摘要：本文主要介紹物理學(xué)中的對(duì)稱性、因果關(guān)系與守恒定律

在現(xiàn)代物理學(xué)中對(duì)稱性是個(gè)很深刻的問(wèn)題。在粒子物理、固體物理、原子物理等許多領(lǐng)域里，對(duì)稱性的概念都很重要。對(duì)稱性的概念最初來(lái)源于生活。在藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域中，所謂“對(duì)稱”，通常是指左右對(duì)稱。人體本身就有近似左和右的對(duì)稱性。各類建筑，特別是古代建筑都有較高的左右對(duì)稱性。除了左右對(duì)稱之外，還有軸對(duì)稱、球?qū)ΨQ等等。

什么是對(duì)稱性？

為了介紹對(duì)稱性的普遍定義，我們先引進(jìn)一些概念。首先是“系統(tǒng)”，它是我們討論問(wèn)題的對(duì)象；其次是“狀態(tài)”，同一系統(tǒng)可以處在不同的狀態(tài)；不同的狀態(tài)可以是“等價(jià)的”，也可以是“不等價(jià)的”。我們把系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程叫做“變換”，或者說(shuō)，我們給它一個(gè)“操作”。如果一個(gè)操作使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)與之等價(jià)的狀態(tài)，或者說(shuō)，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說(shuō)該系統(tǒng)對(duì)于這一操作是“對(duì)稱的”，而這個(gè)操作叫做該系統(tǒng)的一個(gè)“對(duì)稱操作”。

例如，一個(gè)圓對(duì)于圍繞中心旋轉(zhuǎn)任意角度的操作來(lái)說(shuō)是對(duì)稱的；或者說(shuō)，旋轉(zhuǎn)任意角度的操作都是該圓的對(duì)稱操作。如果我們?cè)趫A內(nèi)加一對(duì)相互垂直的直徑，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)稱操作就少多了。轉(zhuǎn)角必須是90度的整數(shù)倍，操作才是對(duì)稱的。

1951年，德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾提出了關(guān)于對(duì)稱性的普遍嚴(yán)格的定義：“如果一個(gè)操作使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)與之等價(jià)的狀態(tài)，或者說(shuō)，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說(shuō)系統(tǒng)對(duì)于這一操作使對(duì)稱的，而這個(gè)操作叫做這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)對(duì)稱操作。”常見的對(duì)稱性時(shí)空操作有空間的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)以及時(shí)間的平移。

一個(gè)物體發(fā)生一平移后，若仍和原來(lái)相同，這形體就具有空間平移對(duì)稱性。平移對(duì)稱性有高低之分，一條無(wú)窮長(zhǎng)直線對(duì)沿自身反向任意大小的平移都是對(duì)稱的。一個(gè)無(wú)窮大平面對(duì)沿平面內(nèi)的任何方向平移都是對(duì)稱的。但晶體構(gòu)成立方體晶格點(diǎn)陣只對(duì)沿確定方向，而且一次平移的“步長(zhǎng)”具有確定值的平移才是對(duì)稱的，顯見晶體的平移對(duì)稱性就低。

如果使物體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，若仍和原來(lái)相同，那么這種對(duì)稱叫做轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱或軸對(duì)稱。軸對(duì)稱也有級(jí)次之別。如樹葉圖形繞中心線旋轉(zhuǎn)180度后可恢復(fù)原狀，而六角形的雪花繞通過(guò)中心的垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)60度后就可以恢復(fù)原狀。后者比前者的對(duì)稱性級(jí)次高。天壇祈年殿的外形繞其中心垂直軸幾乎旋轉(zhuǎn)過(guò)任意角度都和原狀一樣，所以它具有更高級(jí)次的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。

一個(gè)精致不變的系統(tǒng) 對(duì)任何間隔Δt的時(shí)間平移表現(xiàn)出不變性，而一個(gè)周期性變化的系統(tǒng)（如單擺）只對(duì)周期性T數(shù)倍的時(shí)間平移不變。他們都具有一定的時(shí)間平移對(duì)稱性。

