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蝶 赤橙黃綠千百色，東西南北伴芳眠。 夢里莊周游云霧，卻見夏蝶迎秋山。 才子佳人淚執(zhí)手，花叢翩翩續(xù)前緣。 作繭自縛何足懼，待得春風滿人間。 ——by 小編 正如開頭詩所言，自古以來，蝴蝶就伴隨著許許多多如夢似幻的意向，出現(xiàn)在各種文獻中，其中最出名的莫過于莊周夢蝶，梁?；@類典故了。蝴蝶是文人們睡夢里的常客，是連接夢境和現(xiàn)實之間的紐帶；抑或是才子佳人的寄托，在現(xiàn)實過于殘酷的時候在來世中淡化悲劇色彩。古人擅長遐想，今人則擅長勵志——毛蟲破繭成蝶的蛻變過程，則為各種現(xiàn)代散文小說所津津樂道，并儼然成為青春期成長的代名詞?；蛟S很多讀者在中學作文中都使用過“破繭成蝶”的素材。 不過蝴蝶可不僅僅只出現(xiàn)在文學作品中，也不只是中國人的專利。著名的“蝴蝶效應”最早則是由美國數(shù)學家兼氣象學家愛德華?羅倫茲（Edward Lorenz，區(qū)別于物理學家洛倫茲Lorentz）于1963年提出[1]。這一概念一經(jīng)提出便引起軒然大波：在學術界，洛倫茲因他的這篇論文被譽為“混沌理論之父”[2]；在商業(yè)圈，蝴蝶效應經(jīng)常被企業(yè)家們當作“細節(jié)決定成敗”的理論信條；在娛樂圈，《蝴蝶效應》也多次作為科幻電影出現(xiàn)在熒幕上，留給觀眾熱烈的討論。 愛德華?羅倫茲 以訛傳訛的蝴蝶效應 那么蝴蝶效應到底是什么呢？或許多數(shù)讀者都聽說過這么一個比喻：“一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國得克薩斯州的一場龍卷風”。這個比喻的目的是想告訴我們，任何一個看似微不足道的變化都可能引發(fā)巨大的連鎖反應。 事實上上面這個廣為流傳的比喻有諸多不合理之處。當小編第一次看到這個解釋的時候一直心生疑惑，既然蝴蝶在美國的地位并沒有在中國那么高，那么為什么一定要用“蝴蝶效應”來描述這個現(xiàn)象，為什么不是螞蟻效應、蜻蜓效應呢？既然蝴蝶拍拍翅膀就能引發(fā)龍卷風，那小編趴地上做幾個俯臥撐，只怕會引起美洲大陸和歐亞大陸碰撞了。 很顯然，“蝴蝶效應”的原本解釋具有誤導性 既然我們所經(jīng)常聽說的解釋不那么正確，但“蝴蝶效應”這個詞又的確是由羅倫茲本人本人創(chuàng)造的。那么羅倫茲到底是怎么想的呢？我們來看看他的這篇論文到底說了什么[1]。 奇異吸引子（Strange Attractor）——非線性系統(tǒng)的一大杰作 盡管論文[1]研究的是天氣系統(tǒng)的變化，并且發(fā)表在了大氣科學年刊上，但這篇文章的靈魂其實是一個三元一階常微分方程組： 有微分方程基礎的讀者都知道，這看起來是一個很簡單的方程組，怎么會有這么大的名氣呢？我們先暫時不關心x，y，z具體表示什么，先看看當=28時，上述方程數(shù)值模擬的結果： x,y,z的三維圖，是不是有幾分像蝴蝶？ 所以，這才是羅倫茲命名“蝴蝶效應”的真實原因。 不過這么一幅蝴蝶般絢爛的模擬圖，似乎應該是藝術家們的寵兒，這又是如何同神秘莫測的混沌理論拉幫結伙的呢？事實上只要我們把初始條件稍微修改一點點，我們立馬就得到了完全不同的模擬結果（代碼可參見[10]，小編用了Java中的StdDraw包）： 橫縱軸分別是x和z，很像兩只蝴蝶的相伴相隨 “差之毫厘，謬以千里”，古人的智慧在數(shù)學方程式中得到驗證，這大概也算是不同思想之間穿越時空的不謀而合了。 分歧理論——混沌理論的命根子 小編在《世界到底是不是確定的？》