|
剛找的時(shí)候，網(wǎng)上很多人推薦同濟(jì)大學(xué)的那本高等數(shù)學(xué)書，說是好多學(xué)校都在用，又因?yàn)橥瑵?jì)大學(xué)在國內(nèi)也算是名牌，基于這兩個(gè)因素我就開始用它來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，但是跟著這本書學(xué)了一段時(shí)間后，我經(jīng)常會(huì)就課本上的內(nèi)容問一些更深入的問題，也就是說這本書對于我來說在一些細(xì)節(jié)上沒有進(jìn)行深入，或在一些內(nèi)容的講解上不夠徹底，當(dāng)我老是帶著這類問題去請教別人的時(shí)候，有人就建議說：如果我想好好學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的話那么就不要在高等數(shù)學(xué)上浪費(fèi)時(shí)間，去看數(shù)學(xué)分析的書，因?yàn)閿?shù)學(xué)分析的書講得更全面、更透徹，就這樣我告別了同濟(jì)大學(xué)的高數(shù)書（這本書估計(jì)還是不太好，其不足之處這里的討論也很有道理），接下來的任務(wù)就是去找一本好一點(diǎn)數(shù)學(xué)分析教材（后文我還會(huì)推薦高數(shù)學(xué)習(xí)用書，別走開）。 我在網(wǎng)上看了好多數(shù)學(xué)分析教材推薦的帖子，綜合這些帖子里各本書被提及的頻繁程度、網(wǎng)友的好評度還有作者的名氣，我羅列了如下一個(gè)供選擇的書單：
每本我大體上都看過一下，但最終未能看完其中任何一本的四分之一，究其原因，一是這些書基本上都講得太詳細(xì)了，里面涉及數(shù)學(xué)分析的各種細(xì)枝末節(jié)，概念和內(nèi)容都比較多，并且還有好多證明，這些內(nèi)容理解掌握起來并不是很容易，在用這些書的學(xué)習(xí)過程中我經(jīng)常碰到理解不了或者要花很長時(shí)間才能解決的問題，比如說一開始除了要弄清楚為什么要學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)基本理論這個(gè)大問題外，每個(gè)人都不得不面對的另外一大阻礙是對極限的 (ε, δ)定義的理解，這個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限定義一下子就把原本看似簡單直觀好理解的極限概念變得面目全非、不知所云起來，不花一番大功夫是很難理解這種表述的意義的。我嘗試過對這個(gè)極限定義的囫圇吞棗——能用所謂的(ε, δ)語言證明極限，但是每當(dāng)這樣做的時(shí)候我心中還是沒有多少底氣，也不知道自己在干什么，即便是硬著頭皮往后學(xué)，但對該定義的不理解始終讓我耿耿于懷。對于一個(gè)初學(xué)者來說，若不花長時(shí)間和下苦功夫是很難徹底搞懂這些內(nèi)容的。用這些書學(xué)起來太慢，也比較困難，以至于時(shí)常給我?guī)韺W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的挫敗感，所以最終我未能用這些書堅(jiān)持學(xué)下去。我差不多有過三次用這些書屢學(xué)屢敗的高數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，后來我認(rèn)識(shí)到這些寫得較為全面詳細(xì)的書基本上是不適于初學(xué)者用來自學(xué)的，原因且看下文。 在懷著高數(shù)難學(xué)的挫敗感停滯學(xué)習(xí)一段時(shí)間后，我發(fā)現(xiàn)了美國俄亥俄州立大學(xué)的Calculus One課程，它算是高數(shù)的入門課，課程里不講讓很多人不知所云的極限 (ε, δ)定義，而是用直觀易理解的方式講解了高數(shù)里的基本概念和原理，我一開始對這種減去嚴(yán)謹(jǐn)極限定義的教學(xué)方式也是有點(diǎn)不放心，但想著老美總有自己的教學(xué)理念和想法，況且還是美國名校出的課程，所以就暫時(shí)放下了這種糾結(jié)跟著課程走。在學(xué)了三四個(gè)單元之后我發(fā)現(xiàn)跟著這個(gè)課程可以把高數(shù)學(xué)下去了！好高興！終于沒有再出現(xiàn)屢學(xué)屢敗的高數(shù)學(xué)習(xí)狀況了！就這樣我的高數(shù)學(xué)習(xí)信心又慢慢地建立起來了！