撰文 | 施    郁（復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系教授）

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全文分十一章：

1.    1918至1919年的規(guī)范理論

2.    量子論拯救規(guī)范理論

3.    規(guī)范理論的重生

4.    克萊因和泡利

5.    楊-米爾斯理論

6.    粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型與楊-米爾斯理論的復(fù)興

7.     實驗給楊-米爾斯理論賦予生命

8.     諾貝爾獎獲獎演講中的楊-米爾斯理論

9.     對稱性支配相互作用

   10.    規(guī)范理論與數(shù)學(xué)

   11.    規(guī)范理論的美與真

1918年至1919年，位于蘇黎世的瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)的赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）發(fā)表了三篇文章，試圖將電磁力納入引力幾何理論的框架 [1-4]。這就是規(guī)范理論的開端。外爾是20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。曾獲得有“數(shù)學(xué)諾獎”之稱的菲爾茲獎和阿貝爾獎的邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）爵士曾經(jīng)告訴筆者，外爾是他的偶像之一。

赫爾曼· 外爾。圖源：wikipedia

外爾的這三篇文章，以《引力與電》（Gravitation and electricity）一文為主，該文發(fā)表于《普魯士科學(xué)院院刊》[2]。正是在這個雜志上，愛因斯坦1915年發(fā)表了引力的幾何理論，也就是廣義相對論，揭示了引力本質(zhì)上是物質(zhì)所導(dǎo)致的時空的彎曲 [5]。  

1905年，愛因斯坦提出狹義相對論。閔科夫斯基注意到，狹義相對論將時間和空間統(tǒng)一為四維時空。十年以后，愛因斯坦的廣義相對論指出，物質(zhì)使得時空彎曲，彎曲時空又決定物質(zhì)的運(yùn)動。

為了領(lǐng)會時空彎曲的含義，讓我們想象一個球面。在球面上的某一點放一個箭頭，箭頭從這一點指向某個方向。然后我們將箭頭的底端在球面上移動，移動過程的每一個瞬間，都保持箭頭方向不變，這叫平行移動。然而，對于有限長度（非無窮?。?/span>的移動，箭頭方向卻變了。為了方便比較，我們可以讓箭頭底端沿著某個閉合曲線平行移動一圈，回到原來的位置，箭頭的方向不再是原來的方向。這就是球面彎曲所導(dǎo)致的。在彎曲時空里，道理與此類似，任何一個矢量（既有大小也有方向，就像一個箭頭）的平行移動可能改變它的方向，但是大小不變。

當(dāng)時人們了解到，自然界有兩種基本力，除了引力，就是電磁力，由電磁勢決定。所以外爾自然地想將電磁力也納入廣義相對論的框架。他試圖推廣平行移動的觀念，構(gòu)想矢量平行移動時，不僅方向變化，大小也變化。對于無窮小的平行移動，矢量大小改變無窮小倍，外爾假設(shè)這個無窮小倍數(shù)正比于電磁勢的無窮小改變。不難推導(dǎo)出，對于一個有限長度的平行移動，矢量大小就變成原來的大小乘以一個指數(shù)因子，指數(shù)正比于電磁勢沿著路徑的積分（也就是將每一點的電磁勢累加）。這個改變矢量大小的指數(shù)因子依賴于平行移動所經(jīng)過的路徑，所以叫做不可積標(biāo)度因子。

這個結(jié)論很奇怪。在相對論里，尺子大小和時鐘快慢都可以看成矢量的大小。那么按照外爾的理論，兩點之間的尺子大小和時鐘快慢的改變居然取決于尺子和時鐘沿什么路徑移動！

這就是愛因斯坦在外爾《引力與電》一文后所作評論的內(nèi)容。評論后面還發(fā)表了外爾篇幅很長但是沒有說服力的答復(fù)，但是他承認(rèn)自己“像野鵝一樣追逐瘋狂的概念”。

在外爾的這篇文章中，有一句話體現(xiàn)了外爾的思考方式（本文中的直接引文均為作者譯自英文）：

可以看出，外爾的信心源于他提出電磁守恒定律背后的不變性，或者說對稱性。這里的守恒量并非今天我們所知的電荷（那需要修正后的規(guī)范理論）。外爾這里將對稱性導(dǎo)致的守恒量與能量動量守恒相比較。這些都可以當(dāng)成諾特定理的例子。諾特定理是說，對稱性對應(yīng)于守恒量。不知外爾當(dāng)時是否已經(jīng)知道也發(fā)表于1918年的諾特定理 [6]。當(dāng)時諾特在哥廷根大學(xué)希爾伯特的麾下，但是五年前外爾就已經(jīng)離開了。

量子論出現(xiàn)以后，1922年，外爾的朋友薛定諤猜測，可以在外爾的標(biāo)度因子的指數(shù)里加上虛數(shù)單位i [7]。這樣，標(biāo)度因子就成了一個大小為1的復(fù)數(shù)，也就是量子力學(xué)波函數(shù)的相位因子。但是薛定諤當(dāng)時還沒有波函數(shù)的概念，只是籠統(tǒng)地說某個“長度”。后來人們發(fā)現(xiàn)，這個工作對薛定諤1926年創(chuàng)立波動力學(xué)起了啟發(fā)作用 [8-10]。

