'圓'是一個(gè)完美的圖形，在初中數(shù)學(xué)中具有豐富內(nèi)容，其中大部分是與角度相關(guān)性質(zhì)，對(duì)于圓的定義雖貌似平平，但表達(dá)形式多樣，對(duì)解題的意義很大。有些問(wèn)題表面上看起來(lái)與圓無(wú)關(guān)，但在解題中若能依據(jù)問(wèn)題的條件，結(jié)合圓的定義和判定特征，巧妙地引入輔助圓，轉(zhuǎn)化為利用圓的幾何性質(zhì)來(lái)解決，往往會(huì)使問(wèn)題思路豁然開(kāi)朗，運(yùn)算簡(jiǎn)單便捷，過(guò)程清晰明了，引人入勝。

在旋轉(zhuǎn)綜合題中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)角度或線段的位置往往不易確定，解題思路難以形成，但如果我們根據(jù)題目中的已知條件構(gòu)造輔助圓，往往能起到化隱為顯，化難為易，化繁為簡(jiǎn)的解題效果，那么何時(shí)構(gòu)造合適的'輔助圓'，使得解題舉重若輕，柳暗花明呢？下面結(jié)合具體實(shí)例，談?wù)勗谛D(zhuǎn)綜合問(wèn)題中如何構(gòu)造輔助圓簡(jiǎn)化或優(yōu)化解題思路。

例1．如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CB的延長(zhǎng)線上，且BE＝BF，連接EF．

（1）若取AE的中點(diǎn)P，求證：BP＝1/2CF；

（2）在圖①中，若將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0＜α＜360°），如圖②，是否存在某位置，使得AE∥BF？若存在，求出所有可能的旋轉(zhuǎn)角α的大??；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．

（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則BE＝AE＝2a，由BE＝BF得到BF＝2a，所以CF＝6a，由點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)得EP＝a，則BP＝3a，由此得到BP＝1/2CF；

對(duì)于第（2）問(wèn)，許多同學(xué)由于無(wú)法準(zhǔn)確畫(huà)出圖形而不知從何入手，下面就來(lái)講解如何確定E的位置.由題可知，點(diǎn)B是一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，且BE=BF，所以點(diǎn)E、F都在以B為圓心，BE長(zhǎng)為半徑的圓上；如果AE//BF，則∠AEB=∠EBF=90°，所以點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上.根據(jù)以上分析可知，點(diǎn)E在兩圓的交點(diǎn)處.如下圖圖所示：

由（1）得到BE＝BF＝1/2AB，∠EBF＝90°，當(dāng)AE∥BF時(shí)，則∠AEB＝∠EBF＝90°，所以∠BAE＝30°，則∠ABE＝60°，即α＝60°，易得α＝300°時(shí)，AE∥BF．

例2.如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

①當(dāng)α＝0°時(shí)，求AE與BD的比值？

②當(dāng)α＝180°時(shí)，求AE與BD的比值？

③猜想：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，AE與BD的比值是定值嗎？（不必證明）

（2）解決問(wèn)題：當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，線段BD的長(zhǎng)度是多少？

【解析】本題屬于幾何變換綜合題．考查了、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意掌握分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．

（1）①當(dāng)α＝0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的AE/BD值是多少．

②α＝180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)AC/AE=BC/BD，求出AE/AD的值即可．

第③問(wèn)是典型的手拉手旋轉(zhuǎn)，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等可以證明△AEC∽△BDC，進(jìn)而得到AE:BD=AC:BC=√5：2.對(duì)于第（3）問(wèn)，準(zhǔn)確畫(huà)出圖形是解決本題的關(guān)鍵，而要準(zhǔn)確畫(huà)出圖形的關(guān)鍵就是要確定點(diǎn)D在圖中的位置，因?yàn)椤鱁DC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑的圓,又因?yàn)镃D⊥DE，當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，CD⊥AE，因?yàn)镃D是圓C的半徑，所以AE是圓C的切線.即過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置.如下圖：

