接上篇：你也能懂的微積分（上）

14數(shù)學(xué)的力量

微積分的發(fā)明使我們求曲線圍成面積的難度出現(xiàn)了斷崖式的下降。那么，在這個(gè)過程中到底發(fā)生了什么？為什么數(shù)學(xué)可以如此有效地簡化我們的問題？是我們的問題本來就很簡單，以前把它想復(fù)雜了，還是我們真的把問題的復(fù)雜度降低了？

還記得小學(xué)遇到的“雞兔同籠”問題么？雞和兔被關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，一共有35個(gè)頭，從下面數(shù)，一共有94只腳，請問籠子里分別有多少只雞和兔？

有很多“聰明”的老師會(huì)教你一些非?！?strong>有用”的解題技巧，比如，因?yàn)殡u有一個(gè)頭兩只腳，兔子有一個(gè)頭四只腳，而現(xiàn)在總共有35個(gè)頭，那么你把這個(gè)35乘以2，得到的70就是所有的雞的腳加上一半的兔子的腳（因?yàn)橥米佑?只腳，而你只乘以2，所以每只兔子你還有2只腳沒有算）。

然后，我用總腳數(shù)94減去這個(gè)70，得到的24就是剩下的一半兔子腳，再用24除以2（一只兔子4只腳，一半就是2只）就得到了兔子的數(shù)量12。因?yàn)橐还灿?5個(gè)頭，那么用35-12=23就是雞的數(shù)量。

當(dāng)然，雞兔同籠問題還有很多其它的特殊解法，長尾君這里就不再列舉了。這些解法算出來的結(jié)果有問題嗎？當(dāng)然沒問題，但是這些解法簡單么？好么？

不好！為什么？因?yàn)?strong>局限性太大了。我今天放雞和兔你可以這樣算，那明天我要是放點(diǎn)其它的動(dòng)物這方法是不是就不管用了？如果下次不是數(shù)頭和腳，而是去數(shù)翅膀和腳，這方法還行么？

這就跟阿基米德用窮竭法算曲線圍成的面積一樣，面對每一種不同曲線圍成的面積，我求面積的方法都不一樣。我的每一種解法都嚴(yán)重依賴曲線的具體特性，所以這種方法的局限性就非常大，帶來的意義也非常有限。

而微積分之所以偉大，就是因?yàn)?strong>它從這些看起來不一樣的問題里抽象出來了一個(gè)共同的本質(zhì)，然后所有的問題都可以套用這套程序，這樣大家才能放心的以它為跳板往前沖。

后來我們學(xué)習(xí)了方程，接著就發(fā)現(xiàn)以前讓我們頭痛不已的“雞兔同籠”問題突然就變得非常簡單了。不僅解決這個(gè)具體問題簡單，而且隨便你怎么變化，加入其它的動(dòng)物也好，數(shù)上翅膀也好，都可以用一樣的程序閉著眼睛把題目做出來。為什么會(huì)這樣？

沒有方程的時(shí)候，我們得具體問題具體分析，然后根據(jù)它的題干去做各種逆向分析。

逆向思考，這本來就是很反人類的思維方式。我們很容易從一系列原因出發(fā)得到某種結(jié)果，但是給你某種結(jié)果讓你去倒著分析原因就是很困難的事情了（這不才有了偵探這個(gè)職業(yè)么）。

比如，如果我們現(xiàn)在知道了有23只雞，12只兔子，然后讓你去計(jì)算有多少頭和腳，這是正向思維，很容易。但是，如果告訴你有多少頭和腳，讓你去反著思考有多少雞和兔子，這就是逆向思維了，很麻煩。

方程告訴我們：為什么放著自己熟悉的正向思維不用，而跑去用麻煩的逆向思維呢？你說，我這不是不知道有多少只雞和兔子，這不得已才用逆向思維么？方程告訴你，你不知道有多少只雞和兔子無所謂，你可以先用一個(gè)未知的量代替它，先用正向思維把方程列出來再說。

比如，我假設(shè)有x只雞，y只兔子，那么，一共就有x+y個(gè)頭，2x+4y只腿。而題目告訴我們有35個(gè)頭，94只腳，所以我們就可以得到：

我們毫不費(fèi)力的就把這兩個(gè)方程列出來了，于是這個(gè)題目基本上就做完了。因?yàn)槭Ｏ碌氖虑榫褪前褁和y從方程里解出來，而解方程是一件高度程序化的事情，什么樣的方程怎么去求解，都有固定的方法。

從小學(xué)時(shí)代的“聰明技巧”到傻瓜式地列方程、解方程，這是數(shù)學(xué)上一個(gè)非常典型的進(jìn)步，大家可以仔細(xì)想想：這個(gè)過程中到底發(fā)生了什么？方程到底是如何簡化問題的？這跟微積分的發(fā)明有何異曲同工之妙？

其實(shí)，我們開始思考雞兔同籠的那些“聰明的技巧”，那些逆向思維時(shí)的思路，都被打包塞到解方程的步驟里去了。

什么意思？比如，你要解上面這個(gè)方程：

老師可能會(huì)教你一些固定的方法。

第一步，把方程1兩邊都乘以2，得到2x+2y=70（這不就是跟我們上面的方法一樣，把所有雞兔的頭都乘以2么）。

第二步，再用方程2減去方程1，這樣就把x消去了，得到了2y=24（我們上面也是這么說的，腳的數(shù)量減去2倍頭的數(shù)量就等于兔子剩下的腳的一半），然后就把兔子的數(shù)量y=12求出來了。