也是在1922年，在經(jīng)典理論中，卡魯扎（Theodor Kaluza）將4維時空推廣到5維時空，其中某些度規(guī)分量代表電磁勢（度規(guī)是指兩點坐標(biāo)與它們之間距離的關(guān)系）。當(dāng)理論不依賴于第5維坐標(biāo)時，5維坐標(biāo)變換退化為4維坐標(biāo)變換和1維規(guī)范變換。

1926年，薛定諤通過4篇文章創(chuàng)立了量子力學(xué)的波動力學(xué)表述（因此分享1933年諾貝爾物理學(xué)獎）。他在第4篇文章中指出，電磁場中帶電粒子的動量和能量算符必須包含電磁勢 [11]。量子力學(xué)里，物理量要用算符表示，意思是對波函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

同樣是在1926年，克萊因（Oskar Klein）和?？?span>（Vladimir Fock）分別討論了卡魯扎理論對應(yīng)的波動力學(xué) [12,13]。?？颂貏e指出，波函數(shù)運(yùn)動方程具有規(guī)范不變性，就是說，將波函數(shù)乘以相位因子，同時電磁勢做一個相應(yīng)的變換，運(yùn)動方程依然成立 [13]。

1926年底，倫敦（Fritz London）寫了一封信給薛定諤，詢問他1922年對規(guī)范因子的修改與他1926年波動力學(xué)的聯(lián)系 [8-10]。然后倫敦自己寫了兩篇文章，將通常的波動力學(xué)與外爾的規(guī)范理論聯(lián)系起來，將外爾的不可積標(biāo)度因子改為波函數(shù)的不可積相位因子[14-15]。倫敦的工作沒有?？说?維理論的額外負(fù)擔(dān)。

在倫敦和福克工作的鋪墊基礎(chǔ)上，外爾在1928年的《量子力學(xué)中的群論》一書 [16]和1929年的兩篇文章中 [17-18]，終于修正了他1918至1919年的理論，正式將標(biāo)度因子改為相位因子，將標(biāo)度不變性改為相位不變性，但是沿用了原來的名詞“規(guī)范（eich）”。我們特意將他在1918年1919年間的不可積因子稱作標(biāo)度因子，因為標(biāo)度因子和相位因子都稱作規(guī)范因子。2019年恰好也是規(guī)范理論重生九十周年。   

1929年的這兩篇文章是外爾以美國普林斯頓大學(xué)訪問教授的身份完成的。第一篇是發(fā)表于《美國科學(xué)院院刊》（PNAS）的英文概要《引力與電子》（Gravitation and the electron），里面出現(xiàn)了“規(guī)范不變原理”（principle of gauge invariance）。第二篇是德文文章，內(nèi)容詳盡，標(biāo)題是《電子與引力》（Elektronund gravitation）。兩個標(biāo)題與他1918年的《引力與電》（Gravitation and electricity）頗為呼應(yīng)。

規(guī)范不變原理當(dāng)然就是外爾1929年文章中最重要的內(nèi)容。在量子力學(xué)框架下，電磁學(xué)作為規(guī)范不變的后果被推導(dǎo)出來，規(guī)范不變性還導(dǎo)致電荷守恒。這里的規(guī)范變換已經(jīng)不是一個實數(shù)的標(biāo)度因子，而是相位因子（指數(shù)上有個虛數(shù)單位），規(guī)范不變性事實上是相位不變性。這就是我們今天熟悉的規(guī)范理論。

導(dǎo)致電荷守恒的規(guī)范不變是在整體規(guī)范變換（又稱第一類規(guī)范變換）下，也就是相位變換與時空坐標(biāo)無關(guān)，對每時每地的波函數(shù)作同樣的相位變換。這可以看成諾特定理的例子，雖然外爾沒有直接提到諾特定理。1929年，諾特定理已經(jīng)廣為人知。而導(dǎo)出電磁學(xué)的規(guī)范不變性是在局域規(guī)范變換（又稱第二類規(guī)范變換）下，也就是說，相位因子依賴于時空坐標(biāo)。

外爾1929年的文章仍然將引力和電磁力通盤考慮，但是現(xiàn)在需要考慮量子力學(xué)，出發(fā)點是引力場中的電子自旋。因此外爾討論了二分量旋量理論（用兩個波函數(shù)描述電子），包括具有手征性的外爾旋量（后來被稱為外爾費(fèi)米子）。

筆者發(fā)現(xiàn)特別有趣的是，在外爾的理論中，局域平直時空依賴于時空坐標(biāo)，從而導(dǎo)致了一種聯(lián)絡(luò)，與時空彎曲的克里斯托弗聯(lián)絡(luò)相加，類似于后來人們所知的非阿貝爾規(guī)范勢，而相應(yīng)的黎曼張量類似于非阿貝爾規(guī)范場場強(qiáng)！

被譽(yù)為“物理學(xué)的良心”和“上帝的鞭子”的量子力學(xué)創(chuàng)始人之一泡利（Wolfgang Pauli，因泡利不相容原理獨(dú)享1945年諾貝爾物理學(xué)獎）寫了一封信給外爾 [19-20]：

泡利。圖源：wikipedia

外爾這篇文章引起泡利的反感是可以理解的：外爾1918年的文章是帶著愛因斯坦的質(zhì)疑一起發(fā)表的，泡利當(dāng)年也反對 [4]，現(xiàn)在居然卷土重來，再加上文章里面的二分量理論是違反宇稱守恒的（宇稱守恒等效于鏡面對稱）。后來，1933年，泡利在他著名的《物理學(xué)手冊》的文章里仍然批評二分量理論。1957年1月，泡利聽說吳健雄等人關(guān)于弱相互作用中宇稱不守恒的實驗后（弱相互作用是主宰粒子衰變的基本相互作用），先是表示不相信宇稱不守恒，十天后讀了論文，才改變看法。  