首先判斷出∠ECA＝∠DCB，再根據(jù)EC/DC=AC/BC=√5/2，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得AE/AD=EC/DC=√5/2．

（2）分兩種情況分析，A、D、E三點(diǎn)所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

如圖3， 可求得BD＝AC＝4√5．如圖4，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，可求得BD＝12√5/5．

綜上所述，BD的長(zhǎng)為4√5或12√5/5．

例3.如圖（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．

（1）求證：AE＝BC；

（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，連結(jié)CE′，BF′，求證：CE′＝BF′；

（3）在圖（2）的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝ ______時(shí)，CE′∥AB．

【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用角的度數(shù)相等得到相等的角是解題的關(guān)鍵，（3）從圓弧的角度考慮求解是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分情況討論．

（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC＝∠C＝72°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE＝∠CBE＝36°，然后求出∠BEC＝72°，從而得到∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；

（2）求出AE＝AF，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，然后利用'邊角邊'證明△CAE′和△BAF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

（3）因?yàn)椤鰽EF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，所以點(diǎn)E始終在在以A為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑的圓上；又因?yàn)镃E//AB，所以過(guò)點(diǎn)C做AB的平行線，和圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)E的位置.

如下圖：把△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AE′與過(guò)點(diǎn)C與AB平行的直線相交于M、N，然后分兩種情況，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可．

①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，四邊形ABCM是等腰梯形，

所以，∠BAM＝∠ABC＝72°，又∵∠BAC＝36°，∴α＝∠CAM＝36°；

②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，

∵CE′∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝72°，

∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°，∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，

∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時(shí)，CE′∥AB．故答案為：36°或72°．

例4．（2018·河南中考題）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：

①AC/BD的值為 _______；

②∠AMB的度數(shù)為_(kāi)________ ．

（2）類(lèi)比探究

如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷AC/BD的值及∠AMB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD＝1，OB＝√7，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．

【解析】（1）①根據(jù)手拉手等腰三角形易得△AOC≌△BOD，在運(yùn)用8字導(dǎo)角可得∠AMB=∠AOB=40°，得AC＝BD，比值為1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°；

（2）由△AOB∽△COD可得AO:CO=BO:DO,即AO:BO=CO:DO.

而且∠AOB=∠COD，所以∠AOC=∠BOD.

所以△AOC∽△BOD，所以AC:BD=AO:BO=√3;

在運(yùn)用8字導(dǎo)角可得∠AMB=∠AOB=90°

（3）由第二問(wèn)可知，∠AMB=90°，所以點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上(確切地說(shuō)是一段圓弧)；又因?yàn)镺C長(zhǎng)度不變，所以點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑的圓上.當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)M重合時(shí)，該點(diǎn)在兩圓的交點(diǎn)處.如下圖:

先看下面動(dòng)態(tài)圖：

情況一：如圖：當(dāng)點(diǎn)M、C重合時(shí)，C、D、B三點(diǎn)共線，此時(shí)∠OCB=30°.

過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，OD=1，易得，OC=√3,OF=√3/2,DF=1/2

在Rt△BOF中，解得，BF=5/2，所以BD=5/2-1/2=2，AC=√7BD=2√7.

情況二：如下圖：結(jié)合情況一的計(jì)算可得，BD=BF+DF=5/2+1/2=3所以AC=√7*BD=3√7.

當(dāng)然對(duì)于本題，也可以計(jì)算出BC、AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)度.

反思：第三問(wèn)中確定點(diǎn)C的位置是本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵.而交軌法是解決這一問(wèn)題的常用方法，所以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.由∠AMB=90°可知，點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，又點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓上，由此可確定兩圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，C的重合之處.

本題中除了上述方法確定交點(diǎn)的位置外，還可以用下面的方法：

過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，以O(shè)為圓心，OF為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線，切線與點(diǎn)M軌跡的交點(diǎn)即為點(diǎn)M與點(diǎn)C的重合之處.如下圖：

方法小結(jié)：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.根據(jù)這一性質(zhì)，在與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的習(xí)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)輔助圓，用于確定具有某些特定限制特定位置。