2019年5月12日是著名數(shù)學(xué)家吳文俊的誕辰100周年紀(jì)念日。1956年，吳文俊因為在拓?fù)鋵W(xué)上的成就，與華羅庚、錢學(xué)森獲得首屆國家自然科學(xué)一等獎；在38歲時被評為學(xué)部委員，是當(dāng)時最年輕的學(xué)部委員之一；2017年5月7日，吳文俊去世，享年98歲。吳文俊不僅有松柏之壽，也同樣有著長期而活躍的學(xué)術(shù)生涯。他長期參與數(shù)學(xué)界的地外國際交往，1979年，他與關(guān)肇直等人共同籌建中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所；1986年他在國際數(shù)學(xué)家大會上作關(guān)于中國數(shù)學(xué)史的報告，引起廣泛的興趣．形成了復(fù)興中國數(shù)學(xué)的新趨勢；他在1970年代末開創(chuàng)了數(shù)學(xué)機械化的全新領(lǐng)域，這方面的學(xué)術(shù)思想更多地由他在90年代創(chuàng)立的中科院數(shù)學(xué)機械化重點實驗室傳承。

吳文俊還是同樣也是中國人工智能歷史上一位里程碑式的開拓者。他提出用計算機證明幾何定理的“吳方法”，被認(rèn)為是自動推理領(lǐng)域的里程碑，他也因此獲得1997年的國際自動推理最高獎——埃爾布朗自動推理杰出成就獎。但吳文俊晚年曾自我評價，自己最得意的是中國古代數(shù)學(xué)史的研究，“拓?fù)涞哪切┕ぷ鞑凰闶裁础?。由此可見，吳文俊平生最得意的三件事，古代?shù)學(xué)史的研究排在第一，拓?fù)鋵W(xué)排在第二，數(shù)學(xué)機械化證明恐怕只能屈居第三。借吳文俊誕辰100周年紀(jì)念日之際，在緬懷前輩的同時，讓我們一同回顧他在上述領(lǐng)域的創(chuàng)新研究中做出的巨大貢獻(xiàn)，解讀吳文俊與人工智能的淵源。

美國紐約州立大學(xué)石溪分校計算機系終身教授顧險峰曾經(jīng)提到：“在我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的歷程中，所接觸的主要定理和理論框架都是由西方人所創(chuàng)立，極少見到中國數(shù)學(xué)家的名字，直到學(xué)習(xí)了吳先生關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)論述，才令我體會到中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的偉大和深邃?！鳖欕U峰所描述的是西方學(xué)術(shù)界長期以來對中國古代數(shù)學(xué)根深蒂固的偏見，而吳文俊對中國數(shù)學(xué)史的研究，正是對這種錯誤觀點的修正。

吳文俊的研究從根本上澄清了，中國古代數(shù)學(xué)也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的源頭之一，除了希臘歐幾里得公理化的演繹推理體系，還有另一條與之平行的中國古代數(shù)學(xué)。但中西方認(rèn)識世界和進(jìn)行總結(jié)規(guī)律上的出發(fā)點并不一樣，與中國古人重視實際效果的“實用主義”不同，古希臘人從一開始就力圖探索和總結(jié)世界的本元——如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派甚至認(rèn)為，整個世界的本體就是“數(shù)”，任何事物都都可以用數(shù)來描述。這就像今天有觀點認(rèn)為“萬物都是圖靈機”，可以說畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就是當(dāng)年的圖靈學(xué)派。

出發(fā)點的不同也造就了中外數(shù)學(xué)的兩條不同的表述路線。以畢達(dá)哥拉斯定理也就是我們所熟悉的勾股定理為例，在歐氏幾何中將其抽象化表述為“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”；而我們的祖先將之具體化為更容易記憶和應(yīng)用的“勾三股四弦五”（同樣的還有圓周率，西方用正多邊形無限逼近極限的方法計算，中國則略去過程直接套用22/7的“約率”和355/113的“密率”用于計算），這也是西方數(shù)學(xué)看起來嚴(yán)絲合縫，中國數(shù)學(xué)看起來并沒有形成一個嚴(yán)密的體系的原因。