但是泡利看了外爾1929年第二篇規(guī)范理論的文章后，態(tài)度完全變了，又寫了一封信 [19-20]：

1930年，外爾去哥廷根大學(xué)任教，成為他的導(dǎo)師希爾伯特的繼任者。

泡利成了規(guī)范理論的支持者。在上面所說的他1933年《物理學(xué)手冊》文章中，也介紹了外爾的規(guī)范理論 [21]。

也是在1933年，外爾收到普林斯頓高等研究院的教授聘書，他沒有接受。后來德國政治局勢惡化，他接受了普林斯頓高等研究院再次相聘。他在那里工作到1951年退休，后來在蘇黎世和普林斯頓兩地生活，以蘇黎世為主。

雖然經(jīng)典電磁學(xué)中也討論規(guī)范和規(guī)范變換，但是這個名詞的使用是在1929年外爾用量子力學(xué)修改規(guī)范理論之后 [22]。

質(zhì)子和中子統(tǒng)稱為核子，通過強(qiáng)核力結(jié)合成原子核。1922年，考慮到強(qiáng)核力與每個核子是質(zhì)子還是中子無關(guān)，海森堡提出同位旋的概念，類似于自旋，將質(zhì)子和中子表示成同位旋的兩種基本狀態(tài)，而在強(qiáng)核力下，同位旋守恒。1936年，湯川秀樹提出強(qiáng)核力的介子理論，即核子之間通過交換介子而產(chǎn)生強(qiáng)核力，正如帶電粒子之間的電磁力通過交換光子而實現(xiàn)。光子沒有質(zhì)量，所以電磁力是長程的，但是介子是有質(zhì)量的，所以強(qiáng)核力只能局限于很短的距離。

數(shù)學(xué)上，外爾的規(guī)范變換屬于U(1)變換，只有1個波函數(shù)作一個相位變換。而核子的同位旋變換屬于SU(2)變換，對應(yīng)于兩個同位旋狀態(tài)的2個波函數(shù)作滿足一定條件的變換。對于某種變換而言，如果連續(xù)作兩次變換的結(jié)果與順序無關(guān)，就叫阿貝爾的，否則就叫非阿貝爾的。U(1)變換是阿貝爾的，SU(2)變換是非阿貝爾的。

1938年，克萊因在波蘭的一個會議上提出一個包含引力、電磁力和強(qiáng)核力的統(tǒng)一理論[20,23]，將上面提到的卡魯扎-克萊因理論中對第5維坐標(biāo)的無關(guān)性改為依賴于某個相位因子，其中第5維坐標(biāo)出現(xiàn)在指數(shù)上。這個新理論中，某些度規(guī)系數(shù)成為具有SU(2)非阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu)的矩陣?？巳R因?qū)⒋死碚撚糜诤俗印？巳R因并不要求該理論具有SU(2)規(guī)范不變性。不過他評論說質(zhì)量項可能不需要，質(zhì)量也許可以來自某種自能，這個猜想有點后來的希格斯機(jī)制的精神?？巳R因的報告沒有引起與會者多少興趣，后來又只是發(fā)表在會議文集，再加上二戰(zhàn)的爆發(fā)，這個工作沒有引起關(guān)注。

1953年在萊頓召開的洛倫茲-昂內(nèi)斯會議上，普林斯頓高等研究院的派斯（Abraham Pais）為了研究粒子分類，提出一個基于同位旋的場論，將每個時空點推廣為一個2維球面，試圖將外爾的電荷守恒推廣到同位旋守恒 [20,24]。派斯只考慮了整體規(guī)范變換，也就是說，SU(2)變換與時空坐標(biāo)無關(guān)。泡利在場，他評論道 [20,24]：

泡利是在問，能否將與時空坐標(biāo)無關(guān)的同位旋SU(2)整體變換改為依賴時空坐標(biāo)的SU(2)局域規(guī)范變換。他自己立即研究了這個問題。泡利熟悉規(guī)范理論，以前也研究過引力和電磁力的統(tǒng)一理論 [24]，也贊成外爾將電子旋量理論與引力理論結(jié)合起來。

在1953年7月和12月給派斯的兩封信中，泡利描述了自己的理論，題為“介子-核子相互作用與微分幾何”（Meson-nucleon interaction and differential geometry） [20,24,25]。他也用卡魯扎-克萊因理論，但是采用了兩個額外維度。在他的理論中，電磁勢不是來自度規(guī)，而是來自克里斯托弗聯(lián)絡(luò)。泡利在這里沒有寫下規(guī)范場的拉格朗日量以及場方程，也沒有正式發(fā)表這個理論。但他在1953年秋天做過相關(guān)演講，后來他的學(xué)生整理了講義 [24]。1954年泡利在給楊振寧的一封長信中說，他的學(xué)生在這個講義里討論了規(guī)范場的拉格朗日量 [26]。1953年12月，泡利給派斯的另一封信中說 [24]：

著重標(biāo)志是泡利本人所加。這里以及后來泡利與楊振寧的對話以及給楊振寧的長信反映出，泡利意識到規(guī)范粒子的質(zhì)量是個麻煩。這是因為如果規(guī)范粒子有質(zhì)量，理論的規(guī)范不變性也就失去了；而如果規(guī)范粒子沒有質(zhì)量，就意味著規(guī)范場可以將作用力傳遞無限遠(yuǎn)，但是這與強(qiáng)核力的情況不符。

