因為角的平分線已經(jīng)具備了全等三角形的兩個條件（角相等和公共邊），所以在處理角的平分線的問題時，常作出全等三角形的第三個條件，截兩邊相等（SAS）或向兩邊作垂線段（AAS）等來構(gòu)造全等三角形。今天跟大家介紹幾種角平分線中常用的作輔助線的方法。

方法一：作一邊的垂線段

例1：如圖，已知△ABC的周長為24，OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于點D，且OD＝2，求△ABC的面積。

【分析】連接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC與F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE、OF的長，根據(jù)△ABC的面積＝△A0B的面積+△BOC的面積+△AOC的面積計算即可．

【解答】解：連接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，

∴OE＝OE＝OD＝2，

答：△ABC的面積是24．

【點評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法要正確．

方法二：作兩邊的垂線段

例2：如圖，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA，OB交于點C和D，證明：PC＝PD．

【分析】過點P點作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)垂直的定義得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE＝PF，利用四邊形內(nèi)角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，則∠PCE＝∠PDF，然后根據(jù)“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到PC＝PD．

【解答】證明：過點P點作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如圖，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°，

∵OM是∠AOB的平分線，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF，

∴△PCE≌△PDF（AAS），

∴PC＝PD

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．

方法三：截長補短法

例3：先閱讀下面的材料，然后解答問題：

已知：如圖1等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分線，交BC邊于點D．求證：AC＝AB+BD．

證明：如圖1，在AC上截取AE＝AB，連接DE，則由已知條件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB

又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE＝EC．

∴AC＝AE+EC＝AB+BD．

我們將這種證明一條線段等于另兩線段和的方法稱為“截長法”．

解決問題：現(xiàn)將原題中的“AD是內(nèi)角平分線，交BC邊于點D”換成“AD是外角平分線，交BC邊的延長線于點D，如圖2”，其他條件不變，請你猜想線段AC、AB、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

【分析】根據(jù)Rt△ADB≌Rt△ADE（SAS）可得出∴∠AED＝∠ABD＝90°，AB＝AE，DB＝DE，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．

【解答】解：如圖2，在CA的延長線上截取AE＝AB，連接DE．

則由已知條件易知：△ADB≌△ADE（SAS）．

∴∠AED＝∠ABD＝90°，AB＝AE，DB＝DE，

又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE＝EC．

∴DB＝AE+AC＝AB+AC．

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)成全等三角形是解題的關(guān)鍵，難度適中．

方法四：截取作對稱圖形法

例4：如圖，AD為△ABC的中線，DE，DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，試說明:BE+CF＞EF

【分析】根據(jù)中線的定義可得BD＝CD，在AD上截取DN＝DB＝DC，然后利用“邊角邊”證明△BDE和△NDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE＝NE，同理證明△CDF和△NDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF＝NF，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊證明．

【解答】證明：∵AD為△ABC的中線，

∴BD＝CD，

如圖，在AD上截取DN＝DB＝DC，

∵DE、DF分別為△ADB、△ADC的角平分線，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

在△EFN中，NE+NF＞EF，

∴BE+CF＞EF．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并把BE、CF、EF的長度轉(zhuǎn)化為同一個三角形的三邊是解題的關(guān)鍵．