物理定律的對(duì)稱性

以上對(duì)稱性都是指某個(gè)系統(tǒng)或具體事務(wù)的對(duì)稱性，另一類對(duì)稱性是物理定律的對(duì)稱性，它是指經(jīng)過(guò)一定的操作后，物理定律的形式保持不變。因此物理定律的對(duì)稱性又叫不變性，這類對(duì)稱性在物理學(xué)中具有更深刻的意義。

物理定律的空間平移對(duì)稱性。

設(shè)想我們?cè)诳臻g某處做一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，然后將這套實(shí)驗(yàn)（連同影響該實(shí)驗(yàn)的一切外部因素）平移大另一處。如果給以同樣的起始條件，實(shí)驗(yàn)將會(huì)以完全相同的方式進(jìn)行。這說(shuō)明物理定律沒(méi)有因平移而發(fā)生變化。這就是物理定律的空間平移對(duì)稱性。它表明空間各處對(duì)物理定律是一樣的，所以又叫做空間的均勻性。

物理定律的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。

如果再空間某處做實(shí)驗(yàn)后，把整套儀器（連同影響實(shí)驗(yàn)的一切外部因素）轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則在相同的起始條件下，實(shí)驗(yàn)也會(huì)以完全相同的方式進(jìn)行，這說(shuō)明物理定律并沒(méi)有因轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生變化。這就是物理定律的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。它表明空間的各個(gè)方向?qū)ξ锢矶墒且粯拥模杂纸凶隹臻g的各向同性。

物理定律的時(shí)間平移對(duì)稱性。

如果我們用一套儀器做實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的方式或只需和此實(shí)驗(yàn)開始的時(shí)刻無(wú)關(guān)的。無(wú)論在什么時(shí)候開始做實(shí)驗(yàn)，我們得到完全一樣的結(jié)果，這個(gè)事實(shí)表示了物理定律的時(shí)間平移的對(duì)稱性。

關(guān)于物理定律的對(duì)稱性有一條很重要的定律——對(duì)應(yīng)于每一種對(duì)稱性都有一條守恒定律。例如，對(duì)應(yīng)于空間均勻性有動(dòng)量守恒定律，對(duì)應(yīng)于空間的各向同性有角動(dòng)量守恒定律，對(duì)應(yīng)于時(shí)間平移對(duì)稱性有能量守恒定律，對(duì)應(yīng)于空間反演對(duì)稱性有宇稱守恒定律等。

在時(shí)間反演變換下，保守力f、加速度a和質(zhì)量m都是不變的，所以牛頓第二定律f=ma對(duì)于保守力具有時(shí)間反演不變性，這是物理定律的對(duì)稱性。地面上一個(gè)物體所受的重力f=mg所具有的時(shí)間反演不變性，也是物理定律的對(duì)稱性。在重力作用下的自由落體，經(jīng)過(guò)時(shí)間反演，就變成了上拋物體，它的速度反向了，其運(yùn)動(dòng)具有時(shí)間反演不變性。若把自由落體的錄像倒過(guò)來(lái)播放，觀眾不能判斷正反。為什么？因?yàn)閮烧叨挤衔锢硪?guī)律。（這里沒(méi)有考慮空氣的阻力）

在速度不大的情況下，空氣阻力f=-γv，符號(hào)表示阻力的方向總與速度v相反。在時(shí)間反演變換下v→-v，從而阻力公式變成f=γv。亦即阻力公式不具有時(shí)間反演不變性。這就是物理規(guī)律對(duì)于時(shí)間反演的不對(duì)稱性了。如果將空氣阻力效應(yīng)明顯的落體運(yùn)動(dòng)錄下來(lái)，倒著放映，觀眾就會(huì)察覺(jué)不對(duì)頭，因?yàn)樗`反物理規(guī)律。