楊振寧當(dāng)時是普林斯頓高等研究院的年輕成員，是派斯的同事，但是1953年夏至1954年夏，他在布魯克海文實驗室訪問。楊振寧曾經(jīng)回憶 [27]：

楊振寧接著回憶，在芝加哥讀研究生時，他就開始嘗試將規(guī)范理論推廣到同位旋。2005年出版的《楊-米爾斯理論50年》（50 Years of Yang-Mills Theory）收入了楊振寧在1947年的三頁筆記 [28]，編者特霍夫特（Gerardus ’t Hooft）說 “這是一個當(dāng)時在為規(guī)范不變性概念而努力的研究生的筆記，距1954年的杰作還有一段長路。” 1947年后楊振寧還進(jìn)行了很多不成功的計算。

后來隨著實驗上越來越多的介子被發(fā)現(xiàn)，楊振寧認(rèn)為需要一個寫下相互作用的原理。所以1953年夏天在布魯克海文實驗室，楊振寧回到這個問題。當(dāng)時，他與即將在哥倫比亞大學(xué)博士畢業(yè)的米爾斯（Robert Mills）共用一個辦公室。這一次，兩人終于完成了規(guī)范理論的非阿貝爾推廣 [27]。

楊振寧和米爾斯。圖片來源：《楊振寧選集》

1954年2月，楊振寧回到普林斯頓高等研究院作學(xué)術(shù)報告，介紹這個理論 [27]。泡利在聽眾中，那個時期他與老朋友外爾一樣在蘇黎世與普林斯頓高等研究院之間“振蕩”。犀利的泡利不斷問楊振寧規(guī)范粒子的質(zhì)量。楊振寧回答說不知道，曾經(jīng)研究過，但是沒有明確結(jié)論。泡利說：“這不是充分的理由?！钡诙?，楊振寧收到泡利的短信，去找泡利。泡利建議楊振寧去看薛定諤關(guān)于引力場中狄拉克方程的文章。楊振寧發(fā)現(xiàn)，里面的方程一方面與黎曼幾何有關(guān)，一方面與他和米爾斯的方程類似 [27]。這個月，泡利還寫了一封長信給楊振寧，將自己之前的結(jié)果在平直時空和其他條件下簡化，與楊-米爾斯的結(jié)果一致，并說他的學(xué)生討論了規(guī)范場的拉格朗日。泡利最后寫道 [26]：

楊振寧和米爾斯的工作與廣義相對論完全無關(guān)，沒有額外維度的負(fù)擔(dān)。在他們的文章之前，除了倫敦的文章和泡利的綜述，研究不可積規(guī)范因子和規(guī)范理論的論文都將規(guī)范場與引力糾纏在一起，這有一定誤導(dǎo)性，但有一定技術(shù)上的優(yōu)勢。楊振寧和米爾斯在明確的物理動機(jī)下，提出清晰的非阿貝爾規(guī)范理論。但是因為他們當(dāng)時不了解規(guī)范場的幾何意義，不知道場強(qiáng)可以直接從協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對易子得到。而克萊因和泡利的工作是在彎曲時空理論的框架中，所以很自然地通過協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對易子得到場強(qiáng)。不過筆者注意到，在泡利當(dāng)初介紹外爾規(guī)范場的綜述文章中，對于通常的平直空間，也用協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對易子表示了場強(qiáng) [21]。楊振寧沒有留意到這一點，否則推廣的過程會順利很多。

盡管受到泡利的批評，楊振寧依然認(rèn)為想法很美，應(yīng)該發(fā)表。這體現(xiàn)了巨大的勇氣，因為泡利的批評有強(qiáng)大的殺傷力。比如1925年，烏倫貝克（George Uhlenbeck）和哥德斯密特（Samuel Gouldsmit）提出電子具有自旋。這個貢獻(xiàn)沒有得到諾貝爾獎，因為克羅尼格（Ralph Kronig）大半年前提出同樣想法，但在泡利、海森堡和克雷默斯（Hendrik Kramers）反對下沒有發(fā)表。

2012年，楊振寧說 [29]：

1954年，楊振寧和米爾斯其實發(fā)表了兩篇文章，提出楊-米爾斯理論。第一篇只是楊振寧在當(dāng)年美國物理學(xué)會四月會議所作報告《同位旋守恒與推廣的規(guī)范不變性》（Isotopic spin conservation and a generalized gauge invariance）的摘要，發(fā)表在《物理評論》（Physical Review），很好地總結(jié)了楊-米爾斯理論的物理思想 [30]：

他們另一篇文章是詳細(xì)的論文《同位旋守恒與同位旋規(guī)范不變性》（Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance），于6月28日被《物理評論》收稿。此文的摘要強(qiáng)調(diào)了局域變換 [31]：