（《周髀算經(jīng)》中對勾股定理的證明）

從《海島算經(jīng)》中證明的復(fù)原入手，吳文俊發(fā)現(xiàn)西算傳入以后，用西方數(shù)學(xué)中添加平行線或代數(shù)方法甚至三角函數(shù)來證明的思路是完全錯誤的，并不符合中國古代幾何學(xué)的原意。他在許多方面提出了獨到的見解，這一發(fā)現(xiàn)在他在1975年到法國高等科學(xué)研究院訪問時報告中有詳細(xì)提及。

在吳文俊看來，中國古代數(shù)學(xué)的關(guān)鍵字是“術(shù)”，無論“大衍求一術(shù)”、“更相減損術(shù)”或者其他的“術(shù)”，都是以機械化的解答方式，來解決數(shù)學(xué)中的實際問題。它的方法是“機械”的，與西方數(shù)學(xué)“靈機一動”的證明過程不一樣。而這也是中國古代將數(shù)學(xué)稱之為“算術(shù)”的原因——所謂算術(shù)，就是計算的“術(shù)”，這個“術(shù)”用今天的話來說就是算法，換言之，中國古代數(shù)學(xué)，就是一部算法大全。

吳文俊在中國古代數(shù)學(xué)正本清源的分析，也豐富了近代數(shù)學(xué)體系的構(gòu)架，具有決定性的意義。如楊振寧所說自己最重要的成就就是提高了中國人的自信，吳文俊在數(shù)學(xué)史上的研究也起到了類似的作用。這個時代最聰明的人，果然會有最多的共同語言。

吳文俊對數(shù)學(xué)的主要領(lǐng)域——拓?fù)鋵W(xué)做出了重大貢獻(xiàn)。他引進(jìn)的示性類和示嵌類被稱為“吳示性類”和“吳示嵌類”，他導(dǎo)出的示性類之間的關(guān)系式被稱為“吳公式”。他的工作是1950年代前后拓?fù)鋵W(xué)的重大突破之一，拓?fù)鋵W(xué)在這一時代也成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流學(xué)科，吳文俊正是當(dāng)年引發(fā)“拓?fù)涞卣稹钡闹匾宋镏弧?/p>

（吳文俊五十年代在中科院講課）

纖維叢及示性類理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本概念之一，在數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域乃至數(shù)學(xué)物理有著廣泛的應(yīng)用。吳文俊在法國攻讀博士期間最早的工作之一就是對Whithey的叢乘積公式給出一個簡短而圓滿的證明，全文發(fā)表在頂尖雜志Annals of Mathematics上，Whithey于是認(rèn)為，從此他的手稿可以不必保留了。對于同時代研究這一方向的科學(xué)家來說，頗有當(dāng)年李白“眼前有景道不得，崔顥題詩在上頭”的感覺。

吳文俊在他的博士論文中定出了各種不同示性類之間的種種關(guān)系，并得出4維可定向微分流形上具有概復(fù)結(jié)構(gòu)的充分必要條件，并在此基礎(chǔ)上給出了“吳示性類”和“第一吳公式”。這一公式不僅使得此前幾乎無法計算的Stiefel-Whithey示性類變得極易計算，而且還解釋了Stiefel-Whithey示性類不僅是拓?fù)洳蛔兊模疫€是同倫不變的。這一研究得到了大數(shù)學(xué)家Weil的青睞，但他告訴吳文俊，Grassmann流形上的Steenrod運算還沒有算出。經(jīng)過在咖啡館里一個月的奮戰(zhàn)，吳文俊又給出了著名的第二吳公式。1956年Dold證明，這一公式給出了Stiefel-Whithey示性類之間所有可能的關(guān)系。這一工作被認(rèn)為是示性類研究的分水嶺，是對示性類的劃時代貢獻(xiàn)。