第三步，把兔子的數(shù)量，也就是y的值12代入到方程1，求出x的值，得到了雞的數(shù)量23。

大家發(fā)現(xiàn)沒有：你以前思考這個(gè)問題時(shí)最復(fù)雜的那些步驟，現(xiàn)在完全被機(jī)械化地打包到解方程的過程中去了。你以前覺得那些只有你才能想得到的巧妙解題技巧，只不過是最簡單的解方程的方法，所以你就覺得這個(gè)問題現(xiàn)在變得非常簡單了。

這就是數(shù)學(xué)！

數(shù)學(xué)不斷地從不同領(lǐng)域抽象出一些相同的本質(zhì)，然后盡可能地把抽象出來的東西一般化，程序化，這樣我們就能越來越方便地掌握各種高級(jí)數(shù)學(xué)武器。

因此，數(shù)學(xué)越發(fā)展越抽象，越看重這種能夠一般化、程序化的解決某種問題的方法。所以，方程的思想是革命性的，微積分也一樣。

微積分也是使用了一種通用的方法來處理各種曲線圍成的面積，稍加變化我們就能同樣求出曲線的長度，或者曲面包含的體積。微積分之所以能夠簡化求面積的邏輯，是因?yàn)槲⒎e分把這塊邏輯都打包到求原函數(shù)里去了，而后者是一個(gè)可以程序化、一般化的操作。

所以，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，也要更多地注意這些數(shù)學(xué)是從哪些不同的地方抽象出了哪些相同的本質(zhì)，如何一般化地解決這類問題上。這是數(shù)學(xué)的“大道”，我們不用過于在意那些小技巧，沒必要耗時(shí)間去琢磨“雞兔同籠”問題的108種解法，以至于揀了芝麻丟了西瓜~

這一段似乎有點(diǎn)偏離主題，但是我覺得很重要。把這些理清楚了，對大家如何定位數(shù)學(xué)，如何理解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都會(huì)有很大的幫助。否則，如果我們從小學(xué)到高中學(xué)了十幾年的數(shù)學(xué)，卻不知道數(shù)學(xué)是什么，那不是很悲催么？而且，這一段對于我們理解微積分的意義也會(huì)很有幫助。

15進(jìn)擊的微積分

好，現(xiàn)在微積分創(chuàng)立了，微積分的基本定理也被正式地提出來了，接下來應(yīng)該再做什么呢？你該不會(huì)以為文章到這里就要結(jié)束了吧？不不不，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有。

誠然，微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)是這場革命里最核心的東西，相當(dāng)于革命的指導(dǎo)思想。既然已經(jīng)有了指導(dǎo)思想，那接下來要做的事情自然就是擴(kuò)大戰(zhàn)果，把這么優(yōu)秀的思想擴(kuò)散到各個(gè)領(lǐng)域里去啊。怎么擴(kuò)呢？

首先，微積分基本定理的核心思想就是用求原函數(shù)的方式來解決求面積的問題，所以求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)就成了問題的核心。那么，我們自然就要研究各種常見函數(shù)的求導(dǎo)和求原函數(shù)的方法。

這些弄清楚之后，我們接下來就要問：由一些常見函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，比如兩個(gè)函數(shù)相加減、相乘除、相嵌套復(fù)合等時(shí)候要怎么求原函數(shù)？怎么求積分？再擴(kuò)展一下，現(xiàn)在知道了如何求面積，那要怎樣求體積，求曲線的長度呢？

這部分內(nèi)容是我們最擅長的，也是我們考試的重點(diǎn)。它的核心就是熟悉各種前人總結(jié)下來的微積分技巧，多練習(xí)，熟能生巧，沒什么捷徑。但是，也要特別警惕把對微積分的學(xué)習(xí)完全變成了對這種技巧的訓(xùn)練，這樣數(shù)學(xué)就真的變成了算術(shù)了。

此外，我強(qiáng)烈建議有抱負(fù)的同學(xué)不要急著打開微積分的課本直接去翻看這些問題的答案。我在前面已經(jīng)把微積分的思想說了，大家完全可以看看自己能不能獨(dú)立把這些問題推出來，實(shí)在沒轍了再去翻課本，也就是孔子說的“不憤不啟，不悱不發(fā)”。

像牛頓和萊布尼茨那樣洞察“積分和微分是互逆運(yùn)算”，然后提出微積分基本定理，這是一流科學(xué)家的素養(yǎng)。一流科學(xué)家提出這種重大創(chuàng)新之后，你能跟著把后面很自然的東西做完善，這是二流科學(xué)家的基本素養(yǎng)。大家在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候要有意識(shí)地培養(yǎng)自己的這種能力~

然后，我們就可以把微積分的技術(shù)擴(kuò)展到各種其它的領(lǐng)域了。比如，有了微積分，我就可以研究彎曲的東西，曲線、曲面什么的都可以研究。這就等于說是在用微積分來研究幾何，這就是微分幾何。后面我講廣義相對論的時(shí)候，這玩意就必不可少了。

有了微積分，我們發(fā)現(xiàn)很多物理定律都可以寫成微分方程的形式，有多個(gè)變量的時(shí)候就是偏微分方程。我上三篇文章講的麥克斯韋方程組、波動(dòng)方程，后面要講的廣義相對論的場方程，都是這樣。