文章最后說明，對于規(guī)范粒子的質(zhì)量問題，還沒有滿意答案，并指出質(zhì)量為零的選項面臨發(fā)散的困難。

我們順便提一下，整體對稱也是合法的，不與規(guī)范對稱矛盾，兩種對稱都存在，前者也可看成后者的特例，事實上電荷守恒正是整體相位變換不變性的后果。

雖然是一個很美的理論，但是楊-米爾斯理論沒有能立即用到物理上。當(dāng)時除了在普林斯頓，楊振寧只在哈佛大學(xué)作過一次介紹這個工作的演講。

2012年，楊振寧評論 [32]：

這里提到的[85j]就是楊振寧的《外爾對物理學(xué)的貢獻(xiàn)》[4]，里面的腳注34指出，泡利生前最后一些年對規(guī)范場的思想持負(fù)面態(tài)度，并提到1956年泡利曾經(jīng)為他1921年的文章《相對論》寫過一系列后記，其中關(guān)于“外爾的理論”的后記不再如他1921年的德文原文那樣正面。

總之，楊振寧和米爾斯成為非阿貝爾規(guī)范理論的創(chuàng)立者，非阿貝爾規(guī)范理論也被稱為楊-米爾斯理論。1999年，在美國物理學(xué)會成立100周年之際，楊振寧當(dāng)初的同事和見證人派斯寫了理論粒子物理的歷史綜述，其中寫道 [33]：

楊-米爾斯理論的發(fā)表使得很多物理學(xué)家開始關(guān)注這個問題，成為一個候選理論，雖然并沒有立即成功解決具體物理問題。楊振寧回憶：“1950年代后期，規(guī)范理論被用到強(qiáng)相互作用和弱相互作用。1960年，櫻井（Jun John Sakurai）發(fā)表了一篇很熱切的文章，提出強(qiáng)相互作用的非阿貝爾規(guī)范理論?！?[27] 但是楊振寧認(rèn)為櫻井的做法破壞了規(guī)范不變性這一規(guī)范理論中最美妙的觀念，認(rèn)為不應(yīng)當(dāng)馬馬虎虎地將規(guī)范理論變?yōu)槲ㄏ蟮臇|西[34]。1961年，格拉肖 (S. Glashow) 如櫻井一樣，硬行假設(shè)規(guī)范粒子具有質(zhì)量，提出一個具有U(1)× SU(2)對稱性的模型，以統(tǒng)一電磁相互作用和弱相互作用。

另一方面，楊-米爾斯理論也引起一些純理論的興趣。1960年代，費(fèi)曼（R.P.Feynman）、德維特（B. DeWitt）、波波夫（V. N. Popov）和法捷耶夫（L. D. Faddeev）研究了楊-米爾斯理論的量子化。

后來，經(jīng)過其他很多物理學(xué)家多年的努力，在加入其他思想元素之后，楊-米爾斯理論成為粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的理論架構(gòu)。描述的對象有別于1954年時的設(shè)想。質(zhì)子和中子不再是基本粒子，同位旋守恒只是近似的。輕子和夸克是基本粒子。核子由夸克組成，核子之間的強(qiáng)核力來自夸克和膠子的強(qiáng)相互作用。基本相互作用包括強(qiáng)相互作用以及統(tǒng)一了電磁和弱相互作用的“電弱相互作用”，它們分別由一個楊-米爾斯理論描述。

粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型。來源：wikipedia

除了規(guī)范對稱性，粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的另一個主要思想是自發(fā)對稱破缺。這個思想最早出現(xiàn)在凝聚態(tài)物理中，特別是超導(dǎo)理論中，1960年由南部陽一郎（Yoichiro Nambu）首先引入粒子物理。他指出，真空不一定具有能量函數(shù)的對稱性。

1963年，安德森（P. W. Anderson）借鑒超導(dǎo)理論，指出規(guī)范對稱的自發(fā)破缺會導(dǎo)致規(guī)范粒子獲得質(zhì)量。1964年，布勞特（R. Brout）和英格萊特（F. Englert），希格斯（P. W. Higgs），以及稍后的古拉尼克 (G. Guralnik)、海根 (C. R. Hagen) 和基堡（T. Kibble）三組研究者指出，在相對論場論中，規(guī)范對稱的自發(fā)破缺使得規(guī)范粒子獲得質(zhì)量。這個機(jī)制也導(dǎo)致有質(zhì)量的希格斯粒子的產(chǎn)生。正如楊振寧曾經(jīng)評價的那樣 [34]：

1967年，基于規(guī)范對稱的自發(fā)破缺，作為輕子的模型，溫伯格提出具有U(1)×SU(2)規(guī)范對稱性的電弱理論。薩拉姆在一個會議上也獨(dú)立提出這個理論，并首次采用“電弱理論”之名[35]。自發(fā)對稱破缺使得電弱作用的規(guī)范粒子（帶1個正或負(fù)的單位電荷的W±和不帶電的Z0粒子）獲得質(zhì)量，理論此后的部分與格拉肖1961年建立在人為假設(shè)基礎(chǔ)上的理論一致。1971年，溫伯格又將此理論用于夸克。1971年至1972年，特霍夫特和維爾特曼（M. Veltman）證明了楊-米爾斯理論的可重整化,這是一個重大突破，表明了電弱理論是一個自洽的量子場論。

粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型還有一個主要思想是所謂的漸進(jìn)自由。1973年，格羅斯（David Gross）和韋爾切克（Frank Wilczek）,以及普利策（David Politzer）發(fā)現(xiàn)楊-米爾斯理論具有漸進(jìn)自由的性質(zhì)，也就是說，距離越短，相互作用越弱。特霍夫特在前一年得到這個結(jié)果，但是沒有發(fā)表。漸進(jìn)自由的發(fā)現(xiàn)確定了量子色動力學(xué)的物理意義。這是弗里茲希（H. Frizsch）和蓋爾曼（M. Gell-Mann）1972年提出的、具有SU（3）規(guī)范對稱性的楊-米爾斯理論，通過被稱作色的自由度描述強(qiáng)相互作用，其規(guī)范粒子就是膠子。在SU(3)變換中，3個波函數(shù)作符合一定條件的變換。后來，格羅斯和韋爾切克以及溫伯格提出，量子色動力學(xué)的規(guī)范對稱沒有破缺，因此膠子質(zhì)量為零。輕子和希格斯粒子無色，因此不參與強(qiáng)相互作用。