“每個(gè)教學(xué)視頻的開頭和結(jié)尾帶感的音樂、極其富有激情的講師、簡單直觀的講解方式”——這一切讓我漸漸地喜歡上了這個(gè)課程。在完成了這個(gè)課程三分之二內(nèi)容后，我在該課程的學(xué)習(xí)中碰到了一個(gè)邁不過去的問題，我開始放下這個(gè)課程去思考這個(gè)問題，同時(shí)也去思考高數(shù)和數(shù)學(xué)里的一些基本問題，如公理、實(shí)數(shù)理論等。 當(dāng)我們在用一本書（或跟一門課）學(xué)習(xí)的時(shí)候，基本上不可能不在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生疑問，除去我們自己的原因之外，也有書本的原因：正如人無完人一樣，沒有哪一本書是完美無瑕的，以至于能解決你在該科目學(xué)習(xí)過程中的所有問題，所以我強(qiáng)烈建議自學(xué)者除了選一本較好的教材作為學(xué)習(xí)主軸后也要再多找?guī)妆就惤滩淖鲄⒖紩?，以便一本書上的知識(shí)點(diǎn)講解看不懂的時(shí)候可以看另一本上的來打開思路。若看書也不能解決問題，那么還可以把你的數(shù)學(xué)問題用英文寫了發(fā)在Mathematics Stack Exchange這個(gè)網(wǎng)絡(luò)社區(qū)里問一問，老外們樂于助人的品質(zhì)、對數(shù)學(xué)的熱情、認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度都很感染我——向他們學(xué)習(xí)！順便一提：中學(xué)時(shí)期看不懂教材我們可以買很多參考書來看，但到大學(xué)來想找本參考書就不太容易了，原因之一我想是高等教育領(lǐng)域的應(yīng)試教育市場經(jīng)濟(jì)不夠繁榮所致。 再回來說Calculus One這個(gè)課程，它是很不錯(cuò)的入門課，可以把初學(xué)者領(lǐng)進(jìn)高數(shù)學(xué)習(xí)的大門。該課程不講極限的 (ε, δ)定義極有可能是考慮到了該課程的受眾——高數(shù)初學(xué)者，相反如果一開始就帶初學(xué)者去折騰實(shí)數(shù)基本理論和這個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限定義，那么正如你我認(rèn)識(shí)到的那樣，這很大程度上會(huì)給初學(xué)者帶來高數(shù)學(xué)習(xí)的挫敗感和畏難情緒，我在高數(shù)自學(xué)過程中就走過這條坎坷路，也還好找到了這個(gè)課程，從此終于可以把高數(shù)學(xué)下去！后來我又了解到：即便是國外名校的數(shù)學(xué)系課程也基本上是先開這種入門課，課程名通常是Calculus（微積分，相當(dāng)于國內(nèi)的“高等數(shù)學(xué)”），甚至還會(huì)有更基礎(chǔ)、更簡單的微積分先修課程PreCalculus，等學(xué)生掌握了基礎(chǔ)課程后才會(huì)開數(shù)學(xué)分析之類的深度課程。這種循序漸進(jìn)、由易到難的安排有效降低了高數(shù)學(xué)習(xí)的難度，也體現(xiàn)了一種對新手的關(guān)懷。在這里我摘錄美國幾所大學(xué)的高數(shù)入門和深入課程的先后順序給大家看下（課號大的課都是安排在后面上的）： 斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)系
普林斯頓數(shù)學(xué)系
麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系
國內(nèi)高數(shù)教學(xué)又是怎樣的狀況？！在此我不想多抱怨，只是認(rèn)識(shí)到：在國內(nèi)如果想要學(xué)好高等數(shù)學(xué)的話，“自學(xué)”應(yīng)該是絕大多數(shù)人的不二之選。 對于一個(gè)想要學(xué)習(xí)高數(shù)的人來說，首先應(yīng)該弄清楚的是自己的角色——初學(xué)者。在我看來，高數(shù)初學(xué)者一開始不用學(xué)得那么全面，甚至不用去管極限的 (ε, δ)定義，而是要先觀其大略地過它一遍、先入門，這并非是走馬觀花，而是要理解核心思想、掌握主干，等掌握了大略之后再深入細(xì)節(jié)會(huì)輕松很多，這樣才不會(huì)一開始學(xué)就被各種細(xì)枝末節(jié)繞得云里霧里的以至于不能對這門學(xué)科有全局的把握，我們要有的是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程！