有了微積分，我們就可以計(jì)算各種不同曲線的長度。那么，如何確定在特定條件下最短的那條曲線呢？這里就發(fā)展出了變分法，變分法配合最小作用量原理，在物理學(xué)的發(fā)展里起到了極為關(guān)鍵的作用。

所以，微積分在接下來的兩個(gè)世紀(jì)里基本上就這樣瘋狂的擴(kuò)張著?？茖W(xué)（尤其是物理學(xué)）的發(fā)展需要微積分，微積分也需要從科學(xué)里尋汲取營養(yǎng)，它們就這樣相互促進(jìn)、相互成長、相親相愛。

16被忽略的無窮小

但是，似乎大家都忘了一個(gè)問題：此時(shí)微積分的基礎(chǔ)并不牢固，萊布尼茨把dx視為一個(gè)無窮小量，但是無窮小量還是怎么說都說不圓。

一個(gè)接近于0又不等于0的無窮小量到底是個(gè)什么玩意？為什么你有時(shí)候可以把它當(dāng)除數(shù)約掉（認(rèn)為它不為0），有時(shí)候又隨意把它舍棄（認(rèn)為它等于0）？看數(shù)學(xué)史的時(shí)候也會(huì)覺得奇怪，像歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、伯努利兄弟這些頂級(jí)數(shù)學(xué)家，居然都對這些問題視而不見。更讓人奇怪的是，他們使用這種邏輯不嚴(yán)密的微積分居然沒有出什么差錯(cuò)，只能說大佬們的直覺確實(shí)逆天。

因此，微積分最后的問題就是：如何使微積分嚴(yán)密化？如何把微積分建立在一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上？

之所以把dx看成一個(gè)無限趨近于0卻又不等于0的無窮小量，主要是因?yàn)檫@樣做很直觀。我們用很多矩形去逼近曲線圍成的面積，矩形數(shù)量越多，每個(gè)矩形的寬度就越小。當(dāng)矩形的數(shù)量變成“無窮多個(gè)”的時(shí)候，每個(gè)矩形的寬度就“理所當(dāng)然”地變成了無窮小。這么看，無窮小量確實(shí)很直觀，但是這里有什么問題呢？

當(dāng)我說矩形的數(shù)量是一百個(gè)、一千個(gè)的時(shí)候，我是可以把它們都數(shù)出來的，我也可以把它們的面積之和都算出來。但是，當(dāng)你說矩形的數(shù)量是無窮多個(gè)的時(shí)候，無窮多個(gè)是多少個(gè)？你能數(shù)出來么？你真的可以把無窮多個(gè)矩形的面積一一算出來，然后把它們加起來么？

有人可能覺得我在胡攪蠻纏。無窮嘛，那肯定是無法具體數(shù)出來、測出來的，也不可能真的把無窮多個(gè)矩形的面積一個(gè)個(gè)算出來再求和。但是我知道是那么個(gè)意思，是那么回事就行了。我測不出來，但是我能想出來，難道還不讓我想了么？

對，還真就不讓想了！

大家可能都知道，科學(xué)和哲學(xué)以前是一家的。因?yàn)榧兇獾乃急嬖谡軐W(xué)里非常常見，所以以前的“科學(xué)”里就到處夾雜著這種“可以想但是無法測量的東西”，這就極大的限制了科學(xué)的發(fā)展。因?yàn)?strong>一個(gè)東西如果無法測量你就無法用實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證它，無法驗(yàn)證你就不知道它是對是錯(cuò)，你不知道對錯(cuò)那就只能以權(quán)威說了算。你沒有證據(jù)還敢說權(quán)威不對，那就很麻煩了，所以亞里士多德的學(xué)說可以統(tǒng)治歐洲近兩千年。

現(xiàn)代科學(xué)從哲學(xué)里分離了出來，一個(gè)標(biāo)志性的操作就是：科學(xué)家們開始關(guān)注那些能夠用實(shí)驗(yàn)測量到的量，對那些用實(shí)驗(yàn)無法測量的東西避而不談。

伽利略是公認(rèn)的“現(xiàn)代科學(xué)之父”，他的核心觀點(diǎn)有兩條：第一，用數(shù)學(xué)定量地描述科學(xué)；第二，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證科學(xué)。所以，如果你談的是現(xiàn)代科學(xué)，那你就不能亂想了。

如果你還想用一些無法測量的概念來構(gòu)建你的“科學(xué)體系”，那么你的方法論就是非科學(xué)的，你構(gòu)建的也只是玄學(xué)而非科學(xué)，這是很多民科非常容易犯的錯(cuò)誤。龐加萊甚至直接說：“凡是不能測量的東西，都不能算是自然科學(xué)?！?/p>

這種思想在科學(xué)昌盛的19世紀(jì)已經(jīng)很普遍了，誕生于這個(gè)時(shí)期的實(shí)證主義也指出：人類不可能也不必要去認(rèn)識(shí)事物的“本質(zhì)”，科學(xué)是對經(jīng)驗(yàn)的描寫。他們甚至提出口號(hào)要“取消形而上學(xué)”。

17柯西來了

總之，一切的一切就是不讓你在科學(xué)里再談那些無法測量，無法驗(yàn)證的概念，科學(xué)要基于實(shí)證。

那么，只能想?yún)s無法數(shù)，無法“觀測”的無窮小量是不是這樣的一個(gè)概念呢？雖然它很直觀，但是你回顧科學(xué)的歷史，反直覺的重大科學(xué)進(jìn)步難道還少么？歷史一次次地告誡我們：直覺不可靠，我們能依靠的只有嚴(yán)密的邏輯和確鑿的實(shí)驗(yàn)。