1972年，小林誠（Makoto Kobayashi）與益川敏英（Toshihide Maskawa）在電弱理論框架中，提出一個3代共6種（這個種類叫做味）夸克微弱混合的模型，解釋實驗上觀測到的弱相互作用的CP對稱性破壞（這里的對稱性破壞不是前面談的自發(fā)破缺）。C指電荷共軛，就是在數(shù)學(xué)上將粒子變換為它的反粒子，P指宇稱變換，CP指同時作著兩個變換。1956年，李政道和楊振寧的理論分析表明，弱相互作用中宇稱是否守恒有待實驗檢驗，然后吳健雄通過鈷60的β衰變實驗，發(fā)現(xiàn)弱相互作用中P和C都是不對稱的，李和楊因此獲得1957年諾貝爾物理學(xué)獎。1964年，克羅寧（James Cronin）和費(fèi)奇（Val Fitch）在中性K介子的衰變中發(fā)現(xiàn)，CP也是不對稱的，他們因此獲得1980年諾貝爾物理學(xué)獎。   

1974年，威爾遜（Kenneth Geddes Wilson）發(fā)明了格點規(guī)范場論，通過將時空分立化，進(jìn)行非微擾的計算。他1982年因為用重整化群研究相變獲得諾貝爾物理學(xué)獎。

1970年左右，楊振寧認(rèn)識到規(guī)范場的幾何意義和不可積相位因子的重要性。他1974年發(fā)表了規(guī)范理論的積分形式，并提出引力就是一種規(guī)范場 [36]。1975年，楊振寧和吳大峻用不可積相位因子給出規(guī)范場的整體描述，并將規(guī)范理論與纖維叢理論的基本概念相對應(yīng) [37]，促進(jìn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)此后在這方面的成功合作。在此背景下，1985年和1987年，楊振寧在外爾和薛定諤的百年誕辰紀(jì)念會上討論了相關(guān)的歷史 [4,9]。

外爾從規(guī)范不變性得到電磁理論，窺視到大自然理論結(jié)構(gòu)的一角，但是電磁理論早就從大量實驗中被物理學(xué)家總結(jié)出來，由麥克斯韋集大成。楊-米爾斯理論能否成為描述基本相互作用的理論框架、標(biāo)準(zhǔn)模型正確與否都需要接受實驗的檢驗，因此實驗給楊-米爾斯理論賦予了生命。實驗上的驗證也給很多為建立標(biāo)準(zhǔn)模型作出重要貢獻(xiàn)的物理學(xué)家?guī)碇Z貝爾物理學(xué)獎。

當(dāng)初楊振寧和米爾斯的工作就受到實驗上發(fā)現(xiàn)大量介子的驅(qū)動。介子先是在宇宙線中發(fā)現(xiàn)，1953年布魯克海文實驗室的質(zhì)子同步加速器 COSMOTRON 投入運(yùn)行后也發(fā)現(xiàn)很多介子。楊-米爾斯理論在提出后受到質(zhì)疑,則是由于理論中的規(guī)范粒子當(dāng)時在實驗上不存在。

1970年代，電弱理論預(yù)言的中性流在歐洲核研究組織（CERN）、費(fèi)米實驗室和斯坦福直線加速器實驗室（SLAC）的很多實驗中得到證實，因此，格拉肖、薩拉姆和溫伯格分享了1979年的諾貝爾物理學(xué)獎。

格拉肖（Glashow）、薩拉姆（Salam）、溫伯格（Weinberg）。

圖源：http://www.

1983年，電弱理論中的規(guī)范粒子W±和Z0粒子在CERN被發(fā)現(xiàn)，因此魯比亞（Carlo Rubbia）和范德米爾（Simon Van der Meer）分享了次年的諾貝爾物理學(xué)獎。W±、Z0乃至其他粒子具體性質(zhì)的計算（包括1995年才在費(fèi)米實驗室發(fā)現(xiàn)的頂夸克的質(zhì)量）依賴于特霍夫特和維爾特曼的規(guī)范場重整化理論，因此他們“因澄清電弱理論的量子結(jié)果”而分享了1999年的諾貝爾物理學(xué)獎 [38]。  

實驗表明夸克不能孤立存在，只有在高能量時才能觀測到，所以需要一個具有漸進(jìn)自由性質(zhì)的強(qiáng)相互作用理論。格羅斯和韋爾切克以及普利策的計算表明楊-米爾斯理論具有這樣的性質(zhì)，他們分享了2004年的諾貝爾物理學(xué)獎。量子色動力學(xué)經(jīng)受了很多實驗的檢驗，比如，用粲夸克及其反粒子的束縛態(tài)解釋J/ψ粒子的行為，預(yù)言電子-質(zhì)子深度非彈性散射偏離比約肯（James Bjorken）標(biāo)度并得到實驗證實，以及對夸克噴注現(xiàn)象的解釋。1968年，費(fèi)曼曾用部分子模型解釋比約肯標(biāo)度，部分子很快被認(rèn)為就是夸克 [39]。

