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今天我們主要來歸納總結(jié)一下涉及三角形角的一些典型題型。希望整理的這些內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中能夠幫助到孜孜以求的你。 例題1： 已知D為△ABC內(nèi)任意一點，求證：∠BDC＞∠BAC。 解析： 這道題目考察的是:三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角。在證明角的不等關(guān)系時，如果不能直接證明出來，我們可以通過做輔助線，來幫助我們解決問題。在遇到這種類型的題目時，我們通常連接兩點或者延長某一條邊，構(gòu)造三角形，進而使得求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證明題目。 證明（一）： 延長BD交AC于 E, 因為∠BDC是△EDC的外角， 所以∠BDC＞∠DEC， 同理：∠DEC＞∠BAC, 所以∠BDC＞∠BAC。 證明（二） 連接AD，并延長交BC于F， 因為∠BDF是△ABC的外角， 所以∠BDF＞∠BAD, 同理∠CDF＞∠CAD 所以∠BDF+∠CDF＞∠BAD+∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC。 列題2 已知如圖，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D,AE平分∠BAC。 求證：∠EAD=?（∠C-∠B） 解析 ： 這道題目考察的是：從三角形的一個頂點做高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差的絕對值的一半。 證明： 因為AE平分∠BAC， 所以∠BAE=∠CAE=?∠BAC， 因為∠BAC=180°-（∠B+∠C）， 所以∠EAC=?[180°-（∠B+∠C）], 因為AD⊥BC， 所以∠DAC=90°-∠C， 因為∠EAD=∠EAC-∠DAC， 所以∠EAD=?[180°-（∠B+∠C-(90°-∠C)]= ?（∠C-∠B） 舉一反三： 如果把AD平移可以得到這樣兩個圖，F(xiàn)D⊥BC，其他條件不變，結(jié)論為：∠EFD=?（∠C-∠B）。 所以，在學(xué)習(xí)幾何時，可以適當(dāng)變換題目中的條件，從而使自己通過對一道題目的認(rèn)識而掌握這一類題目的能力，達到舉一反三觸類旁通的效果。 例題3 如圖，BD、CD分別平分∠EBC、∠FBC，求證：∠BDC=90°-?∠A。 解析： 這道題目考察的是：三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90°減去第三個內(nèi)角的一半。 證明： 因為BD、CD分別平分∠EBC、∠FBC， 所以∠EBC= ?∠1、∠FCB= ?∠2， 所以2∠1=∠A+∠ACB①，2∠2=∠A+∠ABC②， ①﹢②＝2（∠1﹢∠2）=180°+∠A， 所以∠1﹢∠2=90°﹢?∠A， 因為∠BDC=180°－（∠1﹢∠2）， 所以∠BDC=180°－（90°﹢?∠A）， 所以∠BDC=90°-?∠A。 列題4 如圖，已知BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，它與BD的延長線交于點D。 求證：∠A＝2∠D。 解析： 這道題目考察的是：三角形角平分線的應(yīng)用。三角形的一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內(nèi)角的一半。 證明： 因為BD為△ABC的角平分線， CD為△ABC外角∠ACE的平分線， 所以∠ACE=2∠1，∠ABC=2∠2， 因為∠A=∠ACE-∠ABC， 所以∠A=2∠1-2∠2， 因為∠D=∠1-∠2, 所以∠A＝2∠D。 例題5 如圖，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，求證：∠BDC=90°＋?∠A。 解析： 這道題目考察的是：三角形的角平分線。三角形的兩個內(nèi)角的角平分線相交所成的鈍角等于90°加上第三個內(nèi)角的一半。 證明： 因為，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB， 所以∠A＋2∠1＋2∠2＝180°， 所以2（∠1＋∠2）＝180°-∠A①； 因為∠BDC=180°-（∠1＋∠2）； 所以（∠1＋∠2）=180°-∠BDC②； 把②代入①得： 2（180°－∠BDC）＝180°-∠A； 所以∠BDC=90°＋?∠A。 例4和例5都是考察三角形角平分線的性質(zhì)。三角形角平分線是三角形中重要的線段，根據(jù)三角形角平分線可以得到兩個角之間的關(guān)系。在綜合問題中，充分利用角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角的關(guān)系建立所求角與已知條件的聯(lián)系是解決問題的關(guān)鍵。 以上就是有關(guān)三角形角的關(guān)系的一些題型，可以根據(jù)這些題型在平時中多多練習(xí)、思考，達到舉一反三，觸類旁通的效果。 如果這篇文章對您有所幫助，歡迎點個關(guān)注，給個轉(zhuǎn)發(fā)，鼓勵一下創(chuàng)作更多優(yōu)質(zhì)的文章。 原創(chuàng)聲明：本文為小許開講了創(chuàng)作。 |
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