【數(shù)學(xué)定義】

已知平面上兩定點(diǎn)A、B，則所有滿足PA:PB＝k（或PA＝k·PB）且k≠1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，所以該圓就稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．

具體的描述為：一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m:n，則P點(diǎn)的軌跡是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓．

具體的描述為：一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m:n，則P點(diǎn)的軌跡是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓．

通俗地說：如圖，在△PAB中，PD平分∠APB交AB于點(diǎn)D，PC平分△PAB的外角∠APE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，以線段CD長(zhǎng)為直徑的圓就是阿氏圓．

當(dāng)k＝1時(shí)，PA＝PB，那么點(diǎn)P到線段AB的兩端點(diǎn)的距離相等，它的軌跡就是線段AB的垂直平分線．

【數(shù)學(xué)定理】

1、三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線內(nèi)分對(duì)邊之比.

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，則AB:AC＝BD:CD

.2、三角形外角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的外角平分線外分對(duì)邊之比.

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，則AB:AC＝BD:CD.

【模型探究】

如圖，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連結(jié)PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

【問題解決】

問題解決的關(guān)鍵在于如何確定“k·PB”的大小，如圖，在線段OB上截取OC，使OC=k·r，則可證明△BPO∽△PCO，即可得k·PB=PC．

本題求“PA+k·PB”的最小值就轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，其中點(diǎn)A、C為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，如圖：

如圖，當(dāng)點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，

“PA+PC”的值最小，問題得解

．【破解步驟】

（母子型相似：△PCO∽△BPO）

1、將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連結(jié)OB、OP；

2、計(jì)算出線段OP、OB的長(zhǎng)以及線段比OP:OB＝k的值，

3、在OB或OB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C，使得OC:OP＝OP:OB＝k；（關(guān)鍵步驟）

4、連結(jié)AC，與⊙O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【模型實(shí)例】

圖文解析

觀察動(dòng)態(tài)演示：

【解析】

1、如圖，將系數(shù)不為1的線段AP的兩端點(diǎn)分別與圓心C相連，即連結(jié)CA、CP；

4、如圖，連結(jié)BD，與圓C的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

變式：條件不變，求AP＋0.5BP的最小值.

（答案：根號(hào)37）

【牛刀小試】

1、已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點(diǎn)P是弧CD上的一點(diǎn)，則2AP＋BP的最小值是 ．

2、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半徑為2，點(diǎn)D是⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE＝1，連結(jié)AD、DE，求0.5AD＋2DE的最小值．

【答案】1、13 2、根號(hào)17

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