在這樣的大環(huán)境下，我們迎來了一位重要人物：柯西。

柯西深刻地認(rèn)識(shí)到：只要涉及數(shù)學(xué)概念，任何關(guān)于連續(xù)運(yùn)動(dòng)的一些先驗(yàn)的直觀觀念，都是可以避免，甚至是必須避免的?？茖W(xué)放棄了形而上學(xué)方面的努力，采用“可觀測”概念之后就迎來了大發(fā)展，那數(shù)學(xué)為什么不也這樣呢？

無窮小量是一個(gè)無限趨近于0但是又不能等于0的概念，也就是說它有一個(gè)極限位置0，你可以想多接近就多接近，但就是無法到達(dá)。

我們知道實(shí)數(shù)跟數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。當(dāng)我們說一個(gè)量在無限趨近于0的時(shí)候，很多人腦海里浮現(xiàn)的畫面就是一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上不停地移動(dòng)，從一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到下一個(gè)點(diǎn)，一直靠近0這個(gè)點(diǎn)。

但是這個(gè)圖景是不對的，為什么？因?yàn)?strong>實(shí)數(shù)是稠密的。稠密就是說任意兩個(gè)點(diǎn)（實(shí)數(shù)）之間永遠(yuǎn)都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)（實(shí)數(shù)）（你自己想想是不是，1和2之間有多少個(gè)數(shù)？）。你以為它能從A點(diǎn)移動(dòng)到鄰近的下一個(gè)B點(diǎn)么？對不起，這個(gè)它真做不到！

A點(diǎn)和B點(diǎn)之間永遠(yuǎn)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，也就是說A點(diǎn)根本就沒有所謂的“下一個(gè)點(diǎn)”。你認(rèn)為我一定要走完了A點(diǎn)到B點(diǎn)之間所有的點(diǎn)才能到達(dá)B點(diǎn)，那就不可避免地會(huì)陷入到芝諾悖論里去。因?yàn)?strong>你壓根就不可能走完任何兩個(gè)點(diǎn)之間的所有點(diǎn)（因?yàn)槭?strong>無窮多個(gè)），所以，如果按照這種邏輯，你就根本“走不動(dòng)”，所以芝諾的飛矢就飛不動(dòng)了。

因此，面對這種連續(xù)的概念的時(shí)候，我們就不應(yīng)該使用這種“動(dòng)態(tài)的”定義。你想通過“讓一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上動(dòng)態(tài)地運(yùn)動(dòng)來定義極限”是行不通的，這就是萊布尼茨的無窮小量栽跟頭的真正原因。

數(shù)學(xué)家們經(jīng)過一百多年的探索、失敗和總結(jié)，最后終于意識(shí)到了這點(diǎn)，這些思想在柯西這里完全成熟。于是，柯西完全放棄了那種動(dòng)態(tài)的定義方式，轉(zhuǎn)而采取了一種完全靜態(tài)，完全可以描述測量的方式重新定義了極限，進(jìn)而為微積分奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

這里我把柯西對極限的新定義原封不動(dòng)的貼出來：當(dāng)一個(gè)變量相繼的值無限地趨近某個(gè)固定值的時(shí)候，如果它同這個(gè)固定值之間的差可以隨意地小，那么這個(gè)固定值就被稱為它的極限。

有人看了這個(gè)定義之后就在犯嘀咕：這跟萊布尼茨說的不是一樣的么？你還不是在用“無限趨近”啊，“隨意的小”啊這種跟“無窮小”差不多的概念來定義極限么？你說以前的定義是動(dòng)態(tài)的，柯西給整成了靜態(tài)的，可是我看來看去，柯西這個(gè)定義好像也在動(dòng)啊。什么無限趨近，隨意的小，不是在動(dòng)么？

有這些疑問是正常的，畢竟是讓數(shù)學(xué)家們卡了一百多年的問題，不可能那么太“顯而易見”。

我們再仔細(xì)看看柯西的定義，它跟以前的差別到底在哪？你看啊，柯西雖然也有用“無限趨近”，但是他只是用這個(gè)來描述這個(gè)現(xiàn)象，并不是用它來做判決的。他的核心判決是后面一句：如果它同這個(gè)固定值之間的差可以隨意的小，那么它就是極限。

可以隨意的小和你主動(dòng)去無限逼近是完全不一樣的?？梢噪S意小的意思是：你讓我多小我就可以多小。你讓我小于0.1，我就能小于0.1；你讓我小于0.01，我就能小于0.01；你讓我小于0.00…001，我就可以小于0.00…001。只要你能說出一個(gè)確定的值，不管你說的值有多小，我都可以讓它跟這個(gè)固定值的差比你更小?？挛髡f如果這樣的話，那么這個(gè)固定值就是它的極限。

大家發(fā)現(xiàn)沒有，柯西學(xué)聰明，學(xué)雞賊了，他把這個(gè)判斷過程給顛倒了過來。以前是你要證明自己的極限是0，你就不停地變小，不停地朝0這個(gè)地方跑過去。但是，你和0之間永遠(yuǎn)隔著無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以你永遠(yuǎn)也跑不完，你也就不知道你要跑到什么時(shí)候去，這樣就暈了。