北京大學(xué)的張筑生教授也在其《數(shù)學(xué)分析新講》的序言里表達(dá)了同樣的觀點(diǎn)：“微積分本來是一件完整的藝術(shù)杰作，現(xiàn)在卻被拆成碎片，對每一細(xì)部進(jìn)行詳盡的、瑣細(xì)的考察。每一細(xì)節(jié)都弄得很清楚了，完整的藝術(shù)形象卻消失了。今日的初學(xué)者在很長一段時(shí)間里只見樹木不見森林……我們希望盡可能早一點(diǎn)讓初學(xué)者對分析的全貌有一個(gè)輪廓的印象，盡可能早一點(diǎn)讓初學(xué)者學(xué)會(huì)用分析的方法去解決問題……等到學(xué)生對全貌有了初步的印象之后，再具體進(jìn)行涉及細(xì)節(jié)的討論……”（題外話：雖然張老師在寫他這本教材的時(shí)候也有了這種考量，但這本書在我看來還是寫得過于詳細(xì)繁瑣了些）這種先觀大略的學(xué)習(xí)方法也適合其他科目的學(xué)習(xí)，《斯坦福大學(xué)公開課：編程方法學(xué)》里也提到過這種方法 “工欲善其事，必先利其器”，為了做到高數(shù)學(xué)習(xí)上面的“先觀大略”，我推薦的入門教材是Morris Kline的 Calculus: An Intuitive and Physical Approach (Second Edition)，這本書可說就是為此而生的——各位讀完該書的第二版序言（PREFACE TO THE FIRST EDITION）后便知，我推薦每個(gè)想要學(xué)好高數(shù)的人都去看看這個(gè)序言，大有裨益！下面我轉(zhuǎn)述序言中幾個(gè)可能會(huì)對大家學(xué)習(xí)有幫助的觀點(diǎn)。 微積分入門課的教學(xué)有嚴(yán)謹(jǐn)和直觀兩種方式，Morris Kline認(rèn)為應(yīng)該采用直觀的方式進(jìn)行，并且在教學(xué)中應(yīng)該多談其應(yīng)用，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞竭m合于微積分的高階課程。入門課就用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞剑ㄎ艺J(rèn)為這是當(dāng)今國內(nèi)的普遍做法）有以下幾種弊端：其一，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞揭蟪鯇W(xué)者學(xué)習(xí)很多微妙、難以捉摸的概念，這對初學(xué)者來說是很有難度的，更何況有些概念的提出還曾困擾了數(shù)學(xué)家兩百年之久。在那個(gè)為微積分建立嚴(yán)謹(jǐn)基礎(chǔ)的時(shí)代里，即便是柯西（Cauchy）這樣的大數(shù)學(xué)家也搞混了連續(xù)和可導(dǎo)（continuity and differentiability）、收斂和一致收斂（convergence and uniform convergence）間的區(qū)別。其二，如果一個(gè)學(xué)生要學(xué)懂一個(gè)概念或定理的嚴(yán)謹(jǐn)化表述，那么在這之前他必須知道這種嚴(yán)謹(jǐn)化表述所要傳達(dá)的思想的雛形是什么、起始時(shí)的直觀思想是什么（這就很可能需要去看相關(guān)的數(shù)學(xué)史，順便一提：看數(shù)學(xué)史對我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是非常有幫助的），進(jìn)而才可能理解嚴(yán)謹(jǐn)化表述的意義——嚴(yán)謹(jǐn)化表述為什么能夠避免直觀化表達(dá)的不足、嚴(yán)謹(jǐn)化表述所要得到的是什么樣的結(jié)果和傳達(dá)什么樣的思想，這就勢必會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)量，而一個(gè)初學(xué)者若要循此道學(xué)習(xí)，那么他要學(xué)習(xí)的內(nèi)容將會(huì)是非常龐大的，以至于可想而知的是他的學(xué)習(xí)進(jìn)度會(huì)很慢，他也極有可能會(huì)陷入這門學(xué)科的細(xì)枝末節(jié)中糾纏不清，進(jìn)而看不清這門學(xué)科的全貌；其三，讓初學(xué)者