南部陽一郎與小林誠（Kobayashi Makoto）和益川敏英（Toshihide Maskawa）的工作都使得規(guī)范對稱框架下的標(biāo)準(zhǔn)模型能夠解釋不對稱的實驗事實，因此他們分享了2008年的諾貝爾物理學(xué)獎。1972年，小林誠和益川敏英的模型提出來的時候，只有3種已知的夸克。1964年比約肯和格拉肖曾提出第4種夸克，稱為粲夸克。1970年，格拉肖、伊利波洛斯（Jean Iliopoulos）和瑪雅尼（Luciano Maiani）用電弱理論表明，粲夸克的存在可以解釋在弱相互作用下，奇異數(shù)的改變不超過1。1974年，丁肇中組和里希特（B.Richter）組發(fā)現(xiàn)J/ψ粒子，確認(rèn)了粲夸克的存在乃至夸克模型的真實性，被稱為“十一月革命”。丁肇中和里希特分享了1976年諾貝爾物理學(xué)獎。1977年，伯爾（Martin Perl）組發(fā)現(xiàn)τ輕子（伯爾分享了1995年諾貝爾物理學(xué)獎），表明輕子有3代，萊德曼（Leon Lederman）組發(fā)現(xiàn)第5種夸克。這樣，小林誠和益川敏英的模型開始得到重視。第6種夸克就是1995年才發(fā)現(xiàn)的頂夸克。

2012年， CERN發(fā)現(xiàn)了希格斯粒子，次年英格萊特和希格斯分享了諾貝爾物理學(xué)獎（布勞特已于2011年去世）。

希格斯粒子的實驗發(fā)現(xiàn)。來源：wikipedia

很多相關(guān)諾貝爾物理學(xué)獎獲獎演講中，都提到楊-米爾斯理論或者非阿貝爾規(guī)范理論 [38]。筆者在“楊-米爾斯理論60周年”國際會議上曾將這些片段集中展示 [40]，它們足以描繪一段精彩紛呈的歷史。

格拉肖（1979年獲獎）：

溫伯格（1979年獲獎）：

維爾特曼（1999年獲獎）：

特霍夫特 (1999年獲獎):

格羅斯（2004年獲獎）：

南部陽一郎（2008年獲獎）：

小林誠 (2008年獲獎):

益川敏英 (2008年獲獎):

英格萊特（2013年獲獎）：

希格斯（2013年獲獎）：

1955年12月，外爾在蘇黎世去世。此前不久，外爾將1918年的《引力與電》收入他的文集，并寫了個評論 [20]：

這里外爾提到了規(guī)范不變性與電荷守恒的對應(yīng)關(guān)系。這在他1918年的文章里沒有，但是在他1929年的文章以及泡利對規(guī)范不變性的介紹中都提到了，當(dāng)時已經(jīng)廣為人知。

將外爾的此段總結(jié)與楊振寧和米爾斯文章的摘要相對照，更顯有趣。用規(guī)范原理導(dǎo)出電磁學(xué)是在已經(jīng)了解電磁學(xué)規(guī)律之后，只是厘清理論結(jié)構(gòu)，但是正如坐標(biāo)變換不變性決定了未知的引力，非阿貝爾規(guī)范不變性決定了未知的規(guī)范相互作用。

1979年，在紀(jì)念愛因斯坦誕辰100周年的一個會議上，楊振寧總結(jié)了“對稱性支配相互作用”原理，指出第一個例子是愛因斯坦從坐標(biāo)變換不變性得到廣義相對論，第二個例子是外爾從阿貝爾規(guī)范變換不變性得到電磁學(xué)，第三個例子是從非阿貝爾規(guī)范變換不變性得到非阿貝爾規(guī)范場 [41]。今年也是“對稱性支配相互作用”這一概括提出40周年。

在紀(jì)念外爾百年誕辰的演講中，楊振寧說 [4]：

戴森 (Freenman J. Dyson) 在普林斯頓高等研究院度過漫長的事業(yè)生涯，與外爾和楊振寧都很熟悉，是楊-米爾斯理論的另一位見證人。戴森曾經(jīng)說 [42]：  

戴森繼續(xù)評論道：

2002年，楊振寧總結(jié)20世紀(jì)理論物理的三個主旋律：量子化，對稱和相位因子[43,44]。

楊振寧先生曾經(jīng)告訴筆者：

“對稱性支配相互作用”的三個例子體現(xiàn)了物理學(xué)理論之大美。另一方面，這三個例子又都體現(xiàn)了理論物理與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系。廣義相對論對應(yīng)的數(shù)學(xué)黎曼幾何（彎曲空間的幾何）在十九世紀(jì)上半葉就由高斯（Karl Friedrich Gauss）和黎曼（Bernhard Riemann）師徒創(chuàng)立，然后里奇（Gregorio Ricci）和樂維-齊維塔（Tullio Levi-Civita）師徒發(fā)明了張量微積分這個分析黎曼幾何的工具。愛因斯坦開始創(chuàng)立廣義相對論時，他的同學(xué)格羅斯曼（Marcel Grossmann）告訴他，合適的數(shù)學(xué)就是黎曼幾何。

