翻譯 | 張平平、楊中明

校對 | 楊探

來源：數(shù)學(xué)文化

被愛因斯坦稱贊為“創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)天才”的諾特以奠定了抽象代數(shù)的基礎(chǔ)而聞名。她深邃的數(shù)學(xué)視野以及對物理學(xué)的巨大影響，理應(yīng)比現(xiàn)在更廣為人知。

一百年前，埃米·諾特發(fā)表的一項研究成果塑造了現(xiàn)代物理學(xué)的特征。但她并非物理學(xué)家，而是一位女數(shù)學(xué)家。阿爾伯特·愛因斯坦稱贊她是一位“創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)天才”。

愛因斯坦當然是一個偶像，但諾特并不像她的成就那樣有名。對物理的研究只是她職業(yè)生涯的一小部分，而對數(shù)學(xué)家來說，她更以奠定了抽象代數(shù)的基礎(chǔ)而聞名。她深邃的數(shù)學(xué)視野以及對物理學(xué)的巨大影響，理應(yīng)比現(xiàn)在更廣為人知。

愛米·諾特

01 難以捉摸的能量

1915年末，愛因斯坦發(fā)表了他的廣義相對論（http:///5oNXG5）。它描述了引力，引力將我們束縛在地球上，并且使其他行星在它們各自軌道上圍繞太陽運動。事實上，由于引力是長程力，廣義相對論中宇宙可以用行星、恒星和星系為尺度來描述。

愛因斯坦在建立廣義相對論時，一個問題一直困惑著他，那就是能量的性質(zhì)。正如我們從經(jīng)驗中所知，能量既不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。一個名為牛頓擺（Newton's cradle）的桌面演示裝置（見下文）很好地說明了這一點：一個球的能量通過在一串球中相鄰球的相互碰撞進行傳遞，使最后的球飛出去，接下來被撞飛的球又從對面方向回來，然后再重復(fù)整個過程。一旦這個過程被開啟，就不會有能量損失。

人類花了一段時間才掌握了相當抽象的能量概念，但一旦掌握了這個概念，能量守恒就被提升為自然規(guī)律，任何合理的物理理論都必須包含這一點。事實上，能量守恒可以從牛頓力學(xué)中推導(dǎo)出來，就像雞蛋由母雞生產(chǎn)出來一樣，從牛頓第二運動定律中，可以很容易推導(dǎo)出一個方程，即一個物理系統(tǒng)內(nèi)的能量始終保持不變（點擊此處（http:///4UNM9P）了解更多）。

然而，廣義相對論并沒有順利證明的確是這樣。愛因斯坦的最終構(gòu)想確實包含了一個方程，所以他認為，這個方程表達能量守恒的方式和其他理論中表達能量守恒的方式是一樣的。但著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）和菲利克斯·克萊因（Felix Klein，1849-1925）并不認同這個觀點。經(jīng)過數(shù)學(xué)計算，他們得出結(jié)論，這個方程式無疑是正確的，但他們認為只是在空洞的沒有任何物理意義的情況下，它是正確的。作為一個（簡單的）類比，想想方程x-x=0。這總是正確的，但因為沒有告訴我們關(guān)于x的任何信息，因此它也是毫無意義的。因此，希爾伯特提出，能量守恒在廣義相對論中的情形不同于在其他理論中，這一事實是愛因斯坦理論的一個特征。

這是一個數(shù)學(xué)問題，因此需要一位在不變量理論方面具有專門知識的數(shù)學(xué)家的幫助，不變量是那些不會改變的東西，人們所說的能量也屬于不變量。艾米·諾特正是這樣一位數(shù)學(xué)家，受希爾伯特的邀請，她開始著手解決這個問題。

02 從守恒到對稱

諾特的結(jié)論表明，動量守恒是因為理論與空間的變化無關(guān)。對于角動量守恒，如諾特所證明的，是因為無論你面對的是東、西、北、南或兩者之間的任何地方，它的理論是一樣的。在時間、空間或旋轉(zhuǎn)的變換下，這種不變性正是我們期望從自然中得到的。然而，相關(guān)的守恒定律并不那么明顯。直到牛頓時代及之后的時間，這些規(guī)律才被發(fā)現(xiàn)。

在研究希爾伯特關(guān)于廣義相對論的主張時，諾特提出了她那有影響力的結(jié)論。她證明了如果在一個物理理論中能量是守恒的，那么這個理論不會隨著時間的推移而改變：即描述自然的規(guī)律在今天和100年前是一樣的，明天也會是一樣的。這是一個驚人的結(jié)果。能量不能被創(chuàng)造或消滅這一事實，等同于自然法則不隨時間的推移而改變。

能量不是諾特定理唯一適用的東西。我們知道的另外兩個守恒量是動量（http:///4UNI1d）(物體的速度乘以它的質(zhì)量)和角動量（http:///4qEh5u），角動量類似于物體在圓周上運動的動量。動量守恒也可以用牛頓擺來說明。角動量守恒是當一個溜冰者在原地旋轉(zhuǎn)時，將他們的四肢伸展或蜷成一個球的過程中所看到的情景。現(xiàn)在溜冰者的運動阻力變小了，因為能量和以前一樣，從而溜冰者速度會加快。

需要注意的是，諾特的結(jié)論本質(zhì)上完全是數(shù)學(xué)的。她認為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以描述物理理論，但并非是必需的。這些結(jié)構(gòu)包含可以表示能量、動量和角動量的表達式，以及可以表示時間、空間或旋轉(zhuǎn)的變換。諾特的證明過程說明了它們在數(shù)學(xué)上是如何聯(lián)系起來的，而并沒有涉及物理學(xué)的解釋。

