例如解的存在性、唯一性及初始值非線性微分方程的適定性問(wèn)題，以及邊界值非線性微分方程都是相當(dāng)難的問(wèn)題，甚至針對(duì)特定非線性微分方程的上述基本問(wèn)題都被視為是數(shù)學(xué)理論的一大突破。例如2000年提出的7個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題中，其中一個(gè)是納維-斯托克斯存在性與光滑性，都是探討納維－斯托克斯方程其解的數(shù)學(xué)性質(zhì)[3]，截至2018年8月此問(wèn)題仍尚未被證明。

線性微分方程常常用來(lái)近似非線性微分方程，不過(guò)只在特定的條件下才能近似。例如單擺的運(yùn)動(dòng)方程為非線性的微分方程，但在小角度時(shí)可以近似為線性的微分方程。

舉例編輯

以下是常微分方程的一些例子，其中{\displaystyle u}u為未知的函數(shù)，自變量為{\displaystyle x}x，{\displaystyle c}c及{\displaystyle \omega }\omega 均為常數(shù)。

非齊次一階常系數(shù)線性微分方程：

{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}{\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.

齊次二階線性微分方程：

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.

描述諧振子的齊次二階常系數(shù)線性微分方程：

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.

非齊次一階非線性微分方程：

{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.}{\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.

描述長(zhǎng)度為{\displaystyle L}L的單擺的二階非線性微分方程：

{\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.

以下是偏微分方程的一些例子，其中{\displaystyle u}u為未知的函數(shù)，自變量為{\displaystyle x}x及{\displaystyle t}t或者是{\displaystyle x}x及{\displaystyle y}y。

齊次一階線性偏微分方程：

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}{\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.

拉普拉斯方程，是橢圓型的齊次二階常系數(shù)線性偏微分方程：

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

KdV方程，是三階的非線性偏微分方程：

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}{\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.

性質(zhì)

普遍性的數(shù)學(xué)描述

許多物理或是化學(xué)的基本定律都可以寫(xiě)成微分方程的形式。在生物學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)中，微分方程用來(lái)作為復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。微分方程的數(shù)學(xué)理論最早是和方程對(duì)應(yīng)的科學(xué)領(lǐng)域一起出現(xiàn)，而微分方程的解就可以用在該領(lǐng)域中。不過(guò)有時(shí)二個(gè)截然不同的科學(xué)領(lǐng)域會(huì)形成相同的微分方程，此時(shí)微分方程對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)理論可以看到不同現(xiàn)象后面一致的原則。

例如考慮光和聲音在空氣中的傳播，以及池塘水面上的波動(dòng)，這些都可以用同一個(gè)二階的偏微分方程來(lái)描述，此方程即為波動(dòng)方程，因此可以將光和聲音視為一種波，和水面上的水波有些類似之處。約瑟夫·傅里葉所發(fā)展的熱傳導(dǎo)理論，其統(tǒng)御方程是另一個(gè)二階偏微分方程－熱傳導(dǎo)方程，擴(kuò)散作用看似和熱傳導(dǎo)不同，但也適用同一個(gè)統(tǒng)御方程，而經(jīng)濟(jì)學(xué)中的布萊克-休斯方程也和熱傳導(dǎo)方程有關(guān)。

微分方程的解編輯

微分方程的解通常是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式{\displaystyle y=f(x)\,}y=f(x)\,（含一個(gè)或多個(gè)待定常數(shù)，由初始條件確定）。例如：

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\sin x}{\frac {dy}{dx}}=\sin x，

的解是

{\displaystyle y=-\cos x+C}y=-\cos x+C，

其中{\displaystyle C}C是待定常數(shù)；

例如，如果知道

{\displaystyle y=f(\pi )=2}y=f(\pi )=2，

則可推出

{\displaystyle C=1}C=1，

而可知 {\displaystyle y=-\cos x+1}y=-\cos x+1，

簡(jiǎn)易微分方程的求解方法編輯

一階線性常微分方程編輯

對(duì)于一階線性常微分方程，常用的方法是常數(shù)變易法：

對(duì)于方程：{\displaystyle y'+p(x)y+q(x)=0}y'+p(x)y+q(x)=0

可知其通解：{\displaystyle y=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}y=C(x)e^{{-\int p(x)\,dx}}

然后將這個(gè)通解代回到原式中，即可求出{\displaystyle C(x)}C(x)的值

二階常系數(shù)齊次常微分方程編輯

對(duì)于二階常系數(shù)齊次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

對(duì)于方程：{\displaystyle y''+py'+qy=0}y''+py'+qy=0

其特征方程：{\displaystyle r^{2}+pr+q=0}r^{2}+pr+q=0

根據(jù)其特征方程，判斷根的分布情況，然后得到方程的通解： {\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}

一般的通解形式為

（在{\displaystyle r_{1}=r_{2}}{\displaystyle r_{1}=r_{2}}的情況下）:{\displaystyle y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}}y=(C_{1}+C_{2}x)e^{{rx}}

（在{\displaystyle r_{1}\neq r_{2}}{\displaystyle r_{1}\neq r_{2}}的情況下）:{\displaystyle y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}}y=C_{1}e^{{r_{1}x}}+C_{2}e^{{r_{2}x}}

（在共軛復(fù)數(shù)根的情況下）：{\displaystyle y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x))}y=e^{{\alpha x}}(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x))

約束條件編輯

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。

常微分方程常見(jiàn)的約束條件是函數(shù)在特定點(diǎn)的值，若是高階的微分方程，會(huì)加上其各階導(dǎo)數(shù)的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問(wèn)題。

