定義是揭示事物的本質(zhì)屬性，對于某些數(shù)學問題，若能靈活運用定義解題，往往事半功倍，本文舉例說明橢圓定義在解題中的應用。

一. 解方程

例1. 

分析：常規(guī)方法是經(jīng)過兩次平方去根號求解，但運算繁雜，難免不出錯。如果聯(lián)想到橢圓的第一定義，將方程配方后令，得，則點M（x，y）的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，從而原方程的解等價于已知橢圓上點的縱坐標去求它們的橫坐標。

解：由原方程可得

解得

二. 判斷方程表示的曲線

例2. 已知，且滿足，試判斷點M的軌跡是怎樣的曲線。

分析：若將原方程平方，化簡后并不能直接判斷出軌跡是什么曲線，注意式子結(jié)構(gòu)的特點，左邊可看成點M到點（2，0）的距離，從而可聯(lián)想右邊可化為點M到直線的距離，即有，由此聯(lián)想到橢圓的第二定義，就很簡單地求出點M的軌跡是橢圓。

三. 求參數(shù)的取值范圍

例3. 設(shè)橢圓的兩個焦點是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c>0），且橢圓上存在點P，使得直線PF₁與直線PF₂垂直，求m的取值范圍。

解：由題意知m>0，，，且

②²－①得：

又

所以，即，所以

例4. 若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是（ ）

A. （0，1） B. （1，+∞）

C. （0，5） D. （5，+∞）

分析：由已知得

即

依題意，此方程表示橢圓，根據(jù)橢圓的第二定義，得，解得m>5，選D。

四. 求最值

例5. （1）給定A（-2，2），已知B是橢圓上動點，F(xiàn)是左焦點，當取最小值時，求B點坐標。

（2）已知橢圓內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為橢圓右焦點，M是橢圓上動點，求|MP|+|MF|的最小值。

分析：此題如果按一般求最值的方法先建立目標函數(shù)，再求最值，因含有兩個根式的和，代入消元不易，難以求解，但如果我們注意數(shù)量特征，利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化，則可得到如下簡解。

解：（1）顯然點A在橢圓內(nèi)部，由橢圓第二定義可得：B到橢圓左準線l的距離，所以，結(jié)合平面幾何知識，可知，當AB⊥l時，最小，此時易求B點坐標為（，2）

（2）設(shè)橢圓的左焦點為F”，由平面幾何知識，得，當且僅當M為線段F”P的延長線與橢圓交點時取等號。

所以

所以的最小值為。

五. 求軌跡方程

例6. 已知橢圓的焦點是F₁、F₂，P是橢圓上一個動點，如果延長F₁P到Q，使得，那么動點Q的軌跡是（ ）

A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線一支 D. 拋物線

解：因為，所以

由橢圓第一定義得，故，即Q點軌跡是以F₁為圓心，以2a為半徑的圓，選A。

六. 求焦點三角形的面積

例7. 已知點P是橢圓上的一點，F(xiàn)₁、F₂是兩個焦點，且∠F₁PF₂＝α，求△F₁PF₂的面積S。

解：△PF₁F₂中，由余弦定理，得

所以

故

七. 求離心率

例8. 已知P是橢圓上一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點若∠PF₁F₂＝α，∠PF₂F₁＝β，求橢圓離心率。

解：△PF₁F₂中，由正弦定理有

八. 求離心率取值范圍

例9. F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得∠F₁PF₂＝120°，求橢圓離心率的取值范圍。

解：由同例8得

又，所以