從旋轉和軸對稱兩個方向突破線段和最值問題

幾條線段和的最值問題，一直作為武漢地區(qū)數(shù)學題的特色，思維有難度，是選擇題或填空題的壓軸戲。而解決此類問題的基礎，不外乎兩條定理：兩點之間線段最短，垂線段最短。那么無論哪種方法，最終都要將線段和轉換成一條線段或一條垂線段。正好在某道填空題中，這兩種方法都能成功解決，所采用的轉換方法則是旋轉變換和軸對稱變換。

題目

如圖，△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，P是底邊上的高AH上一點，若AP+BP+CP的最小值為2√2，則BC=________

解析：

此題不走尋常路，告訴了線段和的最小值，反過來求其中一條邊長。但無論路是否尋常，若找不到使線段和最小的點P位置，那都是死路。

(1)旋轉法

使此法，通常選擇的旋轉角是60°，好處是構造出等邊三角形，我們將△APC繞點A逆時針旋轉60°，如下圖：

△APP'是等邊三角形，于是我們完成了如下轉換，AP=PP'，PC=P'C'，原三條線段BP+CP+AP=BP+PP'+P'C'，即圖中紅色加粗線條，它們何時和最小？利用兩點之間線段最短，可知最短時，正好處于線段BC'上，即線段BC'的長度為2√2.

接下來，觀察△ABC'，它是一個等腰直角三角形，∠BAP=∠P'AC'=15°，加中間60°，正好90°，于是得到AB=2，然后我們可以在△ABC中利用∠BAC=30°來求底邊BC了，作腰上的高，如下圖：

旋轉容易，最后求BC時，二次根式的化簡是真要人命，卡在這一步的大有人在，畢竟這種二次根式的復雜程度已經(jīng)超過教材要求。

有沒有計算上稍簡單的方法呢？我們換個方向來思考。

(2)軸對稱法

由于點P在AH上，因此我們將AH沿某條腰對稱，得到下圖：

AH關于AC的對稱線為AE，過點P作PD⊥AE于點D，下面開始轉換，在Rt△ADP中，∠PAD=2∠PAC=30°，因此AP=2DP，而BP=CP，于是BP+CP=2BP，即DP+BP始終為AP+BP+CP的一半，DP+BP何時最??？觀察圖中紅色加粗線段，利用垂線段最短，可知它們位于線段BE上時最短，此時DP+BP=√2=BE，而△ABE是一個等腰直角三角形，于是同樣可求得AB=2.

我們可簡單計算一下∠FBC的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)它正好也等于30°，于是在Rt△BFH中，我們設FH為x，BH為√3x，在Rt△ABH中利用勾股定理列方程可得結果，如下圖：

解題反思：

每次遇到這樣的思維障礙，突破無果之后，需要記下失敗原因，當老師進行點評講解的時候，要重點聽是如何突破的，自己在當時缺少了哪個環(huán)節(jié)的思考，只有這樣循序漸進，才能不斷提升自己的數(shù)學解題能力。