現(xiàn)在我學(xué)聰明了，這個(gè)難以界定的東西，這個(gè)燙手的山芋我不管了，我丟給你，我讓你先說。只要你說出一個(gè)數(shù)，你要我變得多小我就變得多小。你如果想讓我變成無窮小，那你就得先把無窮小是多少給我說出來，你說不出來的話那就不能怪我了。

完美甩鍋！這就是柯西的核心思想。

柯西就通過這種方式把那些不可測的概念擋在了數(shù)學(xué)之外，因?yàn)槟隳芫唧w說出來的數(shù)，那肯定就都是“可觀測”的啊。大家再看看這個(gè)定義，再想想之前萊布尼茨的想法，是不是這么回事？

于是，柯西就這樣完美的甩開了那個(gè)招人煩的無窮小量。在柯西這里，無窮小量不過就是一個(gè)簡單的極限為0的量而已，一個(gè)“只要你可以說出一個(gè)數(shù)，我肯定就可以讓我和0之間的差比你給的數(shù)更小”的量。這樣我們就能把它說得清清楚楚，它也不再有任何神秘了。

18魏爾斯特拉斯和ε-δ極限

然后，魏爾斯特拉斯用完全數(shù)學(xué)的語言改進(jìn)了柯西的這段純文字的定義，得到了最終的，也是我們現(xiàn)在教材里使用的ε-δ極限定義。

根據(jù)柯西的思想，魏爾斯特拉斯說：你要判斷某個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)地方a的極限是不是某個(gè)值L，關(guān)鍵就要看如果我任意說一個(gè)數(shù)ε（比如0.00…001或者任意其它的，注意是任意取，這里用ε代替），你能不能找到一個(gè)x的取值范圍（用δ來衡量），讓這個(gè)范圍里的函數(shù)值f(x)與那個(gè)值L之間的差（用套個(gè)絕對值的|f(x)-L|表示）小于ε。如果你總能找到這樣的δ，那我就說函數(shù)f(x)在a點(diǎn)的極限為L。

用精練的數(shù)學(xué)語言表述上面的話就是：當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的ε，存在一個(gè)δ>0，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε，那么我們就說f(x)在a點(diǎn)的極限為L。記做：

定義里的Lim就是極限的英文單詞Limit的縮寫，這個(gè)箭頭x->a也非常形象地表達(dá)了極限這個(gè)概念。

這個(gè)定義就真正做到了完全“靜態(tài)”，不再有任何運(yùn)動(dòng)的痕跡（連柯西說的“無限趨近”、“隨意的小”都沒有了），也不再有任何說不清的地方。從定義你也能清楚地看出來：它根本不關(guān)心你是如何逼近L的，飛過去、跳過去、爬過去的它都不管，只要最后的差比ε小就行，我就承認(rèn)你是我的極限。

用一位偉人的名言翻譯一下就是：不管黑貓白貓，能比ε還小的就是我的極限好貓。

這里要特別注意的是ε是任意的，任意就是說隨便ε取什么你都要找到對應(yīng)的δ，你不能說有10個(gè)ε滿足條件就說這是極限。

看個(gè)例子，我們考慮最簡單的f(x)=1/x。當(dāng)x的取值（x＞0）越來越大的時(shí)候，這個(gè)函數(shù)的值就會(huì)越來越?。?/p>

f(1)=1，

f(10)=0.1，

f(100)=0.01，

f(1000)=0.001，

……

看得出來，當(dāng)x的取值越來越大的時(shí)候，f(x)的值會(huì)越來越趨近于0。所以，函數(shù)f(x)在無窮遠(yuǎn)處的極限值應(yīng)該是0，也就是說：

這個(gè)結(jié)論是很明顯的，接下來我們就來看看如何用ε-δ定義來說這個(gè)事。

按照定義，我們要取一個(gè)任意小的ε，假設(shè)這里我們?nèi)?strong>ε=0.1，那么我們就要去找一個(gè)δ，看能不能找到一個(gè)范圍讓|f(x)-0|<0.1，顯然只需要x>10就行了；取ε=0.01，就只需要x>100就行了；任意給一個(gè)ε，我們顯然都能找到一個(gè)數(shù)，當(dāng)x大于這個(gè)數(shù)的時(shí)候滿足|f(x)-0|<ε，這樣就OK了。

于是，我們就構(gòu)建了一個(gè)邏輯嚴(yán)密，不再有任何“說不清”概念的極限理論。有了這個(gè)堅(jiān)實(shí)的地基，我們就可以放心地在上面蓋房子了。那個(gè)漂泊了一百多年，那個(gè)被幽靈般的無窮小量纏繞了一百多年的微積分，即將迎來新生。

19積分的重建

先看積分，我們之前認(rèn)為曲線圍成的面積是無數(shù)個(gè)寬度為無窮小量的矩形面積之和，于是我們在這里就被無窮小量纏上了。有了ε-δ極限之后，我們就可以刷新一下我們對積分的認(rèn)知了：從現(xiàn)在起，我們把曲線圍成的面積看成是一個(gè)極限，而不再是無數(shù)個(gè)無窮小量的矩形面積之和。

什么意思？假設(shè)我們用1個(gè)矩形逼近曲線圍成的面積的時(shí)候，我把這一個(gè)矩形的面積記做S1，用兩個(gè)矩形逼近的面積之和記做S2，同樣的，我們記下S3，S4，S5……

