導(dǎo)言：

    當(dāng)方程中未知數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多時，我們就稱這樣的方程為不定方程。比如：3x-4y=6，方程只一個，但未知數(shù)卻有兩個，這就是不定方程。古希臘著名數(shù)學(xué)家丟番圖曾在其著作《算術(shù)》中介紹過關(guān)于不定方程，所以不定方程又叫丟番圖方程。

   很明顯，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有無數(shù)個，不定方程的解往往有無數(shù)個。我們這里介紹的不定方程，一般都會有條件限制，比如說上述不定方程中的x、y只能是自然數(shù)，這樣我們可以根據(jù)限制的條件來求出不定方程的解。所以，解答這類方程，一定要找出題中明顯或隱含的限制條件。

   同時，我們這里介紹不定方程，最主要是介紹不定方程在解答應(yīng)用題方面的作用。

例1．       求不定方程7x+11y=276的自然數(shù)解

解析：題中不定方程的限制條件就是x、y都是自然數(shù)

      將不定方程7x+11y=276變形為x=（276-11y）÷7

      由于x、y都是自然數(shù)，說明276-11y應(yīng)該是7的倍數(shù)，

      y可以從最小的自然數(shù)1開始試驗

      經(jīng)過試驗，y可取6、13、20

      相對應(yīng)，x=30、19、8

   在解不定方程時，可將原方程變形，變?yōu)橐粋€未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)題中的限制條件，尋找合適的解。

   例2．大客車有48個座位，小客車有30個座位?，F(xiàn)有306名旅客，要使每個旅客都有座位而且車上無空位，需要大、小客車各多少輛？

解析：方法（一）列舉法

通過畫表列舉的方法，一一嘗試，最終把答案找出來。

方法（二）假設(shè)法

  假設(shè)全部用小客車，需要10輛，另空出6個座位

由于題目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是換幾輛小客車挪出的空位正好能換成大客車，即是48的倍數(shù)。經(jīng)過嘗試，退出3輛小客車，就有3×30+6=96人沒座位，正好可乘兩輛大客車。

  所以，需要大客車2輛，小客車7輛

方法（三）不定方程

     由于旅客人數(shù)、車輛數(shù)都是自然數(shù)，所以我們可以列出符合題意的不定方程，并求出它的自然數(shù)解。

設(shè)需要大客車x輛，小客車y輛

則  48x+30y=306   即  8x+5y=51

Y=（51-8x）÷5

由于y是自然數(shù)，所以51-8x應(yīng)該是5的倍數(shù)

我們不難找出：x=2；y=7

（另注：在解這個不定方程時，我們還可以從奇偶數(shù)的角度來解

8x是一個偶數(shù)，51是個奇數(shù)，那么5y肯定是個奇數(shù)。那么5y的個位數(shù)字一定是5，由于和是51，可見8x的個位數(shù)字一定是6，即x=2或7，把它代入不定方程中，很容易得出：x=2；y=7）

   例3．學(xué)校里共有12間宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，問中、小宿舍共有多少間？

解析：設(shè)中宿舍x間，小宿舍y間，那么大宿舍就有（12-x-y）間

則   8（12-x-y）+7x+5y=80

即        x+3y=16

解得：y=1、x=13或y=2、x=10或y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1

由于總的宿舍間數(shù)是12間，所以前兩種答案不符題意。

即  y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1

    例4．某地水費，不超過10噸時，每噸0.45元;超過10噸的,超過部分按每噸0.80元收費;張家比李家多交水費3.30元,如果兩家的用水量都是整數(shù)噸,問張家和李家各交水費多少元?(兩家所用水量均為整數(shù)噸)

   解析:為了便于理解,題中所有單位為元的數(shù)字全部轉(zhuǎn)化成以分為單位,這樣就沒有小數(shù)了

     由于張家比李家多交水費330分,而330分既不是45的整數(shù)倍,也不是80的整數(shù)倍,說明一定是張家的用水量超過10噸,而李家的用水量不到10噸.

   設(shè)張家用水x噸,李家用水y噸,且x>10,y<10,x,y均為自然數(shù)

則   (x-10)×80+10×45-45y=330

即   16x-9y=136

     X=(136+9y)/16=8+(8+9y)/16

   Y可取1、2、3、、、、9，經(jīng)嘗試，只有y=8時，x才是整數(shù)，x=13

 所以，張家交水費：10×45+3×80=690（分）=6.9元

       李家交水費:6.9-3.3=3.6元

    例5.今年,祖父的年齡是小明的6倍,幾年后,祖父的年齡將是小明的5倍.又過幾年后,祖父的年齡是小明的4倍.求祖父今年多少歲?

   解析:這是一道有難度的年齡問題.題中除了兩人的年齡的倍數(shù)關(guān)系,其余一概未知.

設(shè)小明今年x歲,祖父今年就是6x歲,y年后,祖父的年齡是小明的5倍

則  5(x+y)=6x+y    即  x=4y

又設(shè)m年后,祖父的年齡是小明的4倍,

則  4(x+y+m)=6x+y+m  即  2x=3y+3m

    把x=4y代入2x=3y+3m,

得 8y=3y+3m    即5y=3m   y=(3/5)m

由于y是整數(shù),所以  m=5、10、15、20、、、

可算出            y=3、6、9、12、、、、

那么              x=12、24、36、48、、、

那祖父的年齡就是    72、144、、、、

很明顯，只有當(dāng)m=5，y=3，x=12時，祖父的年齡是72歲才符合實際。

     在解不定方程時，如果能合理運用以下幾個技巧，可以大大提高解題速度。

  （1）系數(shù)上的考慮

    如例1，7x+11y=276，我們有兩種解法，一是變形為：x=（276-11y）÷7；二是變形為：y=（276-7 x）÷11。我們對照下這兩種解法中的取值情況。第一種：Y有0---25種取值可能；而第二種X有39種取值可能，很明顯，第一種解法比第二種解法相對來說速度會更快些。

    但我們換個角度，由于X、Y都是自然數(shù)，由上述兩種變形可知，X應(yīng)是7的倍數(shù)，Y應(yīng)是11的倍數(shù)，而1---276中7的倍數(shù)有39個，11的倍數(shù)有25個，那么，很明顯，從倍數(shù)上考慮，第二種解法比第一種解法相對來說速度更快些。所以，在解不定方程時，一定要注意未知數(shù)前面的系數(shù)，選擇恰當(dāng)?shù)淖冃蝸斫獠欢ǚ匠獭?/font>