除此之外，吳文俊在其他示性類、微分流形和復(fù)合形的嵌入理論方面的研究也起到了承上啟下的作用。他對邦特里亞金示性類的研究證明了其拓?fù)洳蛔冃?，由此推出某些邦特里亞金類的組合(模p)的拓?fù)洳蛔冃?；他還解決了1維復(fù)形在平面中的嵌入問題，使著名的Karatowski不可嵌入定理成為特例，并將其應(yīng)用于印刷線路問題，為圖論開辟了新的方向，在微分流形的嵌入問題上也給其留法時期的同門師弟A. Haefliger給出的微分嵌入定理以吉大啟發(fā)。吳文俊對拓?fù)鋵W(xué)的各項研究已成為這一領(lǐng)域的經(jīng)典成果。

【 猶他壺模型，圖片來源：維基百科所有者：Dhatfield 】

“吳示性類”所揭示的方法此后被應(yīng)用于計算力學(xué)、CAD設(shè)計、計算機圖形學(xué)和計算機視覺等領(lǐng)域，對于人工智能的發(fā)展也有著重要的作用。如在CAD設(shè)計中的網(wǎng)格生成問題以及其他諸多組合幾何問題本質(zhì)上與吳文俊發(fā)展的示嵌類、示痕類有著本質(zhì)的聯(lián)系，而計算機圖形學(xué)中著名的“猶他茶壺模型”和計算機視覺中至關(guān)重要的的形狀分析問題，吳文俊提出的數(shù)學(xué)機械化“吳方法”也提供了非?；镜乃惴?。

相比起吳文俊自己最得意的中國古代數(shù)學(xué)史和拓?fù)鋵W(xué)的研究，數(shù)學(xué)機械化反而是吳文俊最為人們所熟知的研究成果。這一方面是因為吳文俊后期的研究數(shù)學(xué)機械化為重點，并組建了以機械化重點實驗室，這方面的傳承由高小山、張景中、楊路等學(xué)者進(jìn)一步發(fā)揚光大；另一方面，數(shù)學(xué)機械化的門檻也比拓?fù)鋵W(xué)等要來得低一些，搜狗創(chuàng)始人王小川就是在高中時用吳文俊的數(shù)學(xué)機械化方法實現(xiàn)了幾何定理自動證明，這也使其開始走上了人工智能的道路。

“數(shù)學(xué)機械化”一詞取自數(shù)理邏輯學(xué)家王浩的著作《數(shù)理邏輯總覽》中的“向機械化數(shù)學(xué)前進(jìn)”一節(jié)。1958年，美國洛克菲勒大學(xué)教授王浩設(shè)計的計算機程序在IBM 704型計算機上證明了羅素與懷特海《數(shù)學(xué)原理》中220條有關(guān)命題邏輯的定理，稍后又?jǐn)U展到了400條，這一成就震動了學(xué)術(shù)界，被譽為“一 擊落七蠅（Seven flies in one blow)”。王浩還因此于1983年獲得人工智能國際聯(lián)合會與美國數(shù)學(xué)會聯(lián)合頒發(fā)的里程碑獎。70年代末當(dāng)王浩得知吳文俊進(jìn)行數(shù)學(xué)機械化的相關(guān)研究室曾給吳文俊寫信，建議吳文俊用已有的代數(shù)包，這大概是哥德爾系定理證明和塔爾斯基系定理證明為數(shù)不多的交流。

