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一、相關定義 拓撲空間的定義如下： 定義1. 設X是一非空集合，X的一個子集族稱為X的一個拓撲，如果它滿足： ?。?）都包含在中 ?。?）中任意多個成員的并集仍在中 （3）中有限多個成員的交集仍在中 度量空間的定義如下： 定義2. 集合X上的一個度量是一個映射：,它滿足 ?。?）正定性. , ,, 當 ?。?）對稱性. , （3）三角不等式. , 當集合X上規(guī)定了一個度量后，稱為度量空間。從相關定義中看出，若將度量空間中的開子集取作球形鄰域，則拓撲空間是度量空間的推廣。常見的度量空間有下面的一些例子: 例1：歐氏空間賦予距離拓撲后為度量空間。 例2：空間X賦予如下度量：，則X為度量空間。 例3：對實數上的閉區(qū)間上連續(xù)函數空間，我們可以賦予如下最大模范數誘導的度量，即任意兩個連續(xù)函數的的距離為這兩函數差的最大模，同樣對于可導函數，光滑函數都有類似的定義。 例4：在辛幾何中，在哈密頓微分同胚群中Hofer曾定義了如下度量： 從其誘導的范數稱為Hofer范數，該范數是研究辛拓撲、辛嵌入的強有力武器。 二、相關性質 度量空間中許多性質都發(fā)源于歐氏空間，它們滿足、、、分離公理與、可數公理，但有許多性質到拓撲空間就不再保持。例如可分性就不再保持。 命題1：可分度量空間的子空間也是可分的。 證明:不妨假設X是可分的度量空間，A是X的子空間，B為X的可數稠密子集。下面證明為A的可數稠密子集。 首先證明為A的可數子集。因為B為可數子集，可數集的子集仍為可數集，所以為A的可數子集。 其次證明為A的稠密子集，此時需要在子空間拓撲下討論，即需證明A中任何開集與的交不空，由子空間拓撲定義，A中開集u為X中開集P與A的交，即.又因為B為X的稠密子集，即X的任何開集與B的交非空。所以，從而得證。 但可分拓撲空間的子空間一般是不可分的，例子參見[1]。 仍有許多例子在度量空間中部成立，但在拓撲空間中是成立的。比如在拓撲空間X中，序列，一般推不出，但在可余拓撲空間中，我們有如下命題： 命題2：在實數空間R中賦予如下的余可數拓撲，，若有序列，則當n充分大時。 證明：在上，序列意味著對X 的任意鄰域u，當n充分大時，都在u中，而中的開集為可數集的余集。故我們取U=，此U為包含x的開鄰域,但U中不含，此與矛盾。故當n充分大時。 命題3：f為拓撲空間到實數的連續(xù)映射，其中，則f為常值映射。 證明：假設f不是常值映射，即有實數c,d且和x,y有如下式子，。我們取c,d的鄰域u,v使得u,v均為開集且互不相交。因為f為連續(xù)映射，所以開集的逆像為開集，記u,v的逆像集為p,q。由拓撲的定義知且p,q有交集矛盾。 三、結語 度量空間和拓撲空間是現代數學的基石，特別是現代微分幾何與現代微分方程的發(fā)展度量空間的相關理論已經不能滿足其需要，像在辛幾何與切觸微分幾何中如何定義度量是一個非常棘手的問題。區(qū)分度量空間和拓撲空間具有非常顯示的意義。 |
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