例題：（初中數(shù)學競賽題）如圖所示，已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4．求證：1/AB + 1/AC ＝ 1/BC．

這是一道求證線段比例式的幾何題，給出的條件很少，圖形也非常簡單，絕大多數(shù)學生一看到這道幾何證明題就徹底懵了，即使是學霸也被悉數(shù)難倒，其實也不怪他們，因為這是一道數(shù)學競賽題，難度比較大。此題的考查知識點有相似三角形的判定及性質問題等。在做題時，必須將求證的結論進行變形，得出我們熟悉的線段比例式。解決此題的關鍵是以原三角形ABC為基礎添加輔助線，構造一個三角形，使它與△ABC相似。下面，貓哥就與大家一起來解決這道例題吧！

分析：若要證1/AB + 1/AC ＝ 1/BC，只需證明（AB+AC）/（AB·AC）=1/BC，進一步變形可以得到（AB+AC）/AC=AB/BC，為此若能設法利用長度分別為AB，BC，CA及（AB+AC）這4條線段，構造一對相似三角形，問題可能解決．由于△ABC中已含其中的三條線段，因此，不妨以原三角形ABC為基礎，結合角的關系添加輔助線，構造一個與△ABC相似的三角形即可。

證明：延長AB至D，使BD=AC（此時AD=AB+AC），

延長BC至E，使AE=AC，連接ED．

設∠A=α，

∵∠A：∠B：∠C=1：2：4，

∴∠B=2α，∠C=4α，

由三角形內角和得∠A+∠B+∠C=7α=180°．

由作圖知∠ACB是等腰三角形ACE的外角，

∴∠ACE=180°-4α=3α，

∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．

∴∠EAB=2α=∠EBA，

∴AE=BE．

∵由作圖知道AE=AC，BD=AC，

∴BE=AE=BD，

∴△BDE是等腰三角形，

∴∠D=∠BED=α=∠CAB，

又∵∠EAD=2α=∠CBA，

∴△ABC∽△DAE，

∴AD/AE=AB/BC，

即（AB+AC）/AE=AB/BC，

等量代換得（AB+AC）/AC=AB/BC，

兩邊都除以AB，得

1/AB + 1/AC ＝ 1/BC ．

（完畢）

溫馨提示：此文是原創(chuàng)作者貓哥一字一句打出來的，文中難免會出現(xiàn)一些小錯誤，還請大家諒解！數(shù)學世界不追求高難度題目，但一定是經(jīng)典題型，希望大家喜歡。另外，若朋友們還有不明白的地方或者有更好的解題方法，歡迎留言參與討論。謝謝！