雖然“數(shù)學(xué)機械化”一詞由王浩提出，吳文俊利用中國古代數(shù)學(xué)“機械化”的方法才更好地體現(xiàn)出了“機械化”的含義。吳文俊曾用中小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程來解釋數(shù)學(xué)機械化的原理，小學(xué)時的加減乘除運算都是按照一定的法則機械進(jìn)行，但像“雞兔同籠”之類的問題則需要運用巧思；到了中學(xué)學(xué)習(xí)到線性聯(lián)立方程組時，又可以像四則運算一樣按照法則機械地解答這一類問題；但此時的幾何證明又想小學(xué)時候的四則難題一樣需要巧思，所以說這是一個隨著知識的增長螺旋上升的過程。在此過程中，吳文俊的數(shù)學(xué)機械化的思路，正是將原來非機械化而極為困難的數(shù)學(xué)問題變成機械化的課解決的問題。所以吳文俊說自己從中國古代數(shù)學(xué)研究思路中找到了靈感，這一方面固然有老一輩科學(xué)家對中國傳統(tǒng)的捍衛(wèi)的成分在內(nèi)，但對于吳文俊這樣一通則百通的高人這里也不完全是一句空話。

吳文俊幾何定理自動證明的“吳方法”被稱為自動推理領(lǐng)域的先驅(qū)性工作，他也因此于1997年獲得“Herbrand自動推理杰出成就獎”。他的哲學(xué)思想是典型的數(shù)學(xué)家思路，這和王浩等基于邏輯推理做定理證明的邏輯學(xué)家不盡相同，他所看重的中國古代機械化數(shù)學(xué)與歐幾里得幾何相反，在幾何學(xué)上根本不考慮定理的證明與發(fā)明，而是著重各種問題特別是幾何問題的解決并由此提煉成原理法則，進(jìn)而解決其它更難的問題。這種問題的解決，往往自然導(dǎo)致方程的求解。這實際上也是之前提到的中國與西方哲學(xué)思想的不同導(dǎo)致的差異，前者重實效應(yīng)用，后者重邏輯推理。如果再投射到今日的人工智能，這就好比今日的人工智能之爭，偏理性主義的“符號主義”和偏經(jīng)驗主義的“連接主義”的差別，雖則出發(fā)點不同，實際上都是人工智能體系的一部分。從吳文俊所做的數(shù)學(xué)機械化研究雖然更多的是從數(shù)學(xué)的角度，但這也給人工智能以新的啟發(fā)；中國人工智能學(xué)會將智能科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域最高獎項定名為“吳文俊獎”，不僅僅是因為吳文俊在定理證明這個人工智能的早期方向達(dá)到了新的高度，更是因為其背后的哲學(xué)思想對人工智能研究者的啟發(fā)。

小結(jié)

吳文俊是中國近代數(shù)學(xué)研究的集大成者。在他的研究中融合了中國與西方、古代與現(xiàn)代、理性主義與經(jīng)驗主義的諸多元素，在西方近代數(shù)學(xué)尤其是拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展中起到里程碑式的作用，同時又能從中國古代機械化方法中找到解決問題的新思路；他在數(shù)學(xué)機械化研究的思想有明顯的經(jīng)驗主義特征，但卻又是強調(diào)理性邏輯推理的“符號主義”研究的一個高點；在中國人工智能研究的歷史上，他也給與后來人以觀念和方法上的啟示。在我們編寫的《中國人工智能簡史》一書中吳文俊有著重要的篇幅，同時在書中，我們也將講述更多關(guān)于“理性主義”和“經(jīng)驗主義”這兩大流派對中國人工智能研究的影響，感興趣的讀者歡迎點擊文末閱讀原文查看 中國人工智能簡史 討論小組。

參考資料：

【1】高小山等：《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》；

【2】顧險峰：吳文俊先生的思想對我學(xué)術(shù)研究的影響；

【3】胡作玄：吳文俊（中科院數(shù)學(xué)機械化重點實驗室官方網(wǎng)站）

【4】林開亮：中國古代數(shù)學(xué)沒有定理，它是如何運作與發(fā)展的？

【5】吳文?。簲?shù)學(xué)機械化——回顧與展望

【6】尼克，《人工智能簡史》