（傳送門）中提到過，所謂“混沌”就是《周易》中的“無極”狀態(tài)，是混亂和不可預知的代名詞。那么如此簡單的方程組，為什么就具有不可預知的特性呢？答案：方程右邊的非線性特性。 如果我們令v表示三維向量，v=(x,y,z)，那么我們可以把這個方程分解成線形和非線性兩個部分： 一個線性微分方程組（又稱為線性系統(tǒng)）的解是否穩(wěn)定，也就是能否得到收斂解，完全依賴于矩陣A的特征值大小。若A的特征值的實部（特征值有可能是復數(shù)）全都小于零，那么這個方程一定是穩(wěn)定的（至少局部穩(wěn)定）。例如一維情況，v' (t)= -v(t)的解是v(t) = C*exp(-t)，當t無限大時，v收斂到0這一點，所以是穩(wěn)定的；一顆老鼠屎打壞一鍋粥，只要有一個特征值的實部大于零，那么很不幸，這個方程的解就只好發(fā)散了。 但若A的某個特征值實部為零，情況就復雜了。數(shù)學上甚至有一個專門的分支來研究這種情況，這個分支就是所謂的分歧理論（Bifurcation Theory）。分歧理論將凝聚態(tài)物理、多體問題、自發(fā)性對稱缺失、微分方程、微分流形、微分拓撲、群表示論、氣候變化等眾多前沿領域貫穿成一個整體，是現(xiàn)代數(shù)學的一大研究核心。文獻[4]、[5]、[6]和[7]分別通過方程（主要基于朗道的平均場和序參數(shù)理論）、幾何（用流形手段研究哈密頓動力系統(tǒng)）、代數(shù)（用群表示論研究解的對稱性）和拓撲（用拓撲度理論研究解的宏觀結構）四種不同觀點看待分歧理論，充分體現(xiàn)了這一領域的多樣性，供不同背景和有興趣的讀者參考。 通過簡單計算可以發(fā)現(xiàn)，若在羅倫茲的方程中取=1，那么A的有一個特征值λ1正好等于零（因此實部也是零），其他兩個特征值λ2、λ3都小于零。更為奇妙的是，若在=1附近變化，λ1的符號也會隨著變化。就好比婚后家庭的財產(chǎn)穩(wěn)定性多半掌握在老婆手上，在1附近的波動從而決定了整個方程的穩(wěn)定性，所以=1稱之為方程的分歧點（Bifurcation Point）。 從這個角度看來，分歧點無非就是使方程穩(wěn)定性發(fā)生變化的模型參數(shù)值，而分歧理論的主要目的，就是研究分歧點的性質(zhì)。盡管文獻[4]-[7]研究分歧理論的手段各不相同，但上述宗旨始終不變。 經(jīng)過簡單的計算我們可以發(fā)現(xiàn)，當<1時， v=(0,0,0)是唯一的穩(wěn)定解；當>1， v=(0,0,0)盡管也是解，但不再穩(wěn)定，與此同時出現(xiàn)了兩個新的穩(wěn)定解。不穩(wěn)定解的個數(shù)一分為二，這就是分歧，更準確地講叫做次臨界分歧（Subcritical Bifurcation）。用勢能的觀點能更好理解這一點（把A()想像成一個和有關的勢能函數(shù)）： 有了次臨界，自然也有超臨界分歧。讀者們也許可以猜到，超臨界和次臨界是一對相反的分歧變換：
在數(shù)學家眼里，分歧圖像則是這樣的（以超臨界分歧為例）：
三叉戟分歧 這看起來很像三叉戟，所以上面兩種分歧又稱為三叉戟分歧（Pitchfork Bifurcation）。以此類推，我們甚至還可以定義四叉戟、五叉戟分歧等。不過數(shù)學家們只喜歡考慮最基本的情形，命名的任務就交給語言專家去完成吧。 混沌是怎么產(chǎn)生的？ 事實上三叉戟分歧只是分歧點的一種類型?？茖W家們最感興趣的分歧點類型，叫做霍普夫分歧（Hopf Bifurcation）。 讀者們先不要被這個高大上的外國名字嚇到了。作為分歧點的一種，霍普夫分歧歸根結底還是由于方程參數(shù)變化引起的矩陣特征值變化，只不過從圖像上看來，方程的解從一點變成了一個周期解（又叫做極限環(huán)）[8]：