關(guān)于規(guī)范理論的數(shù)學(xué)，楊振寧曾經(jīng)寫道 [41]：

阿蒂亞曾經(jīng)寫道 [45]：

在楊振寧和吳大峻1975年的《不可積相位因子概念和規(guī)范場的整體形式》中 [37]，有一個“字典”，把規(guī)范理論的基本概念“翻譯”成纖維叢理論的基本概念。其中，規(guī)范理論中的源對應(yīng)一個問號，因為當(dāng)時數(shù)學(xué)家還沒有研究與源對應(yīng)的概念。無源情況的一種解是自對偶解，又叫瞬子解，這是只有單個奇點的極小作用量解，由貝拉凡（A. Belavin）、普利亞科夫（A. Polyakov）、施瓦茨（A. Schwartz）和圖普金（Y. Tyupkin）首先得到。

阿蒂亞與合作者研究了瞬子解的分類。他與希欽（Nigel Hitchin）和辛格合作，運(yùn)用阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理（兩人因此獲得2004年阿貝爾獎），計算了瞬子模空間的維數(shù)。

阿蒂亞關(guān)于楊-米爾斯與規(guī)范理論的一個系列學(xué)術(shù)報告激發(fā)了凱倫·柯斯庫拉·烏倫貝克（Karen Keskulla Uhlenbeck，Keskulla是婚前姓，她第一個丈夫的父親就是自旋提出者之一烏倫貝克）對規(guī)范理論的興趣。她將楊-米爾斯方程表示成一個橢圓系統(tǒng)，導(dǎo)致她所謂“曲率受限于Lp的聯(lián)絡(luò)”的緊致定理，以及“被戳破的4維球上的楊-米爾斯方程的可去除奇點”的理論。她還證明，任何具有有限作用量和孤立奇點的解處于一個SU(2)纖維叢上。陶布斯（Clifford Taubes）研究了瞬子模空間的邊界和自對偶4維流形的粘結(jié)。

在阿蒂亞、凱倫·烏倫貝克和陶布斯等人工作基礎(chǔ)上，唐納森（Simon Donaldson）用瞬子?？臻g研究了4維微分流形的拓?fù)洌玫搅颂萍{森定理，并與費(fèi)里德曼（Freedman）定理結(jié)合，發(fā)現(xiàn)4維歐氏空間上存在奇異微分結(jié)構(gòu)，由此獲得1986年菲爾茲獎。凱倫·烏倫貝克和丘成桐發(fā)現(xiàn)，復(fù)n維流形上的穩(wěn)定全純矢量叢上存在厄密楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)。

威騰（Edward Witten）用規(guī)范場論（特別是超對稱楊-米爾斯理論）研究低維拓?fù)涞葦?shù)學(xué)問題，他是唯一獲得過菲爾茲獎的物理學(xué)家（因為證明了廣義相對論中的正能量定理）。這說明廣義相對論和規(guī)范理論都能反哺數(shù)學(xué)。

關(guān)于楊-米爾斯理論的數(shù)學(xué)，凱倫·烏倫貝克有過一段有趣的評論 [46]：

本文排版期間（2019年3月19日），“因為對幾何偏微分方程，規(guī)范理論和可積系統(tǒng)的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，以及在分析，幾何和數(shù)學(xué)物理上的基本影響”，凱倫·烏倫貝克獲2019年阿貝爾獎 [47]。

外爾曾經(jīng)半開玩笑地對戴森說 [42]：

外爾對規(guī)范對稱的執(zhí)著深刻地反映了這一點。所幸，規(guī)范對稱是美的，也是真的。安德森曾經(jīng)說過 [48]：

愛因斯坦在廣義協(xié)變原理的指導(dǎo)下成功創(chuàng)立廣義相對論，乃至他后來對統(tǒng)一場論的執(zhí)著，充分體現(xiàn)了他對自然定律美的信心。他在創(chuàng)立廣義相對論的論文里寫道 [49]：

對于物理學(xué)之美的追求貫穿了楊振寧的研究工作 [50]，也反映在他對非阿貝爾規(guī)范理論的執(zhí)著。楊振寧曾經(jīng)感嘆 [34]:

泡利對規(guī)范理論的態(tài)度的演變則反映了他求真的一絲不茍。在泡利去世60周年之際，我們向這位天才大師致以深深的敬意。

非阿貝爾規(guī)范理論的美使得1954年的楊振寧相信它包含一定程度的真,盡管暫時不能解決規(guī)范粒子質(zhì)量問題。楊振寧和米爾斯的論文最后關(guān)于這個問題的討論和結(jié)論“我們不能對b量子（譯注：指規(guī)范粒子）的質(zhì)量作出任何結(jié)論” [31]富有預(yù)見性，因為后來發(fā)現(xiàn)規(guī)范粒子可以通過規(guī)范對稱自發(fā)破缺而獲得質(zhì)量（W±和Z0），也可以無質(zhì)量（膠子）。將來標(biāo)準(zhǔn)模型被超越后，很可能規(guī)范理論依然重要。 

規(guī)范理論最初提出后立即被否定，后來得到重生；非阿貝爾規(guī)范理論提出后立即遭到質(zhì)疑，后來在加入其他思想元素后得到復(fù)興，成為粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的構(gòu)架。歷史表明，美與真能否統(tǒng)一，由實驗決定。同樣，理論的進(jìn)一步發(fā)展，比如弄清規(guī)范對稱自發(fā)破缺的奧秘、探索規(guī)范對稱的起源、搞懂為什么中微子質(zhì)量不為零，等等，也需要實驗的進(jìn)步。 

本文在《物理文化與施郁世界線》（Physicalculture）分章轉(zhuǎn)載。

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