在之前的推送中，我們已經了解了正態(tài)分布、標準分數及其應用，以及中心極限定理。

在介紹中心極限定理時，我們知道：在大樣本情況下，如果已知總體的標準差σ，那么樣本均值分布的標準差為σ/√n，稱為樣本均值的標準差（StandardDeviation）。

因此，我們可以用總體的標準差σ估計樣本均值分布的標準差。

但，現實生活中考察的總體通常都會很大，調查總體中的每一個個體不太現實，并且成本巨大。因此，我們很少能知道真實的總體均值μ和總體標準差σ，而且還考慮通過樣本的均值和標準差來估算總體的均值。

我們可以很容易地在總體中抽取到一個樣本，但它并不能完全代表總體。如果進行隨機抽樣模擬實驗會發(fā)現，在總體和樣本量相同的情況下，每次抽取得到的樣本都可能不同；樣本均值雖然與總體均值近似，但樣本均值與總體均值不同。

閱讀下方的“正態(tài)總體與其樣本均值的抽樣分布圖”，中間紫色的正態(tài)分布表示的是從總體中抽取的樣本均值的分布，總體均值可能落在紫色正態(tài)分布圖中的任意一點。

正態(tài)總體與其樣本均值的抽樣分布

在σ未知的情況下，可以用樣本的標準差來估計樣本均值分布的標準差：

稱為樣本均值的標準誤（Standard Error）。

但用樣本均值估計總體均值會存在一定的誤差，所以我們下一步就是計算誤差的范圍，以及構建置信區(qū)間——區(qū)間估計。

根據正態(tài)分布的性質，與90%，95%，99%的概率區(qū)間對應的標準差倍數分別應該為：1.645, 1.96, 2.575。其中，大約有95%的數值落在距均值1.96個標準差的區(qū)間內。

正態(tài)分布的3σ原則

因此，當用樣本均值作為總體均值的估計時，95%的置信區(qū)間是：

我們估計，所有可能的樣本中，95%的樣本均值都在總體均值約2個標準差以內。因此，如果多次重復抽樣以及構建置信區(qū)間，那么95%的置信區(qū)間將會包含總體均值，而5%的則不包含。

上圖很好的描述了樣本均值95%的置信區(qū)間的含義。在大部分的情況下，總體真實的均值都是落在樣本均值的置信區(qū)間內的，只有少數的樣本均值的置信區(qū)間沒有包含總體真實的均值。

  小案例：

根據上述對標準誤和置信區(qū)間的解釋，我們來分析一個與中國家庭收入調查有關的數據：

在2013年進行了中國家庭收入調查，總共調查了n=16907個家庭，數據顯示：2013年家庭收入的平均值為55329.19元，標準差為s=53794.82。請基于此數據估計全國居民家庭收入的平均值。

閱讀完整篇文章后，我們可以輕松地根據樣本均值和樣本量計算出樣本的標準誤；

再根據，95%的置信區(qū)間公式，

計算得到2013年全國居民的家庭平均收入95%的置信區(qū)間為[54518.30, 56140.08]。

在這篇推文中，我們重點需要了解的知識點是標準誤和標準差的區(qū)別，如何計算樣本均值的誤差范圍，以及如何構建置信區(qū)間。

如果之前對正態(tài)分布、標準分布和中心極限定理等知識點了解得不夠透徹，可能會被繞暈，建議大家先回過頭去補補課。

我之前的推文中已經積累了很多有關統計學的基礎介紹，大家可以翻閱。我發(fā)布的內容主要參考了松鼠的《妙趣橫生的統計學》課程，你也可以和我一樣，直接學習視聽課程，學習會更系統更高效。