例1.AB=m，AC=n（m>n），則BC的最大值是     ，最小值是     .

（1）用三角形三邊關(guān)系得：m-n≤BC≤m+n（三邊共線時(shí)取等號(hào)），所以最大值為m+n，最小值為m-n。

（2）用點(diǎn)到圓的路徑關(guān)系得：C在圓A上，當(dāng)直線BC過圓心時(shí)，BC分別為最大值m+n，最小值m-n。

若追問：“以上結(jié)論的依據(jù)是什么？”很可能不少學(xué)生回答不了！

而以上兩種結(jié)論的源頭是最簡(jiǎn)單的基本事實(shí)：“兩點(diǎn)之間，線段最短?！?/span>

圖中，在B、C兩點(diǎn)之間，有BC≤m+n；在A、B兩點(diǎn)之間，有m≤BC+n。

例2.如圖，PM=1，BM=2，∠BPC=90°，PB=PC，求CM的最小值。

由例1，我們可以有兩種思路：（1）把CM置于有兩條定長(zhǎng)邊的三角形中；（2）M看成定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)C的軌跡。

那么如何構(gòu)造模型呢？這里利用等腰直角三角形為媒介，通過旋轉(zhuǎn)縮放把已知和未知建立聯(lián)系。如下圖，構(gòu)造等腰直角三角形BMN，得△CBN∽△PBM，相似比為√2：

△CMN中，MN=2，CN=√2，CM最小值為2-√2。

這里M、N為定點(diǎn)，CN為定長(zhǎng)，同時(shí)可以看成C的軌跡是圓N，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M到圓N的最短路徑：

上述構(gòu)造為什么可以一箭雙雕？因?yàn)檫@兩種方式同根同源，都可以歸結(jié)為點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑。

構(gòu)造方法還有以下五種：

以上都用同一種構(gòu)造方式：旋轉(zhuǎn)縮放（一轉(zhuǎn)成雙），達(dá)到了同一種效果：出現(xiàn)含兩條定長(zhǎng)邊的三角形。

所以這種方法的本質(zhì)是：通過相似（全等）變換使條件集中到同一個(gè)三角形中。

條件情境是：有一個(gè)確定形狀的三角形（等腰直角三角形BCP），有一個(gè)點(diǎn)到該三角形其中兩點(diǎn)距離一定（點(diǎn)M）。

由此推廣：等腰直角三角形可以變?yōu)槠渌我獯_定形狀的三角形，解法不變。

例3.如圖，AB=4，M是AB的中點(diǎn)，PM=1，∠BPC=90°，PB=PC，求AC的最小值。

如下圖，構(gòu)造等腰直角三角形BMF，同樣出現(xiàn)△ACF中有兩邊長(zhǎng)度確定，或看成C在⊙F上，易求AC的最小值為AF-CF=√2.

下圖的構(gòu)造可以解決問題嗎？

貌似構(gòu)造方式與前面相同，但以此圖無法完成。

其實(shí)本題與例2條件情境不同，點(diǎn)A與點(diǎn)M的角色是不一樣的，點(diǎn)M滿足它到等腰直角三角形BCP的B、C兩點(diǎn)距離一定，而點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離不確定。

前提變了，方法當(dāng)然不能套用了！

我們可以通過構(gòu)造把問題轉(zhuǎn)化成與例2同樣的問題，如下圖，倍長(zhǎng)BP，構(gòu)造等腰直角三角形BCE，這樣有：AE=2，AB=4，點(diǎn)A到等腰直角三角形BCE的其中兩點(diǎn)距離一定。

此圖中，P、M就可以刪除了，這樣與例2的圖形結(jié)構(gòu)及條件情境完全相同，同樣產(chǎn)生六種構(gòu)圖方式：

上面的做法可以從中點(diǎn)的角度思考：把△BPM以B為中心縮放，構(gòu)造“A形”相似，即可把定長(zhǎng)線段PM放大2倍，得到以下與例2同樣的模型：

簡(jiǎn)化：

我們用類比或?qū)ΨQ的思維思考：把△ABC以B為中心縮放，構(gòu)造“A形”相似，即可把所求線段AC縮小一半，也可以得到以下與例2同樣的模型：

簡(jiǎn)化（轉(zhuǎn)化為求ME的最小值）：

同樣可以有六種構(gòu)造方式，不再贅述。

例4.如圖，正方形BEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的邊CD上，AB=4，求AF的最小值。

我們可以把圖形簡(jiǎn)化：

與例2比較，這里仍有一個(gè)形狀確定大小不確定的等腰直角三角形BEF，點(diǎn)A到B距離一定，到另一點(diǎn)E所在直線的距離一定（不同點(diǎn)）。這里的不同之處從軌跡角度看，例2是點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值，此題是點(diǎn)到線的距離一定，用主從聯(lián)動(dòng)規(guī)律判斷，一個(gè)軌跡是圓，一個(gè)軌跡是線。解決方法仍是類似的：構(gòu)造一轉(zhuǎn)成雙模型。

構(gòu)造等腰直角三角形BDP，可證△BPF∽△BDE，得∠BPE=∠BDE=45°，所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑在射線PF上，當(dāng)AF⊥PF時(shí)最小為6√2。

還可以用下列構(gòu)造方法：

下圖的構(gòu)造為什么不行呢？

雖然此圖結(jié)構(gòu)看上去與前面相似，實(shí)質(zhì)上違背了一個(gè)要點(diǎn)：E點(diǎn)在CD上，所以F點(diǎn)軌跡與CD相關(guān)，應(yīng)把CD上某一定點(diǎn)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度構(gòu)造等腰直角三角形。只要取一個(gè)CD上確定的點(diǎn)都可以達(dá)到目的，如下圖，取CD中點(diǎn)O，構(gòu)造等腰直角三角形BOP，亦可得∠BPF是定角，證明F點(diǎn)在直線上。