如果你在數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域還只是個新手，那么建議你先看看——《五本書帶你入門數(shù)據(jù)科學(xué)》，入門后，再學(xué)習(xí)《R語言案例實戰(zhàn)》。

目前在連載《概率圖模型》，已發(fā)布的有：

概率圖模型——貝葉斯定理

概率圖模型——精準推斷

概率圖模型——最大似然估計

概率圖模型——連續(xù)特征參數(shù)估計

概率圖模型——EM算法

概率圖模型——高斯混合模型

在這篇文章里，我們來了解一下，蒙特卡羅抽樣方法。之前也寫過一些蒙特卡羅方法的應(yīng)用場景，如下：

計算圓周率π

計算定積分

廁所排隊問題

司機越浪，公路越堵？

然后，下面我給大家介紹一下，蒙特卡羅抽樣方法。

蒙特卡羅抽樣

蒙特卡羅（Monte Carlo）方法是二十世紀四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的數(shù)值計算方法。它的核心思想就是使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決一些復(fù)雜的計算問題。

當所求解問題可以轉(zhuǎn)化為某種隨機分布的特征數(shù)（比如隨機事件出現(xiàn)的概率，或者隨機變量的期望值等）時，往往就可以考慮使用蒙特卡洛方法。

通過隨機抽樣的方法，以隨機事件出現(xiàn)的頻率估計其概率，或者以抽樣的數(shù)字特征估算隨機變量的數(shù)字特征，并將其作為問題的解。這種方法多用于求解復(fù)雜的高維積分問題。

實際應(yīng)用中，我們所要面對的第一個問題就是如何抽樣？在統(tǒng)計學(xué)中， 抽樣（或稱采樣）是指從目標總體中抽取一部分個體作為樣本的過程。

在計算機模擬時，所謂的抽樣，是指從一個概率分布中生成觀察值（observations）的方法。而這個分布通常使用其概率密度函數(shù)（PDF）來表示。其實，在已知PDF的情況下，讓計算機自動生成觀測值也不是一件容易的事情，因為從本質(zhì)上來說，計算機只能實現(xiàn)對均勻分布（Uniform distribution）的采樣。

逆變換采樣（Inverse Transform Sampling）

比較簡單的一種情況是，我們可以通過PDF與CDF之間的關(guān)系，求出相應(yīng)的CDF?；蛘呶覀兏揪筒恢繮DF，但是知道CDF。此時就可以使用Inverse CDF的方法來進行采樣。這種方法又稱為逆變換采樣（Inverse Transform Sampling）。

如果你對PDF和CDF的概念有點模糊，我們不妨先來一起回顧一下它們的定義。對于隨機變量 X，如下定義的函數(shù) F： 

F(x)=P{X≤x},?∞<x<∞

稱為 X 的累積分布函數(shù)（CDF，Cumulative Distribution Function）。

對于連續(xù)型隨機變量 X 的累積分布函數(shù) F(x)，如果存在一個定義在實數(shù)軸上的非負函數(shù) f(x)，使得對于任意實數(shù) x，有下式成立： 

則稱 f(x) 為 X 的概率密度函數(shù)（PDF，Probability Density Function）。

顯然，當概率密度函數(shù)存在的時候，累積分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。如下圖所示，左邊的圖形，就是標準正態(tài)分布的PDF，右邊的圖形，就是根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)進行積分得到的CDF。

得到CDF的函數(shù) F(u) 后，對 F(u) 求反函數(shù) F?1(u)。如果想得到 m 個觀察值，那么重復(fù)下面的步驟 m 次即可：

• 從均勻分布 Uniform(0,1) 中隨機生成一個值，用 u 表示。

• 計算 F?1(u) 的值 x，則 x 就是從 f(x) 中得出的一個采樣點。

逆變換采樣案例

假設(shè)現(xiàn)在我們希望從下面這個PDF中抽樣： 

可以算得相應(yīng)的CDF為：

對于 u∈[0,1]，它的反函數(shù)為：

下面使用 R 來實現(xiàn)這個過程。

先來隨機生成 10000 個 0 到 1 范圍內(nèi)均勻分布的值。

然后，畫出上面 f(x) 的圖形。

最后，繪畫出模擬抽樣的數(shù)據(jù)：

可以看到，模擬抽樣的數(shù)據(jù)，和原始數(shù)據(jù)的分布，是非常接近的。

拒絕采樣（Reject Sampling）

我們已經(jīng)看到 Inverse CDF 方法確實有效，但其實它的缺點也是很明顯的，那就是有些分布的 CDF 可能很難通過對 PDF 的積分得到，再或者 CDF 的反函數(shù)也很不容易求。這時我們就需要用到拒絕采樣的方法。

下面這張圖很好地闡釋了拒絕采樣的基本思想。

假設(shè)我們想對 PDF 為 p(x) 的函數(shù)進行采樣，但是由于種種原因（例如這個函數(shù)很復(fù)雜），對其進行采樣是相對困難的。但是另外一個 PDF 為 q(x) 的函數(shù)則相對容易采樣，例如采用 Inverse CDF 方法可以很容易對對它進行采樣，甚至 q(x) 就是一個均勻分布。

那么，當我們將 q(x) 與一個常數(shù) M 相乘之后，可以實現(xiàn)上圖所示之關(guān)系，即 Mq(x) 將 p(x) 完全“罩住”。 

拒絕采樣的步驟如下：

• 從 q(x) 中獲得一個隨機采樣點 x

• 對于 x 計算接受概率（acceptance probability）

• 從 Uniform(0,1) 中隨機生成一個值，用 u 表示

• 如果 α≥u，則接受 x 作為一個來自 p(x) 的采樣值，否則就拒絕 x 并回到第一步。

拒絕采樣案例

按照拒絕采樣的步驟，實現(xiàn)拒絕采樣的代碼，如下所示：

接著，通過繪圖來驗證，拒絕采樣的結(jié)果，是否符合原來數(shù)據(jù)的分布。

執(zhí)行代碼，即可得到拒絕抽樣與原來的數(shù)據(jù)分布的擬合情況，如下圖所示。