若是二階的常微分方程，也可能會(huì)指定函數(shù)在二個(gè)特定點(diǎn)的值，此時(shí)的問(wèn)題即為邊界值問(wèn)題。若邊界條件指定二點(diǎn)數(shù)值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個(gè)特定點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件（第二類邊值條件）等。

偏微分方程常見(jiàn)的問(wèn)題以邊界值問(wèn)題為主，不過(guò)邊界條件則是指定一特定超曲面的值或?qū)?shù)需符定特定條件。

解的存在性及唯一性編輯

存在性是指給定一微分方程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否只存在一個(gè)解。

針對(duì)常微分方程的初值問(wèn)題，皮亞諾存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。

針對(duì)偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理（英語(yǔ)：Cauchy–Kowalevski theorem）可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問(wèn)題的解是否存在。

歷史編輯

微分方程的起源約在十七世紀(jì)末，為了解決物理及天文學(xué)問(wèn)題而產(chǎn)生，大約和微積分的發(fā)展同時(shí)?；莞乖?693年的《教師學(xué)報(bào)》中提到常微分方程，雅各布·白努利在1691年建立懸鏈線的微分方程，并求得其函數(shù)。微分方程在十八世紀(jì)中期成為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科[4]，而微分方程也帶動(dòng)許多當(dāng)時(shí)的科學(xué)發(fā)展，例如海王星的發(fā)現(xiàn)就和微分方程的分析有關(guān)[5]。

偏微分方程是由傅里葉開(kāi)始的，他在1822年發(fā)表《熱的解析理論》，提出熱傳導(dǎo)方程的偏微分方程，并且利用分離變量法求得級(jí)數(shù)解，并且開(kāi)始有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)的研究。另外在十九世紀(jì)有關(guān) 拉普拉斯方程的研究也是偏微分方程的重要發(fā)展。拉普拉斯和泊松都有許多的貢獻(xiàn)，后來(lái)喬治·格林提出了相關(guān)格林函數(shù)及格林公式等概念，并帶動(dòng)斯托克斯、麥克斯韋及后來(lái)電磁學(xué)相關(guān)的研究。而流體力學(xué)的納維-斯托克斯方程及彈性介質(zhì)的柯西方程也是在十九世紀(jì)提出的偏微分方程。[5]。后來(lái)許多的理論都是以偏微分方程的形式出現(xiàn)，量子力學(xué)的基礎(chǔ)方程薛定諤方程也是偏微分方程，廣義相對(duì)論中的愛(ài)因斯坦重力場(chǎng)方程也有類似偏微分的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

相關(guān)概念編輯

時(shí)滯微分方程（DDE）是一個(gè)單一自變量的方程，此變量一般稱為時(shí)間，未知數(shù)在某一時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和特定函數(shù)在之前時(shí)間的值有關(guān)。

隨機(jī)微分方程（SDE）是一個(gè)未知數(shù)為隨機(jī)過(guò)程，且方程中有包括已知隨機(jī)過(guò)程（例如維納過(guò)程）的方程，不過(guò)雖名為微分方程，其中沒(méi)有微分項(xiàng)。

微分代數(shù)方程（英語(yǔ)：differential algebraic equation）（DAE）是包括自變量微分項(xiàng)的方程，但是為自變量微分項(xiàng)的隱函數(shù)。

和差分方程的關(guān)系編輯

參見(jiàn)：時(shí)標(biāo)微積分

微分方程的理論和差分方程的理論有密切的關(guān)系，后者的坐標(biāo)只允許離散值，許多計(jì)算微分方程數(shù)值解的方法或是對(duì)于微分方程性質(zhì)的研究都需要將微分方程的解近似為對(duì)應(yīng)差分方程的解。

著名的微分方程編輯

物理及工程編輯

動(dòng)力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律

經(jīng)典力學(xué)中的歐拉－拉格朗日方程

經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓力學(xué)

熱力學(xué)中的牛頓冷卻定律

波動(dòng)方程

電磁學(xué)中的麥克斯韋方程組

熱力學(xué)中的熱傳導(dǎo)方程

定義調(diào)和函數(shù)的拉普拉斯方程

泊松方程

廣義相對(duì)論中的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程

量子力學(xué)中的薛定諤方程

測(cè)地線

流體力學(xué)中的納維－斯托克斯方程

隨機(jī)過(guò)程中的擴(kuò)散方程

流體力學(xué)中的對(duì)流－擴(kuò)散方程

復(fù)變分析中的柯西－黎曼方程

分子動(dòng)力學(xué)中的泊松－玻爾茲曼方程

淺水方程（英語(yǔ)：shallow water equations）

通用微分方程

勞侖次吸子，其解包括了渾沌現(xiàn)象

生物學(xué)編輯

威爾霍斯特方程–生物族群增長(zhǎng)模型

個(gè)體成長(zhǎng)模型–生物個(gè)體增長(zhǎng)模型

洛特卡－沃爾泰拉方程–掠食者和獵物的動(dòng)態(tài)模型

復(fù)制方程（英語(yǔ)：Replicator dynamics）–應(yīng)用在生物數(shù)學(xué)中

Hodgkin-Huxley模型（英語(yǔ)：Hodgkin–Huxley model）–神經(jīng)的動(dòng)作電位

經(jīng)濟(jì)學(xué)

布萊克-休斯方程

索洛模型

馬爾薩斯模型

塞西廣告模型