求線段和最值的進階玩法——2019年重慶中考數(shù)學B卷第26題

線段和最值最初出現(xiàn)的位置是在人教版數(shù)學八年級上冊軸對稱章節(jié)，著名的將軍飲馬問題。初中階段從純幾何角度，解決此類問題的依據(jù)主要是“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個定理，而線段和最值，基本都會轉(zhuǎn)化成兩點間距離或垂線段長度。

題目

在平面直角坐標素中，拋物線y=-√3/4x2+√3/2x+2√3與x軸交于A，B兩點（點A在點B右側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與x軸交于點Q。

(1)如圖1，連接AC，BC，若點P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸交BC于點E，作PF⊥BC于點F，過點B作BG∥AC交y軸于點G，點H、K分別在對稱軸和y軸上運動，連接PH，HK。當△PEF的周長最大時，求PH+HK+√3/2KG的最小值及點H的坐標；

(2)如圖2，將拋物線沿射線AC方向平移，當拋物線經(jīng)過原點O時停止平移，此時拋物線頂點記為D'，N為直線DQ上一點，連接D'，C，N，△D'CN能否構(gòu)成等腰三角形？若能，直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不能，請說明理由。

解析：

(1)不可否認，此小題并不如一般壓軸題那樣友好，閱讀理解的難點在兩處，首先是“當△PEF的周長最大時”，其次是線段和中的那個√3/2KG。

△PEF的周長何時最大？

不要孤立地看它的三邊，而要看整個三角形，根據(jù)題目中描述的作法，PE、PF、EF長度雖然隨點P而變化，但三角形形狀卻沒有發(fā)生改變，觀察到這一點，便可聯(lián)想到它是否和圖中某個三角形形狀相同，于是我們看到了△BOC，EF在BC上，PE與OC平行，PF與BC垂直。

△BOC形狀確定嗎？

答案是肯定的，拋物線解析式已知，我們可以先求出圖中A、B、C、D四點坐標，作為準備工作。將拋物線解析式從一般式化為頂點式為y=-√3/4(x-1)2+9√3/4，再化為交點式為y=-√3/4(x+2)(x-4)，求出A(-2，0)，B(4，0)，C(0，2√3)，D(1，9√3/4)，再證明出△PEF∽△BOC，因此△PEF周長最大時，只要某條邊最長即可，顯然PE的長度最好表示。

設P(m,-√3/4m2+√3/2m+2√3)，根據(jù)前面求得點B和點C坐標，得到直線BC的解析式為y=-√3/2x+2√3，所以點E坐標為(m,-√3/2m+2√3)，則PE=-√3/4m2+√3/2m+2√3-(-√3/2m+2√3)=-√3/4m2+√3m=-√3/4(m-2)2+√3，即當m=2時，PE有最大值，所以P(2，2√3)。

形狀確定的三角形，周長最值可轉(zhuǎn)化成其中一條邊的最值，所謂一葉落而知天下秋，誠如是也。

下面來解決第二個難點，√3/2KG如何轉(zhuǎn)化成某條線段。

我們在學習三角函數(shù)時，在含30°角的直角三角形中，長直角邊和斜邊之間的數(shù)量關(guān)系恰好是√3：2的關(guān)系，由此聯(lián)想到，構(gòu)造一個以KG為斜邊的含30°角的直角三角形，那條長直角邊不正是我們需要轉(zhuǎn)化的結(jié)果嗎？

過點K作KM∥AC，過點G作GM⊥KM，如下圖：

于是在Rt△KMG中，∠MKG=30°，因此KM=√3/2KG，現(xiàn)在我們再來觀察結(jié)論中的線段和，變成了PH+HK+KM，其中點P已經(jīng)是定點，而點G也是定點，連帶著GM所在直線為定直線，聯(lián)想到點到直線的距離，即垂線段最短，當P、H、K、M在點P到直線GM的垂線段上時，它們的和最小，如下圖：

PM的斜率與直線AC相同，而在前面準備工作中，我們可以求出AC的解析式為y=√3x+2√3，因此可求得PM的解析式為y=√3x，咦？恰好經(jīng)過原點，K與O重合，意外發(fā)現(xiàn)。剩下的計算就簡單多了，PM=OP+KM，OP易求，為4，KM=√3/2KG=6，于是PM=10，此時點H坐標為(1，√3)；

(2)此小題的閱讀理解難點在于拋物線沿射線AC方向平移，在沒有學習向量的初中生來看，拋物線的平移可以看成頂點平移帶動整個拋物線，因此可以只關(guān)心頂點如何平移，即理解成頂點D沿射線AC方向平移。

沿AC方向又是什么鬼？

不妨過點D作AC的平行線，點D'一定在這條直線上，以方便我們表示，直線DD'可求得為y=√3x+5√3/4，于是D'(d，√3d+5√3/4)，平移后的拋物線頂點式為y=-√3/4(x-d)2+√3d+5√3/4，既然它經(jīng)過原點，就把(0,0)代入，求得d=-1或5，顯然d=-1不符合，于是D'(5，25√3/4)，如下圖：

至此，問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形存在性，兩定點為C和D'，則線段CD'面臨為腰或為底兩種選擇，下面我們利用尺規(guī)作圖來探索等腰三角形存在性，在此之前先求出CD'2=1267/16：

①以點C為圓心，CD'為半徑作弧，交對稱軸x=1于N點，可以看出，這樣的N點有兩個，當作CN⊥DQ時，這兩個點關(guān)于CN軸對稱，所以只需求其中一個即可，如下圖：

在Rt△CNN1中，CN12=CD'2=1267/16，而CN=1，可求得NN12=1251/16，于是得到N1(1，(8√3+3√139)/4)，同理得到N2(1，(8√3-3√139)/4)；

②以點D'為圓心，CD'為半徑作弧，交對稱軸x=1于N點，可以看出這樣的N點同樣也有兩個，分別是N3和N4，當作D'N⊥DQ時，它們關(guān)于D'N軸對稱，仍然只需求其中一個即可，如下圖：

同樣利用Rt△D'NN3，過程不再重復，結(jié)果為N3(1,(25√3+√1011)/4)，N4(1,(25√3-√1011)/4)；

③作線段CD'的垂直平分線，交x=1于N點，如下圖：

利用解析法或幾何法均可較容易得到，只是計算結(jié)果數(shù)字偏大，為N5(1,641√3/136)；

綜上所述，滿足條件的N點有5個，分別為N1(1，(8√3+3√139)/4)，N2(1，(8√3-3√139)/4)，N3(1,(25√3+√1011)/4)，N4(1,(25√3-√1011)/4)，N5(1,641√3/136)

解題反思

考題源于教材，從最基本的兩條線段和最值（利用軸對稱）發(fā)展成三條線段和最值，再將其中一條線段拓展成倍數(shù)關(guān)系，雖然思維難度增大，但核心依然是線段和最值。對于拋物線平移，揪住最根本的頂點，了解它的動向，自然對整個拋物線平移了如指掌。而等腰三角形的存在性探索，則和平時尺規(guī)作圖是否認真學習息息相關(guān)。當然，最后一題，在計算結(jié)果中，數(shù)字較大，對學生計算能力有一定要求，也打破了壓軸題結(jié)果數(shù)字太“常規(guī)”的限制。

對教學的指導意義在于，數(shù)學核心素養(yǎng)一定要根植于每節(jié)課，從學生長遠利益來看，夯實基礎比花樣百出的解法套路更值得投入，常規(guī)常法依然是解題教學的重中之重。