一般情況，如果我們用n個(gè)矩形去逼近這個(gè)面積，這n個(gè)矩形的面積之和就記做Sn。如果這個(gè)Sn的極限存在，也就是說，隨便你說出一個(gè)數(shù)字ε，我都能找到一個(gè)n的范圍，讓Sn和A之間的差|Sn-A|小于你給定的這個(gè)數(shù)字ε。那么，A就是這個(gè)Sn的極限。

于是，我們就說：曲線圍成的面積就是這個(gè)極限A，它是n個(gè)矩形面積之和這個(gè)序列Sn的極限。

所以，我們就把這個(gè)極限過程表示的面積A定義為函數(shù)f(x)從a到b上的積分：

這樣，我們的積分就成了一個(gè)由ε-δ語言精確定義的極限。這里沒有那個(gè)等于0又不等于0的無窮小量，一切都清清楚楚、明明白白，沒有含糊的地方，這就是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的終極解決之道。

這樣處理雖然不再那么直觀，但是它非常精確和嚴(yán)密，這是符合數(shù)學(xué)的精神的。直觀雖然能幫助我們更好的感受數(shù)學(xué)，但是如果失去了嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)將什么都不是。

20導(dǎo)數(shù)的重建

積分解決了，微分這邊也是一樣。有了ε-δ定義之后，我們就再不能把導(dǎo)數(shù)看成是兩個(gè)無窮小量的比值（dy/dx），而是：把導(dǎo)數(shù)也看成一個(gè)極限，對，還是極限。

這個(gè)理解起來相對容易，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是這點(diǎn)切線的斜率。我們前面也說了，切線就是當(dāng)割線的兩點(diǎn)不停地靠近，當(dāng)它們的距離變成無窮小時(shí)決定的直線。

很顯然，這個(gè)定義是依賴無窮小量的，我們現(xiàn)在要用ε-δ定義的極限來代替這個(gè)無窮小量。所以，切線就應(yīng)該被理解為割線的極限，那么切線的斜率（也就是這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）自然就是割線斜率的極限，所以導(dǎo)數(shù)f(x)’也自然而然地成了一個(gè)極限。

由于割線的斜率就是用這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差f(x+Δx)-f(x)除以這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差（x+Δx-x=Δx），而導(dǎo)數(shù)f(x)’是割線斜率的極限。那么，我們在割線斜率的前面加一個(gè)極限符號(hào)就可以表示導(dǎo)數(shù)f(x)’了：

這才是導(dǎo)數(shù)的真正定義，它是一個(gè)極限，而不再是兩個(gè)無窮小量dy與dx的商dy/dx。也就是說，按照極限的ε-δ定義，這個(gè)導(dǎo)數(shù)f(x)’的真正含義是：你任意給一個(gè)ε，我都能讓割線的斜率與這個(gè)值的差比你給的ε更小。

我反復(fù)強(qiáng)調(diào)ε-δ定義的含義，就是希望大家能真的從這種角度去理解極限，思考極限，逐漸放棄那種“無限動(dòng)態(tài)趨近某個(gè)點(diǎn)”的圖景。思維一旦形成定勢，想再改過來是非常困難的，所以我們得經(jīng)常給自己“洗腦”，直到把新理論的核心思想洗到自己的潛意識(shí)里去，這樣才算真正掌握了它。

我以前講相對論的時(shí)候，很多人在講相對論時(shí)能切換到相對論思維，但是平常一不留神就又跌回到牛頓的思維里去了。然后就鬧出了一堆悖論、佯謬和各種奇奇怪怪的東西，這里也一樣。

21微分的重建

萊布尼茨當(dāng)年認(rèn)為導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無窮小量dy和dx的商，所以他用dy/dx來表示導(dǎo)數(shù)。雖然現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)不再是這個(gè)意思，但是萊布尼茨當(dāng)年精心發(fā)明的這一套符號(hào)確實(shí)是非常好用，于是我們就繼續(xù)沿用了下來。

也就是說，我們今天仍然用dy/dx表示導(dǎo)數(shù)，但是大家一定要注意，dy/dx在現(xiàn)代語境里是一個(gè)極限，不再是兩個(gè)無窮小量的商。

如果不熟悉微積分的歷史，就很容易對這些符號(hào)產(chǎn)生各種誤解，這也是很多科普文、教科書在講微積分時(shí)的一大難點(diǎn)。因?yàn)?strong>思想是新的，符號(hào)卻是老的，確實(shí)很容易讓人犯糊涂。

于是，在萊布尼茨那里，他是先定義了代表無窮小量的微分dx和dy，然后再用微分的商定義了導(dǎo)數(shù)dy/dx，所以那時(shí)候?qū)?shù)也叫微商。

但是現(xiàn)在劇情完全反轉(zhuǎn)了：我們現(xiàn)在是先用ε-δ定義了極限，然后從極限定義導(dǎo)數(shù)dy/dx。這里壓根沒有微分什么事，只不過由于歷史原因我們依然把導(dǎo)數(shù)寫成dy/dx這個(gè)樣子。

那么，dx和dy這兩個(gè)之前被當(dāng)作無窮小量的微分的東西，現(xiàn)在還有意義么？

答案是有意義！

這個(gè)dx和dy還是有意義的，當(dāng)然，有意義也肯定不可能再是以前無窮小量的意思了。那么，在ε-δ極限這種全新的語境下，dx和dy在新時(shí)代的意義又是什么呢？請看下圖：

