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概率論 各種分布及其期望、方差、分布函數(shù)
(0-1)分布
p(X=k)=pk(1?p)1?k,k=0,1
E(X)=p
D(X)=p(1-p)
二項(xiàng)分布 X~b(n,p)
p(X=k)=Cknpk(1?p)n?k
E(X)=np
D(X)=np(1-p)
泊松分布 X~π(λ)
p(X=k)=λke?λk!
E(X)=λ
D(X)=λ
均勻分布 X~U(a,b)
f(x)={1b?a,0,a<x<belseE(X)=a+b2D(X)=(b?a)212F(X)=?????0,x?ab?a,1,x<aa≤x<bx≥b
指數(shù)分布
f(x)={1θe?xθ,0,x>0elseE(X)=θD(X)=θ2F(X)={1?e?xθ,0,x>0else
正態(tài)/高斯分布 X~N(μ,σ2)
E(X)=μ
D(X)=σ2
F(X)=P(X≤x)=?(x?μσ)
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χ2分布 χ2~χ2(n)
Xi~N(0,1)n:自由度χ2=∑i=1nX2iE(χ2)=nD(χ2)=2nχ21+χ22~χ2(n1+n2)
t分布 t~t(n)
X~N(0,1)Y~χ2(n)t=XYn??√
F分布 F~F(n1,n2)
U~χ2(n1)V~χ2(n2)F=U/n1V/n2
正態(tài)總體的樣本均值Xˉ與樣本方差S2的分布
E(Xˉ)=μD(Xˉ)=σ2nE(S2)=E[1n?1(∑i=1nX2i?nXˉ2)]=1n?1[∑i=1nE(X2i)?nE(Xˉ2)]=1n?1[∑i=1n(σ2+μ2)?n(σ2n+μ2)]=σ2
Xi來(lái)自N(μ,σ2),則
Xˉ~N(μ,σ2n)(n?1)S2σ2~χ2(n?1)Xˉ與S2相互獨(dú)立Xˉ?μS/n??√~t(n?1)
單個(gè)總體N(
μ.σ2)置信區(qū)間
(Xˉ±Sn??√tα/2(n?1))
兩個(gè)總體N(μ1.σ21),N(μ2.σ22)的μ1?μ2置信水平1?α的置信區(qū)間
(Xˉ?Yˉ±tα/2(n1+n2?2)Sω1n1+1n2????????√)S2ω=(n1?1)S21+(n2?1)S22n1+n2?2,Sω=Sω2???√