一開始就學(xué)習(xí)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)化整理出來的內(nèi)容會(huì)讓他們看不到知識(shí)的產(chǎn)生過程，也容易讓他們以為：“高等數(shù)學(xué)是推導(dǎo)出來的，建立這門學(xué)科的每一步都是有根有據(jù)、正確無疑的，好的數(shù)學(xué)家的思考方式也是一步一步走的、在出結(jié)論之前所有的細(xì)節(jié)都已經(jīng)縝密地處理好”，但實(shí)際上并非都如此，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生也是可以通過“認(rèn)識(shí)到之前的做法有問題，然后再改正”來產(chǎn)生的， “微積分這座大廈是從上往下施工建造起來的。微積分誕生之初就顯示了強(qiáng)大的威力，解決了許多過去認(rèn)為是高不可攀的困難問題，取得了輝煌的勝利。創(chuàng)始微積分的大師們著眼于發(fā)展強(qiáng)有力的方法，解決各式各樣的問題。他們沒有來得及為這門新學(xué)科建立起經(jīng)得起推敲的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。在以后的發(fā)展中，后繼者才對邏輯的細(xì)節(jié)作了逐一的修補(bǔ)”（選自張筑生《數(shù)學(xué)分析新講》的序言），也就是說數(shù)學(xué)家的思維方式并非總是循序漸進(jìn)的，他們的思維方式也可以是跳躍性的、天馬行空的，也有可能不嚴(yán)謹(jǐn)或出錯(cuò)，并非像寫證明過程那樣非常講究每個(gè)點(diǎn)的先后順序、是一步一步走到最終結(jié)論的，有時(shí)候甚至是先有“猜想”然后才去求證中間過程的。Morris Kline在他這本書中也通過展示數(shù)學(xué)理論是可以通過先猜想，然后嘗試和摸索，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到犯錯(cuò)了，然后再更正的方式探索出來的，這種做法我認(rèn)為很有價(jià)值，因?yàn)樗虺鯇W(xué)者完整地揭示數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生的思路歷程，向我們展示了如何研究數(shù)學(xué)，這也避免了我們看有些別的同類書時(shí)碰到的一些匪夷所思的“神來之筆”時(shí)所產(chǎn)生的驚奇——為什么作者會(huì)想到這個(gè)變換、這種構(gòu)造？ 嚴(yán)謹(jǐn)化在數(shù)學(xué)里有其重要意義，它是對起始時(shí)的想法的核實(shí)、對初步想法的精煉，可以避免直覺可能帶來的錯(cuò)誤或遺漏之處，但如Henri Lebesgue（亨利·勒貝格，著名數(shù)學(xué)家）所說：“嚴(yán)謹(jǐn)化、邏輯化可以幫助我們否定猜想和假設(shè)，但是它不能創(chuàng)造任何猜想和假設(shè)?！?數(shù)學(xué)的核心思想來源于直觀思維，嚴(yán)謹(jǐn)化并不能對這些數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生質(zhì)的改觀，它起到的作用只是鞏固和對這些思想的去偽存真。此外，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式不容易掌握，對我們理解數(shù)學(xué)思想的幫助也不大，所以嚴(yán)謹(jǐn)化方式的微積分入門課教學(xué)對初學(xué)者是不利的， Morris Kline引用Samuel Johnson（英國作家、文學(xué)評論家和詩人）的話對這種方式的教學(xué)效果評價(jià)到：“我為你提供了它的證明過程，但是幫助你理解它并不是我的義務(wù)?！?/span> Morris Kline也談到了好多高等數(shù)學(xué)入門教材共有的一個(gè)嚴(yán)重問題——把數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用完全割裂開來。這些書里基本都是些符號的演算，也差不多全然不談數(shù)學(xué)理論的運(yùn)用，乍看之下會(huì)讓人覺得高等數(shù)學(xué)就是一堆折騰符號的玩意兒，寫這些書的人忽略的大問題是：學(xué)習(xí)微積分這門課程的不少學(xué)生未來將會(huì)是工程師或科學(xué)家，他們必須知道怎么應(yīng)用微積分、應(yīng)用數(shù)學(xué)才行，如果只是教他們折騰符號、搞些不知所云的、看不到什么應(yīng)用的證明，那么整個(gè)數(shù)學(xué)教育的意義便會(huì)大打折扣。 