藍(lán)色切線的斜率表示在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，如果我們繼續(xù)用dy/dx表示導(dǎo)數(shù)的話，那么從圖里就可以清楚的看到：dx表示在x軸的變化量，dy就剛好表示藍(lán)色的切線在y軸的變化量。

也就是說，當(dāng)自變量變化了Δx的時(shí)候，Δy表示實(shí)際的曲線的變化量，而微分dy則表示這條切線上的變化量，這就是新的語境下函數(shù)微分dy的含義。而自變量的微分dx，大家可以看到，就跟x軸的變化量Δx是一回事。

由于切線是一條直線，而直線的斜率是一定的。所以，如果我們假設(shè)這條切線的斜率為A，那么dy和Δx之間就存在這樣一種線性關(guān)系：dy=A·Δx。

這些結(jié)論都可以很容易從圖中看出來，但是，一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)是否有微分是有條件的。我們這里是一條很“光滑”的曲線，所以在P點(diǎn)有微分dy，也就是說它在P點(diǎn)是可微的。但是，如果函數(shù)在P點(diǎn)是一個(gè)折點(diǎn)，一個(gè)尖尖的拐點(diǎn)呢？那就不行了。因?yàn)橛泄拯c(diǎn)的話，你在這里根本就作不出切線來了，那還談什么Δy和dy？

關(guān)于函數(shù)在一點(diǎn)是否可微是一個(gè)比較復(fù)雜（相對科普的復(fù)雜~）的問題，判斷曲線（一元函數(shù)）和曲面（二元函數(shù)）的可微性條件也不太一樣。直觀地看，如果它們看起來是“光滑”的，那基本上就是可微的。

微分的嚴(yán)格定義是這樣的：對于Δy是否存在著一個(gè)關(guān)于Δx為線性的無窮小A·Δx（A為常數(shù)），使它與Δy的差是較Δx更高階的無窮小。也就是說，下面這個(gè)式子是否成立：

o(Δx)就表示Δx的高階無窮小，從字面上理解，高階無窮小就是比無窮小還無窮小。當(dāng)Δx慢慢趨向于0的時(shí)候，o(Δx)能夠比Δx以更快的速度趨向于0。比如當(dāng)Δx減小為原來的1/10的時(shí)候，o(Δx)就減小到了原來的1/100，1/1000甚至更多。

如果這個(gè)式子成立，我們就說函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)是可微的，dy=A·Δx就是函數(shù)的微分。因?yàn)檫@是一個(gè)線性函數(shù)，所以我們說微分dy是Δy的線性主部。

這部分的內(nèi)容好像確實(shí)有點(diǎn)乏味，萊布尼茨時(shí)代的微分dy就是一個(gè)接近0又不等于0的無窮小量，理解起來非常直觀。但是，我們經(jīng)過ε-δ的極限重新定義的函數(shù)的微分dy竟然變成了一個(gè)線性主部。這很不直觀，定義也挺拗口的，但是這樣的微積分才是現(xiàn)代的微積分，才是基礎(chǔ)牢固、邏輯嚴(yán)密的微積分。

為了讓大家對這個(gè)不怎么直觀的微分概念也能有一個(gè)比較直觀的概念，我們再來看一個(gè)非常簡單的例子。

我們都知道半徑為r的圓的面積公式是S=πr2。如果我們讓半徑增加Δr，那么新的圓的面積就應(yīng)該寫成π（r+Δr）2，那么，增加的面積ΔS就應(yīng)該等于兩個(gè)圓的面積之差：

大家看到?jīng)]有，這個(gè)式子就跟我們上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一樣的。只不過我們把x和y換成了r和S，A在這里就是2πr，這里的π（Δr）2是關(guān)于Δr的平方項(xiàng)，這不就是所謂的高階（平方是2階，Δr是1階，2比1更高階）無窮小o(Δx)么？

所以，它的微分ds就是2πr·Δr這一項(xiàng)：

它的幾何意義也很清楚：這就是一個(gè)長為2πr（這剛好是圓的周長），寬為Δr的矩形的面積，好像是把這個(gè)圓“拉直”了所得的矩形的面積。

好了，微分的事情就說到這里，剩下的大家可以自己慢慢去體會(huì)。畢竟這是一篇關(guān)于微積分的科普文，再寫太多就成教材了。

22收官的勒貝格

關(guān)于微積分的重建，我們已經(jīng)看到了如何在ε-δ定義的新極限下重新定義了積分和微分，也看到了在這種新的定義下，積分和微分的概念跟以前有什么不同。沿著這條路，我們還能非常嚴(yán)格的證明微積分基本定理，也能很好地處理連續(xù)性、可微性、可導(dǎo)性、可積性等問題。雖然在具體的計(jì)算方式上跟以前的差別不大，但是微積分的這個(gè)邏輯基礎(chǔ)已經(jīng)跟以前發(fā)生了翻天覆地的變化，這個(gè)差別大家要仔細(xì)體會(huì)。

在魏爾斯特拉斯給出極限的ε-δ定義之后，微積分的邏輯問題基本上解決了，但還有一些其它的問題。比如，有了微積分，數(shù)學(xué)家們當(dāng)然就希望盡可能多的函數(shù)是可以求出積分的，但是你像來砸場子的狄利克雷函數(shù)（x為有理數(shù)的時(shí)候值為1，x為無理數(shù)的時(shí)候值為0）就沒法這樣求積分。

