【考試要求】

1.利用實(shí)物、計算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；

2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題；3.能用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.

【知識梳理】

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

2.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【規(guī)律方法】　1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.

2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.

3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.

考點(diǎn)二　空間幾何體的直觀圖

【規(guī)律方法】

1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.

2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系S直觀圖＝S原圖形.

考點(diǎn)三　空間幾何體的表面積

【規(guī)律方法】　1.求解有關(guān)多面體側(cè)面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形、棱臺中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系.

2.多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

3.旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

考點(diǎn)四　空間幾何體的體積

【規(guī)律方法】　1.(直接法)規(guī)則幾何體：對于規(guī)則幾何體，直接利用公式計算即可.

2.(割補(bǔ)法)不規(guī)則幾何體：當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算.經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺體還原為錐體.

3.(等積法)三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個面作為三棱錐的底面.(1)求體積時，可選擇“容易計算”的方式來計算；(2)利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”，關(guān)鍵是在面中選取三個點(diǎn)，與已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐.

【規(guī)律方法】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.

2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.

【反思與感悟】

1.幾何體的截面及作用

(1)常見的幾種截面：①過棱柱、棱錐、棱臺的兩條相對側(cè)棱的截面；②平行于底面的截面；③旋轉(zhuǎn)體中的軸截面；④球的截面.

(2)作用：利用截面研究幾何體，貫徹了空間問題平面化的思想，截面可以把幾何體的性質(zhì)、畫法及證明、計算融為一體.

2.棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺和圓臺的相關(guān)問題時，?！斑€臺為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

3.轉(zhuǎn)化與化歸思想：計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.

【易錯防范】

1.求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

2.底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯.

【核心素養(yǎng)提升】

【直觀想象與邏輯推理】——簡單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題

1.直觀想象主要表現(xiàn)為利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物，解決與球有關(guān)的問題對該素養(yǎng)有較高的要求.

2.簡單幾何體外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn)，此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵.

一、知識要點(diǎn)

1.外接球的問題

(1)必備知識：

①簡單多面體外接球的球心的結(jié)論.

結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點(diǎn).

結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn).

結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).

②構(gòu)造正方體或長方體確定球心.

③利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心.

(2)方法技巧：幾何體補(bǔ)成正方體或長方體.

2.內(nèi)切球問題

(1)必備知識：

①內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.

②正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.

③正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.

(2)方法技巧：體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.

二、突破策略

1.利用長方體的體對角線探索外接球半徑