模仿只會(huì)仿制他所見(jiàn)到的事物，而想象則能創(chuàng)造他所沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的事物?！⒉_尼奧斯

佩爾加古城遺址

古典希臘的另一位偉大數(shù)學(xué)家是阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262年～190年），生于小亞細(xì)亞西北部的佩爾加（Perga，今屬土耳其安納托利亞）。他青年時(shí)代曾經(jīng)到亞歷山大城跟隨歐幾里得的后繼者學(xué)習(xí)，后來(lái)到過(guò)小亞細(xì)亞西岸的帕加馬(Pergamum)王國(guó)，也到過(guò)以弗所（Ephesus），嗣后卜居亞歷山大城和當(dāng)?shù)氐臄?shù)學(xué)家合作研究。在當(dāng)時(shí)及后世，他都以“大幾何學(xué)家”和天文學(xué)家聞名。

阿波羅尼奧斯在晚年總結(jié)自己的一生所學(xué)，撰寫了幾何學(xué)經(jīng)典巨著《圓錐曲線》，寫作風(fēng)格和歐幾里得、阿基米德是一脈相承的：先設(shè)立若干定義，再由此依次證明各個(gè)命題，推理十分嚴(yán)格。盡管在他之前已有人研究圓錐曲線，但阿波羅尼奧斯做了去粗取精和系統(tǒng)化的工作，另有非常獨(dú)到的創(chuàng)見(jiàn)，而且寫得巧妙、靈活。

《圓錐曲線》前四卷是基礎(chǔ)部分，后四卷是拓廣的內(nèi)容，其中八卷已失傳，共含487個(gè)命題。

卷1 論述圓錐曲線的定義和性質(zhì)

阿波羅尼奧斯是第一個(gè)依據(jù)同一個(gè)（正的或斜的）圓錐的界面來(lái)研究圓錐曲線理論的人，也是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人。

如上圖，給定一個(gè)圓直徑BC，以及該圓所在平面外的一個(gè)點(diǎn)A。過(guò)A點(diǎn)且沿圓周移動(dòng)的一根直線便生成一對(duì)錐面。直徑BC圓叫該圓錐的底。圓錐的軸（未畫出）若垂直于底，這就是正圓錐（直角圓錐），否則就是斜圓錐（銳角圓錐和鈍角圓錐）。設(shè)圓錐的一個(gè)截面與底平面相交于直線DE，該直線和底圓直徑BC相互垂直。于是，三角形ABC就是一個(gè)包含了圓錐軸的三角形，也因此被稱作為“圓錐軸三角形”。該三角形和“圓錐曲線”相交于兩點(diǎn)P，P`。PP`連接線是該“圓錐曲線”的一條直徑；Q點(diǎn)和Q`點(diǎn)的連接線是該“圓錐曲線”的一條弦，且和直線DE平行。因此，連線QQ`和連線PP`雖然相交于V點(diǎn)，但是未必和連線PP`垂直。阿波羅尼隨即證明了QQ`被PP`所平分，從而VQ=1/2QQ`。

作AF平行PM；在“圓錐曲線”截面上作PL垂直PM。

對(duì)于橢圓和雙曲線，選取的L點(diǎn)必須滿足如下條件：PL/PP`=BF·FC/AF2。

對(duì)于拋物線，選取的L點(diǎn)必須滿足如下條件：PL/PA=BC2/BA·AC。

阿波羅尼又作出了一些輔助線，最終證明了：對(duì)于橢圓和雙曲線有QV2=PV·VR；對(duì)于拋物線有QV2=PV·PL。

對(duì)于一平面上的任意曲線，從曲線上畫出一條直線，使之平分所有與這曲線相連且平行于某一直線的直線，這條直線為直徑（下圖左的AB）。兩條作為直徑的直線中，如果每一條都平分與另一條相平行的直線，稱它們?yōu)橐粭l曲線或兩條曲線的共軛直徑（AB和DE）。下圖右是雙曲線的情形。

彼此平行的那些直線相交成直角的共軛直徑為一曲線或兩曲線的共軛軸。

切線是與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)且全部在圓錐曲線之外的直線。設(shè)PP`是拋物線的一直徑（如下圖），而QV是它的一根相應(yīng)弦。于是若在直徑延長(zhǎng)到曲線外的那部分上取一點(diǎn)T使TP=PV，而V則是該直徑與其相應(yīng)弦QQ`的交點(diǎn)，則直線TQ與拋物線切于Q。對(duì)橢圓和雙曲線也有類似定理。

卷1還指出若給定的某些數(shù)據(jù)（如直徑、正焦弦、縱坐標(biāo)線與直徑的夾角），可先作出有關(guān)的圓錐后獲得所需的圓錐曲線。

卷2：雙曲線漸近線的作法和性質(zhì)；怎么做出直徑，中心、軸和切線。

若T是圓錐曲線外一點(diǎn)（下圖），TQ與TQ`是圓錐曲線上在Q和Q`處的切線，V是弦QQ`的重點(diǎn)，則TV是直徑。另一求直徑的方法是連接平行弦的中點(diǎn)。

卷3：切線與直徑所成圖形的面積；極點(diǎn)與極線的調(diào)和性質(zhì)；焦點(diǎn)性質(zhì)等。

如下圖，設(shè)有一圓錐極線AB，AC和CB是切線，連接AB，作直線CDEF穿過(guò)極線，則：CF:CD=EF:ED。C、D、E、F是一組調(diào)和點(diǎn)。

卷4：極點(diǎn)與極線的其它性質(zhì)；各種位置的圓錐曲線可能有的交點(diǎn)數(shù)目（兩圓錐曲線至多相交于四點(diǎn)）

卷5：從一特定點(diǎn)到圓錐曲線所能作的最長(zhǎng)和最短的線；法線的性質(zhì)與作法；漸屈線（從軌跡兩側(cè)的點(diǎn)能作不同數(shù)目法線）

卷6：全等圓錐曲線、相似圓錐曲線及圓錐曲線弓形

卷7：有心圓錐曲線兩共軛直徑的性質(zhì)

卷8：失傳

《圓錐曲線》被公認(rèn)為古典希臘幾何的登峰造極之作，直到17世紀(jì)笛卡爾、帕斯卡之前，后代學(xué)者至少?gòu)膸缀紊蠋缀醪荒茉賹?duì)這個(gè)問(wèn)題有新的發(fā)言權(quán)。

除了《圓錐曲線》外，阿波羅尼奧斯還有好幾種著作：

1．《截取線段成定比》(On the cutting-off of a ratio)

2．《截取面積等于已知面積》(On the cutting-off of an area)

3．《論接觸》(On contacts)——由韋達(dá)整理，該書中含有著名的阿波羅尼奧斯問(wèn)題：任給三點(diǎn)、三線或三圓，或三者的任意組合，求作一圓過(guò)給定的點(diǎn)并切于所給直線或圓。韋達(dá)、牛頓都給出過(guò)這個(gè)問(wèn)題的解。

4．《平面軌跡》(Plane loci)

5．《傾斜》(Vergings或Inclinations)

6．《十二面體與二十面體對(duì)比》(Comparison of the dodecahedron with the icosahedron)

此外還有《無(wú)序無(wú)理量》(Unordered Irrationals)、《取火鏡》(On the burning-mirror)、圓周率計(jì)算以及天文學(xué)方面的著述等。

至此，古典希臘時(shí)期的數(shù)學(xué)史告一段落，相較具體數(shù)學(xué)內(nèi)容更重要的是：它創(chuàng)造了我們今天所理解的那種數(shù)學(xué)。

下一講亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)。