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線段的垂直平分線與線段的兩種關(guān)系：位置關(guān)系——垂直，數(shù)量關(guān)系——平分，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可以求線段的長度、角的度數(shù)等，還可以解決實際生活中的選址問題等。今天我們將介紹幾種線段垂直平分線的應(yīng)用。 應(yīng)用一：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長 例1：如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線交BC于點D、E，已知△ADE的周長為12cm，求BC． 例1圖 【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，AE＝CE，再根據(jù)AD+DE+AE＝BD+DE+CE即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC， ∵△ADE的周長為12cm，即AD+DE+AE＝12cm， ∴BC＝12cm． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等． 例2：如圖，已知AB比AC長3cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是15cm，求AB和AC的長． 例2圖 【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得CD＝BD，然后求出△ACD的周長＝AB+AC，再解關(guān)于AC、AB的二元一次方程組即可． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線， ∴CD＝BD， ∴△ACD的周長＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB， 由題意得AB-AC=3, AB+AC=15 解得：AB=9,AC=6 ∴AB和AC的長分別為9cm，6cm． 【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟記性質(zhì)并求出△ACD的周長＝AC+BC是解題的關(guān)鍵． 應(yīng)用二：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)求角的度數(shù) 例3：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，求∠DBC 例3圖 【分析】根據(jù)線段垂直平分線求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)求出∠ABC，即可得出答案． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，∠AED＝90°， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠ADE＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝65°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°， 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能正確運用定理求出各個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，難度適中． 例4：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC于D，連接AD．若AD將∠CAB分成兩個角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度數(shù)． 例4圖 【分析】由DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線定理得到AD＝BD，根據(jù)等邊對等角得到∠ABD＝∠BAD，又∠CAD：∠DAB＝2：5，可設(shè)∠CAD＝2x，∠DAB＝5x，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，可得∠CAD+∠DAB+∠ABD＝90°，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出∠DAB與∠ABD的度數(shù)，又∠ADC為三角形ABD的外角，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，由∠DAB與∠ABD的度數(shù)之和即可求出∠ADC的度數(shù)． 解：∵DE是AB的垂直平分線， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵∠CAD：∠DAB＝2：5， 設(shè)一份為x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x， 又∠C＝90°， ∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°， 解得：x＝7.5°， ∵∠ADC為△ABD的外角， ∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75° 【點評】此題考查了線段垂直平分線定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，要求學(xué)生借助圖形，多次利用等量代換的方法，達到解決問題的目的，同時對于比例問題，一般情況設(shè)每一份，表示出各角，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，進而求出各角的度數(shù)． 應(yīng)用三：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)解決實際問題 例5：某城區(qū)規(guī)劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A，B，C（如圖所示） 之間建購物商場，該購物商場建在何處才能使這三個住宅小區(qū)的居民到該購物商場距離相等？ （1）在圖中用尺規(guī)作圖確定購物商場的位置（簡述作法，并說明作圖依據(jù)）； （2）證明你所確定的位置到三個住宅小區(qū)的距離相等． 例5圖 【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，連接BC、AC，△ABC兩邊垂直平分線的交點就是花園的位置； （2）利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可． 【解答】（1）解：連接AB，分別以A、B為圓心，大于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點，連接這兩點即是作AB的垂直平分線； 同理連接BC，作出BC的垂直平分線，兩條直線交于點P，則點P就是商場的位置； （2）證明：如圖， 【點評】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)解決問題． 應(yīng)用四：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)判斷兩線的位置關(guān)系 例6：如圖，OE，OF分別是△ABC中AB，AC邊的中垂線（即垂直平分線），∠OBC、∠OCB的平分線相交于點I，試判定OI與BC的位置關(guān)系，并給出證明． 例6圖 【分析】首先連接OA，過點I作IM⊥OB于點M，過點I作IN⊥OC于點N，過點I作IG⊥BC于點G，由OE，OF分別是AB，AC邊的中垂線，可得OA＝OB＝OC，又由∠OBC，∠OCB的平分線相交于點I，可得點I在∠BOC的角平分線上，然后由三線合一，證得結(jié)論． 【解答】解：OI⊥BC． 理由：連接OA，過點I作IM⊥OB于點M，過點I作IN⊥OC于點N，過點I作IG⊥BC于點G， ∵OE，OF分別是AB，AC邊的中垂線， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∵∠OBC，∠OCB的平分線相交于點I， ∴IM＝IG，IN＝IG， ∴IM＝IN， ∴點I在∠BOC的角平分線上， ∴OI⊥BC． 【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． |
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