與一元二次方程有關的代數(shù)式求值問題歷來是各地中考和數(shù)學競賽命題的熱點，求解的關鍵是要善于根據(jù)題目的特征，靈活地利用一元二次方程的變形進行代換．本文就常見的幾種代換功能介紹如下．

一、零值代換功能

即直接用一元二次方程ax^²+bx+c=0的右邊零代換左邊的二次三項式．

例1　當x=(1+√2009)/2時，多項式

x^³-2x^²-503x+1517的值等于 ．

分析與解：直接把x的值代入計算顯然很繁.由x的值可知：

2x-1=√2009，

兩邊平方，得4x^²-4x+1=2009，

整理，得x^²-x-502=0，

故x^³-2x^²-503x+1517

=(x^³-x^²-502x)+(x^²-x-502)+2019

=x(x^²-x-502)+(x^²-x-502)+2019

=x·0+0+2019=2019.

點評：本題巧在將已知的值轉化為一元二次方程

x^²-x-502=0，

再用“零值”0去替換代數(shù)式

x^²-x-502.

這里也可以采用帶余除法，直接將

x^³-2x^²-503x+1517

化為(x+1)(x^²-x-502)+2019，

再用0代換x^²-x-502。

二、常數(shù)代換功能

即把方程變形為ax^²+bx=-c，再用右邊的常數(shù)c代換左邊的未知項ax^²+bx．

例2已知a是方程x^²+3x-2=0的根，

則a^⁴+3a^³-a^²+3a的值等于 ．

分析與解：由根的定義，得a^²+3a-2=0，

所以a^²+3a=2，

所以，a^⁴+3a^³-a^²+3a

=a^²(a^²+3a)-a^²+3a

=2a^²-a^²+3a

=a^²+3a =2.

點評：本題巧在構造出a^²+3a =2后，多次地用2去替換a^²+3a.

三、降次代換功能

即把一元二次方程ax^²+bx+c=0變形為ax^²=-(bx+c)，然后用右邊的一次式代換左邊的二次式．

例3　設x₁，x₂是方程x^²+x-3=0的兩個實數(shù)根，

那么x₁^³-4x₂^²+20的值是 ．

分析與解：求值式關于兩根x₁，x₂不對稱，難于運用根和系數(shù)的關系進行代換求解，因此，運用一元二次方程的降次功能分別將x₁，x₂的次數(shù)都降至一次.

由根的定義，得

x₁^²+x₁-3=0，x₂^²+x₂-3=0，

所以，x₁^²=3-x₁，x₂^²=3-x₂，

所以x₁^³-4x₂^²+20

= x₁x₁^²-4(3-x₂)+20

=x₁(3-x₁)-12+4x₂+20

=3x₁-x₁^²+4x₂+8

=3x₁-(3-x₁)+4x₂+8

=3x₁-3+x₁+4x₂+8

=4(x₁+x₂)+5，

又x₁+x₂=-1，

所以4(x₁+x₂)=-4，

故x₁^³-4x₂^²+20

=-4+5=1.

點評：本題利用的是一元二次方程的降次功能，通過降次將非對稱的兩根代數(shù)式變?yōu)閷ΨQ，為根和系數(shù)關系的運用創(chuàng)造了條件.

四、升冪代換功能

即把方程變形為c+bx=ax^²，再用右邊的高次項代換左邊的低次項．

例4已知x=(√5+1)/2，則(x^³+x+1)/x^⁴的值等于 ．

分析：先將已知變形，構造一元二次方程，再考慮對策.

由已知得2x-1=√5，兩邊平方，得

x^²-x-1=0，從而x+1=x^²，

故(x^³+x+1)/x^⁴

=(x^³+x^²)/x^⁴

=x^²(x+1)/x^⁴

=x^²·x^²/x^⁴

=1.

點評：本題巧在運用一元二次方程的升冪功能將求值式的分子逐步升冪，與分母約分、化簡，避開了直接代入計算的繁雜性.

五、倒數(shù)代換功能

即當a=c時，把方程變形為x+1/x=m，再用右邊的m代換左邊的x+1/x．

例5　設x/(x^²-√2x+1) =1，則

x^²/(x^⁴-2√2x^²+1)的值是＿＿＿＿．

分析：已知化為x^²-(√2+1)x+1=0，

因為x≠0，兩邊除以x，得

x+1/x=√2+1，

將求值式的分子、分母同時除以x^²，得

x^²/(x^⁴-2√2x^²+1)

=1/(x^²-2√2+1/x^²)

=1/[(x+1/x)^²-2-2√2]

=1/[(√2+1)^²-2-2√2]

=1/(3+2√2-2-2√2)

=1．

六、系數(shù)代換功能

利用韋達定理，用方程的系數(shù)去代換兩根和與兩根積．

例6設實數(shù)a、b分別滿足a^²=4a+3，b^²=4b+3，

則a/b+b/a的值為- ．

分析與解：當a、b不相等時，由根的定義，知a、b是方程

x^²=4x+3(即x^²-4x-3=0)的兩根，

故由根和系數(shù)的關系，得a+b=4，ab=-3，

從而a/b+b/a

=(a^²+b^²)/(ab)

=[(a+b)^²-2ab]/(ab)

=(16+6)/(-3)

=-22/3；

當a=b時，a/b+b/a=1+1=2.

故，a/b+b/a的值為-22/3或2.

點評：如果兩個實數(shù)同時滿足某個一元二次方程，雖然這兩個實數(shù)都是該方程的根，但不一定恰好是它的“兩根”.