在數(shù)學(xué)中，當某事物在轉(zhuǎn)換過程中保持不變時，我們說它在變換下是對稱的。這與我們通?？吹降膶ΨQ性概念相吻合，比如蝴蝶的圖案。我們說它是對稱的，因為當你沿其中心的垂直軸反射它時，整個圖案保持不變。諾特的結(jié)論在對稱性和守恒定律之間建立了深層次的聯(lián)系，并且這種聯(lián)系是完全普遍的：對于每一種對稱性（不僅僅是上面提到的對稱），必然存在某種對應(yīng)的守恒量。為了證明這一點，她使用了一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ｉT為了理解對稱性而發(fā)展起來的一個概念：群論（http:///4MwWBV）。用諾特自己的話說，她的數(shù)學(xué)處理可以被看作是“廣義相對論的最大可能的群論推廣”。

03 我們?yōu)槭裁醋⒅貙ΨQ性？

諾特的結(jié)論產(chǎn)生了如此大的影響，是因為它表明了對稱性在物理學(xué)中的重要性。當守恒定律第一次出現(xiàn)時，它們給了物理學(xué)家另一個角度來研究物理系統(tǒng)。諾特的結(jié)論更進一步。它推動了數(shù)學(xué)家對對稱性的理解，這種對稱性在物理學(xué)家的支配下，一百年前就得到了很好的發(fā)展。

現(xiàn)代物理學(xué)家已經(jīng)將這一想法推向了極致。他們不是先提出一個理論，然后再去尋找它的對稱性，而是先決定他們的理論應(yīng)該具有什么對稱性，然后再觀察現(xiàn)實如何與之相對應(yīng)。這種做法取得了驚人的成功。包括著名的希格斯玻色子（Higgs boson（http:///4MwWzZ））在內(nèi)的幾種基本粒子，都是基于某些（相當抽象的）對稱性存在的假設(shè)而被預(yù)測存在的，后來才在實驗中被發(fā)現(xiàn)。希望對稱性最終能引導(dǎo)我們找到備受追捧的萬物理論。

04 那愛因斯坦呢？

愛因斯坦（拍攝于1904年）

我們剛才敘述的只是諾特在1918年的論文《不變量的變分問題》中證明的兩個結(jié)果之一，它不適用于廣義相對論。我們上面提到的對稱性是一種全局變換，在某種意義上來說它們對空間中的每一點都做同樣的變換。如果將每個點沿固定方向移動固定距離，或繞固定軸旋轉(zhuǎn)固定角度，那么每一個點都會經(jīng)歷完全相同的情況。諾特的第一個定理只適用于對稱性都是全局的理論。如果是這樣，那么每個對稱性都對應(yīng)一個守恒定律。

然而，廣義相對論的對稱性并不是全局的。在對不同點做不同的局部變換下，該理論也保持不變。在這種情況下，諾特的第一個定理并不適用：對于每一種對稱都沒有一個簡單的守恒定律。為了處理廣義相對論(以及其他所謂的廣義協(xié)變性理論（http:///4UNI3X）)，諾特證明了第二個定理——與第一個定理一起，這個定理證明了希爾伯特是對的：能量守恒在廣義相對論中確實有不同的地位。諾特寫道:“從群論的角度來看，定理2給出了有關(guān)廣義相對論中傳統(tǒng)的能量守恒定律失效的希爾伯特相關(guān)論斷的證明?！睆V義相對論中能量守恒的確切性質(zhì)是很復(fù)雜的，所以我們將把它留到下一次討論。

05 大學(xué)不是澡堂

就愛因斯坦而言，諾特的洞察力給他留下了深刻的印象。他在給希爾伯特的信中寫道：“昨天我收到諾特小姐寄來的一篇關(guān)于不變量的非常有趣的論文。讓我印象深刻的是，她竟可以從如此宏觀的視角來理解問題。如果哥廷根的守舊派從她那兒學(xué)到一些東西，也不會有什么害處?！?/p>

關(guān)于變分問題的論文是諾特提交給哥廷根大學(xué)的論文之一，目的是為了獲得“教職資格”，也就是她教書的權(quán)利。幾年前，在希爾伯特的支持下，她曾嘗試過申請教職，但因為她是女性而被拒絕。沒有教職，她就無償?shù)毓ぷ鳌垡蛩固?、希爾伯特和克萊因?qū)@種性別歧視素來不滿。根據(jù)希爾伯特的一位著名學(xué)生赫爾曼·外爾（Hermann Weyl，1885-1955）的說法，希爾伯特曾在一次教師會議上說，“我認為性別不應(yīng)成為反對她獲得大學(xué)教職的理由，畢竟，我們是一所大學(xué)，而不是澡堂?！?/p>

大衛(wèi)·希爾伯特（1862-1943）

在這篇（http:///4qEfxc）文章中，你可以更多地了解諾特的個人生活，以及她作為一名女性和猶太數(shù)學(xué)家所面臨的挑戰(zhàn)。

關(guān)于本文

瑪麗安·弗萊伯格（Marianne Freiberger）是Plus的編輯。她要感謝倫敦大學(xué)瑪麗女王學(xué)院物理學(xué)教授大衛(wèi)·伯曼（David Berman）對這篇文章提出的非常有用的建議，以及杜克大學(xué)哲學(xué)教授凱瑟琳·布雷?。↘atherine Brading）在2018年9月的倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會諾特聯(lián)合慶典上所做的精彩演講。

作者簡介:

Marianne Freiberger，Editor of Plus.

譯者簡介:

張平平，河北師范大學(xué)匯華學(xué)院理學(xué)部大四學(xué)生

楊中明，河北師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史專業(yè)研究生二年級

校對簡介：

楊探，河北師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史專業(yè)研究生三年級