不信你想想，一個(gè)在有理數(shù)為1，無理數(shù)為0的函數(shù)你要怎么去切塊？它在任何一個(gè)地方都是不連續(xù)的，你甚至連它的圖像都畫不出來，怎么用矩形去逼近？所以，這里就有一個(gè)棘手的問題：一個(gè)函數(shù)到底要滿足什么條件才是可以求積分的呢？

這個(gè)問題一直拖到20世紀(jì)初才由大神勒貝格解決。勒貝格把我們常見的長度、面積概念做了一個(gè)擴(kuò)展，得到了更一般的測度的概念。然后，他基于這種測度定義了適用范圍更廣的勒貝格積分，于是，原來無法求積分的狄利克雷函數(shù)在勒貝格積分下就可以求積分了。然后，勒貝格基于測度的理論也給出了一個(gè)函數(shù)是否可積的判斷條件，完美收官！

于是，我們這段跨越兩千多年，從阿基米德到勒貝格的微積分之旅就要告一段落了。

23結(jié)語

古希臘人和古代中國人都知道用已知的多邊形去逼近復(fù)雜曲線圖形，阿基米德用窮竭法算出了一些簡單曲線圍成的面積，劉微用正多邊形去逼近圓，也就是用割圓術(shù)去計(jì)算圓周率。

牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“微分和積分是一對互逆運(yùn)算”這個(gè)驚天大秘密，正式宣告了微積分的誕生。

柯西和魏爾斯特拉斯用ε-δ語言重新定義了極限，把風(fēng)雨飄搖中的微積分重新建立在堅(jiān)實(shí)的極限理論基礎(chǔ)之上，徹底解決了幽靈般的無窮小量的問題，解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，也在數(shù)學(xué)領(lǐng)域解決了芝諾悖論。

勒貝格基于集合論，對積分理論進(jìn)行了一次革命，建立了定義范圍更廣的勒貝格積分，并且進(jìn)一步把這場革命推進(jìn)到了實(shí)分析。

我的文章雖然以勒貝格結(jié)尾，但這絲毫不代表微積分在勒貝格這里就走向了完結(jié)，即便這時(shí)候已經(jīng)是20世紀(jì)初了。

20世紀(jì)60年代初，有一個(gè)叫魯濱遜的德國人重新?lián)炱鹆?strong>萊布尼茨的無窮小量。他把實(shí)數(shù)擴(kuò)展到非實(shí)數(shù)，直接把無窮大和無窮小變成了非實(shí)數(shù)域里的一個(gè)元素。所以他的理論可以直接處理無窮小量，這是第一個(gè)嚴(yán)格的無窮小理論。

我們知道，幽靈般的無窮小量在微積分建立初期掀起了腥風(fēng)血雨，后來經(jīng)過柯西和魏爾斯特拉斯的拼命搶救，才終于在堅(jiān)實(shí)的ε-δ極限理論之上重建了微積分?？挛骱臀籂査固乩沟倪@一套讓微積分嚴(yán)密化的方法被稱為標(biāo)準(zhǔn)分析。

而魯濱遜認(rèn)為，無窮小量雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，但是大家基于無窮小量做的微積分計(jì)算卻也都是正確的，這至少表明無窮小量里應(yīng)該也包含著某種正確性。ε-δ極限是一種繞彎解決無窮小量不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，但是這種方法并不是唯一的。魯濱遜選擇直接面對無窮小量，直接建立了另一種讓微積分嚴(yán)密化的方法。因此，與柯西和魏爾斯特拉斯的標(biāo)準(zhǔn)分析相對，魯濱遜的這種方法被稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析。

提出了不完備定理的數(shù)學(xué)大神哥德爾就對非標(biāo)準(zhǔn)分析推崇備至，他認(rèn)為非標(biāo)準(zhǔn)分析將會(huì)是未來的數(shù)學(xué)分析。他說：“在未來的世紀(jì)中，將要思量數(shù)學(xué)史中的一件大事，就是為什么在發(fā)明微積分300年后，第一個(gè)嚴(yán)格的無限小理論才發(fā)展起來?！?/p>

我們現(xiàn)在就處在哥德爾說的未來的世紀(jì)中，各位看官對這個(gè)問題有沒有什么看法呢？如果我的這篇文章能夠讓大家對微積分，對數(shù)學(xué)感興趣，進(jìn)而開始自己獨(dú)立的思考這些問題，那就善莫大焉了~

此外，我希望長尾科技的這篇文章也能多多少少改變一下大家對數(shù)學(xué)的看法：數(shù)學(xué)不等于計(jì)算，數(shù)學(xué)也不等于應(yīng)用，絕妙而深刻的數(shù)學(xué)思想（比如發(fā)現(xiàn)微分和積分是互逆過程）和嚴(yán)密的邏輯（如使用ε-δ定義極限）反而是更重要的。而且，數(shù)學(xué)的壯觀之美也往往需要站在后面兩個(gè)角度上才能體會(huì)到，我很難相信有人會(huì)覺得重復(fù)的做計(jì)算是很有趣的，這也是很多人不喜歡數(shù)學(xué)的原因。

但是，我絕對相信那些真正認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的人，他們是發(fā)自內(nèi)心的覺得數(shù)學(xué)美麗動(dòng)人。

并不是那些數(shù)學(xué)大神們很奇怪，而是他們確實(shí)看到了常人沒能看到的絕美風(fēng)景。