初等函數(shù)

基本初等函數(shù)總共有五類：

冥函數(shù): y=x^u(u∈R)。

指數(shù)函數(shù): y = a^x (a > 0且a≠1)。

對數(shù)函數(shù)：y=㏒(x) (a > 0且a≠1, 特別當(dāng)a =e的時候，記為y=ln(x) )。

三角函數(shù): 如y=sin(x), y=cos(x), y=tan(x)等。

反三角函數(shù)：若y=arcsin(x), y=arccos(x), y=arctan(x)等。

以上者五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)，例如：

y=√(1-x2), y=sin2x, y=sin(x) + cos(x), y=sin(x) * cos(x)等等都是初等函數(shù)。

雙曲函數(shù)

應(yīng)用上常遇到一e為底的指數(shù)函數(shù)y=e^x和y=e^(-x)所產(chǎn)生的雙曲函數(shù)以及他們的反函數(shù)(反雙曲函數(shù))。他們的定義如下：

雙曲正弦 sh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2。

雙曲余弦 ch(x)=(e^x + e^(-x)) / 2。

雙曲正切 th(x) = sh(x) / ch(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))

這三個雙曲函數(shù)的簡單性質(zhì)如下：

雙曲正弦的定義域為(-∞, +∞), 他是奇函數(shù)，他的圖像通過原點且關(guān)于原點對稱，在區(qū)間 (-∞, +∞)內(nèi)它是單調(diào)增加的，當(dāng)x的絕對值很大時，它的圖形在第一象限接近曲線y=(1/2) *(e^x), 在第三象限內(nèi)接近于曲線y=-(1/2) *(e^-x),

雙曲余弦的定義域為(-∞, +∞), 他是偶函數(shù)，他的圖像通過點(0, 1)且關(guān)于y軸對稱，在區(qū)間(-∞, 0)內(nèi)他單調(diào)減少，在區(qū)間(0, +∞)內(nèi)他是單調(diào)增加。ch(0) = 1是這個函數(shù)的最小值。當(dāng)x的絕對值很大時，他的圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線y=(1/2) *(e^x)， 在第二象限內(nèi)接近于曲線y=(1/2) *(e^-x)。

雙曲正切的定義域為(-∞, +∞), 他是奇函數(shù)，他的圖像通過原點且關(guān)于原點對稱，在區(qū)間 (-∞, +∞)內(nèi)它是單調(diào)增加的， 它的圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間，且當(dāng)x的絕對值很大時， 它的圖形在第一象限接近于直線y=1, 而在第三象限內(nèi)接近于直線y=-1。

證明：

sh(x+y) = sh(x) * ch(y) + ch(x) * sh (y)。

、

ch(x+y)=ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y)

除了上面的公式外，還有如下公式，就不一一證明了。

sh(x-y) = sh(x)ch(y) - ch(x)sh(y).

ch(x-y)=ch(x)ch（y）-sh(x)sh(y).

ch2x - sh2x = 1.

sh(2x)=2sh(x)ch(x).

ch(2x) = ch2x + sh2x.

反雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)的反函數(shù)為：

y=sh(x) 反函數(shù)：y=arsh(x)

y=ch(x) 反函數(shù)：y=arch(x)

y=th(x) 反函數(shù)：y=arth(x)

這些反雙曲函數(shù)都可以通過自然對數(shù)函數(shù)來表示，分別討論如下：

y=sh(x) => x=sh(y) => x= (e^y - e^(-y)) / 2 令u=e^y, 則由上式有u^2 - 2 * x * u - 1= 0

這是關(guān)于u的一個二次方程，他的根為u=x±√(x2+1)。因為u=e^y>0, 故上式根號前贏取正號，于是u=x+√(x2+1), 由于y=ln(u), 故反雙曲正弦y=arsh(x) = ln(x + √(x2+1))。

函數(shù)y=arsh(x)的定義域為(-∞, +∞)，它是奇函數(shù)，在區(qū)間(-∞, +∞)內(nèi)為單調(diào)增加，由y=sh(x)的圖形，根據(jù)反函數(shù)的作圖法，可得y=arsh(x)的圖形如下圖所示。

類似地雙曲余弦的反函數(shù)y=arch(x)=ln(x+√(x2-1),定義域為[1, +∞), 圖形如下：

雙曲正切的反函數(shù)y=arth(x) = (1/2) * ln((1+x)/(1-x))。定義域為(-1, 1), 圖形如下：

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f(x) = |x|, g(x) = 1 / x, 求f / g。

f / g = |x| * x , 當(dāng)x >= 0的時候為x2, 當(dāng)x<0的時候為-x2