因果關(guān)系和對(duì)稱性原理

自然規(guī)律反映了事務(wù)之間的因果關(guān)系。所謂“因果關(guān)系”就是在一定條件下回出現(xiàn)一定的現(xiàn)象。在這種情況下我們把前者（條件）稱為“原因”，后者（現(xiàn)象）稱為“結(jié)果”。要構(gòu)成一條穩(wěn)定的因果關(guān)系，最重要的需要有兩條：可重復(fù)性和預(yù)見性。其實(shí)這就是科學(xué)本身存在的必要前提。以上兩條性質(zhì)要求“相同的原因必定產(chǎn)生相同的結(jié)果”。但宏觀世界的事務(wù)沒(méi)有絕對(duì)相同的，我們可以把用詞放寬一些，用“等價(jià)”一詞代替“相同”，把因果關(guān)系歸結(jié)為：等價(jià)的原因→等價(jià)的結(jié)果。這里的箭頭表示“必定產(chǎn)生”。這就是因果性的等價(jià)原理。

一個(gè)操作產(chǎn)生“相同”或“等價(jià)”的效果，就是不變性，不變性也就是對(duì)稱性。所以用對(duì)稱性的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，上述等價(jià)原理可以改寫成下列公式：對(duì)稱性的原因→對(duì)稱性的結(jié)果。

應(yīng)該注意，因果關(guān)系的等價(jià)原理中箭頭是單向的，即只有“等價(jià)的原因必定產(chǎn)生等價(jià)的結(jié)果”，但是等價(jià)的結(jié)果可能來(lái)源于 不等價(jià)的原因。從而上列用對(duì)稱性來(lái)表達(dá)的因果關(guān)系中箭頭也是單向的，即對(duì)稱的結(jié)果也可能來(lái)源于不對(duì)稱的原因，所以我們說(shuō)：原因中的對(duì)稱性未必 反映在結(jié)果中，即結(jié)果中的對(duì)稱性之少有原因中的對(duì)稱性那么多。反過(guò)來(lái)應(yīng)該說(shuō)：結(jié)果中的不對(duì)稱性必在原因中有反映，即原因中的不對(duì)稱性至少有結(jié)果中的不對(duì)稱性那么多。這個(gè)原理叫做對(duì)稱性原理，它是皮埃爾·居里于1894年首先提出來(lái)的。

守恒定律與對(duì)稱性

客觀世界中存在某些對(duì)稱性，如時(shí)間的平移對(duì)稱性、空間的平移對(duì)稱性、空間的各向同性等，每一種對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)有一條守恒定律。對(duì)此，德國(guó)數(shù)學(xué)家諾特于1918年進(jìn)行了嚴(yán)格的論證?？匆幌履芰渴睾愣伞暮暧^的角度看，物體系有保守系和非保守系之分，前者機(jī)械能守恒，后者則不然。從微觀的角度看無(wú)所謂耗散力，在一切系統(tǒng)中，粒子與粒子之間的相互作用可通過(guò)相互作用勢(shì)（分子力勢(shì)能）來(lái)表達(dá)。

時(shí)間均勻性，或者說(shuō)，時(shí)間平移不變性意味著，這種相互作用勢(shì)只與兩粒子的相對(duì)位置有關(guān)，亦即對(duì)于同樣的相對(duì)位置，粒子間的相互作用勢(shì)不應(yīng)隨時(shí)間而變。在這種情況下系統(tǒng)的總能量（動(dòng)能+勢(shì)能）自然是守恒的。

我們可以舉例來(lái)說(shuō)明，在相反的情況下能量可以不守恒。某地建設(shè)了一個(gè)抽水蓄能電站，夜間用電低谷是抽水上山，白天用電高峰時(shí)防水發(fā)電。利用晝夜能源的價(jià)值不同，可以獲得很好的經(jīng)濟(jì)效益。倘若晝夜變化的不僅是能源的價(jià)值，而且是重力加速度g（它代表著萬(wàn)有引力的強(qiáng)度），從而水庫(kù)中同樣水位所蓄的重力勢(shì)能mgh做周期性的變化，則抽水蓄能電站獲得的不僅是經(jīng)濟(jì)效益，而且是能力的盈余。于是永動(dòng)機(jī)的夢(mèng)想實(shí)現(xiàn)了。而時(shí)間的平移不變性不允許出現(xiàn)這種情況。

要知道牛頓第三定律，即作用力和反作用力大小相等，方向相反和動(dòng)量守恒定律是等價(jià)的，我們同樣可以利用空間平移不變性推出動(dòng)量守恒定律。也可以利用空間的各向同性推出角動(dòng)量守恒定律。

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