隨著參數(shù)變化，藍色的極限環(huán)（周期解）出現(xiàn)又消失，潮起又潮落 和線性方程不同，由于一般情況下非線性方程會有不同的解（例如一元二次方程一般有兩個解），每一個解都可能發(fā)生分歧現(xiàn)象。而大部分混沌的出現(xiàn)都是由于非線性方程不同解在同一參數(shù)下發(fā)生霍普夫分歧。這便是非線性系統(tǒng)復雜性的一個根本原因。 例如對于羅倫茲方程而言，當從=1（次臨界分歧點）增加到=470/19的過程中，方程的幾個解會同時多次發(fā)生霍普夫分歧產(chǎn)生極限環(huán)，隨后極限環(huán)又消失。這個三維系統(tǒng)的周期性反反復復，于是就產(chǎn)生了第二部分中的奇特景象。關于具體的理論分析，文獻[3]給出了非常精彩而詳細的證明（文獻[3]是小編見過的最全面的一本偏微分方程專著，前面五章都需要極強的數(shù)學基礎。若只想了解羅倫茲奇異吸引子的產(chǎn)生原因，可以直接跳至第六章）。文獻[9]是相對早期的推導，但不及文獻[3]深刻。 值得注意的是，羅倫茲的方程是從流體力學中的納維?斯托克斯方程（Navier Stokes Equation）的一個變種簡化出來的。原方程如下所示：
看似復雜的方程實際上就是動量、能量和質(zhì)量三個守恒定律 羅倫茲方程中的x,y,z分量，其實是把上面方程化成極坐標以后，根據(jù)大氣環(huán)流周期性而確定的一種振幅[3]。如此簡單的羅倫茲方程已經(jīng)展現(xiàn)出了內(nèi)在的復雜性，而原來納維?斯托克斯方程的復雜性則更是可見一斑。這就是為什么納維?斯托克斯方程在工科和數(shù)學領域都如此受關注的原因。 化混沌為清流 本文介紹的羅倫茲方程只是混沌理論的一個簡單例子。很多很多其他例子，例如chua電路[11]、SEIR傳染病模型（例如麻疹）[12]和破壞熵增原理的Belousov–Zhabotinskii化學反應[13]等等，在數(shù)學模型上和羅倫茲系統(tǒng)非常相似，都是三元非線性方程，這些內(nèi)容會在以后繼續(xù)介紹。另外，如果方程只是二元的，那么著名的龐加萊-本迪克松定理（Poincare-Bendixson Theorem）保證此時不會有混沌現(xiàn)象的發(fā)生。這就是為什么三體系統(tǒng)會產(chǎn)生混沌，但二元系統(tǒng)則不會。
通過哈密頓動力學得到的三體問題的方程描述 混沌理論是研究復雜性的學科，這名字看起來似乎就容易讓人敬而遠之。但通過本文的介紹，希望讀者們都對混沌理論的核心思想有了大概的認識。一言以蔽之，混沌理論的基礎是分歧理論，而分歧理論的研究中心是方程解的穩(wěn)定性是如何發(fā)生改變的，其數(shù)學本質(zhì)是方程參數(shù)變化誘使矩陣特征值的符號發(fā)生變化。 科學發(fā)展到今天，一方面新的分支在不斷出現(xiàn)，另一方面不同分支之間交流之間相互交融，這一點像極了羅倫茲混沌的產(chǎn)生過程——霍普夫分歧不斷出現(xiàn)與交互賦予了它蝴蝶般的神秘色彩。不過萬物皆有根，就好比混沌理論的“根”棲息于矩陣特征值中一樣，如果我們能找到不同分支的共同“根”，這將非常有助于對現(xiàn)代科學的全面理解。 作為結尾，送大家詩一首： 混沌尋根
文：楊夕歌 來自：科普最前線（kpzqxyxg） |
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