通過以上這些Morris Kline的觀點(diǎn)，大家或許也和我一樣感受到了他對初學(xué)者的微積分教學(xué)的深刻認(rèn)識(shí)，也正是如此我才推薦初學(xué)者去看他這本書。我首先接觸到的Morris Kline的書是《Mathematical Thought from Ancient to Modern Times》（中譯本：古今數(shù)學(xué)思想），看過幾個(gè)章節(jié)1后便深深佩服其對數(shù)學(xué)本質(zhì)及其發(fā)展史的深刻認(rèn)識(shí)，后來又看到這個(gè)書的序言后就更是對Morris Kline佩服無比了，從此自認(rèn)為他是我的數(shù)學(xué)導(dǎo)師！ 我上文“建議自學(xué)者選一本較好的教材作為學(xué)習(xí)主軸后再多找?guī)妆就惤滩淖鲄⒖紩?，以便一本書上的知識(shí)點(diǎn)講解看不懂的時(shí)候可以看另一本上的來打開思路”，我個(gè)人常用的兩本高數(shù)學(xué)習(xí)輔助教材（參考書）分別是Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition) 和 陳紀(jì)修、於崇華、金路的《數(shù)學(xué)分析》。 各位學(xué)完如上面推薦的這種入門教材后，若要深入學(xué)習(xí)高數(shù)，可以看Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition)，這本書也是大師之作，該書的一大難能可貴之處在于對一些數(shù)學(xué)定理的揭示，作者僅用很直白的語言敘述就可以讓讀者洞見定理的本質(zhì)，每當(dāng)看到這種內(nèi)容時(shí)我不禁感嘆：“原來如此！作者的功力也太深厚了吧！”而國內(nèi)的書多半傾向于用各種符號去證明定理的正確性，這些證明不是很好掌握，我個(gè)人看后通常的感觸是“該定理正確”，然后并沒有什么深刻的認(rèn)識(shí)，更別說和之前學(xué)過的知識(shí)融會(huì)貫通了。與這本書對應(yīng)的輔助教材我就暫時(shí)無法推薦了，因?yàn)槲疫€沒有深入學(xué)習(xí)高數(shù)。 上面給大家推薦的這兩本皆是英文教材，為什么要看英文版呢？因?yàn)閮?yōu)秀的中文學(xué)習(xí)資料不太多，所以想只用中文資料學(xué)好科學(xué)或技術(shù)類學(xué)科的支援不太多，學(xué)起來會(huì)很費(fèi)勁，并且這年頭英語是學(xué)術(shù)界的主流語言，很多新的、一流的資料都用英文寫成，也就是說優(yōu)秀的英文學(xué)習(xí)資源是比較豐富的，在優(yōu)質(zhì)資源充裕的環(huán)境里學(xué)習(xí)會(huì)不會(huì)更好更輕松呢？大家自有評判！其實(shí)閱讀英文寫的專業(yè)資料并不是太難，如果大學(xué)之前的那些英文語法和單詞你掌握得都還行，那么接下來你在英文版專業(yè)資料閱讀過程中主要的障礙是陌生單詞多的問題，對此大家找個(gè)詞典軟件輔助閱讀就會(huì)順暢很多，比如有道詞典、歐路詞典之類的，當(dāng)然也可以考慮使用我的英酷詞典，它主要就是為助力我們的英文閱讀而生的。如果你不能做到通暢閱讀英文但還有個(gè)科學(xué)夢的話，那么你實(shí)現(xiàn)夢想的幾率是不太高的。你也許會(huì)問：看中譯本行不行？如果你看的是小說傳記之類的對逐字逐句準(zhǔn)確度要求不高的書，那么可以看，但若要看如高數(shù)之類的對逐字逐句準(zhǔn)確度要求較高的書的話，那么看中譯本很難行！主要問題是中文翻譯不容易做到準(zhǔn)確傳達(dá)英文原版的意思（這要求譯者花費(fèi)大量心思去盡可能地做到準(zhǔn)確翻譯，然而因?yàn)楦鞣N原因鮮有這種高標(biāo)準(zhǔn)翻譯的促成），這就會(huì)導(dǎo)致翻譯過來的內(nèi)容有失真或曲解的情況，以至于中譯本的讀者讀起來在理解內(nèi)容上很費(fèi)力，花了很多功夫嘗試去理解而最終卻無果的情況也不少有，然而這時(shí)候要再去看下英文原版，原來的疑惑很可能突然就撥云見日了——全是翻譯問題搞的鬼！ 總體來說高數(shù)算是西學(xué)，而我們用的中文版高數(shù)教材的很多定理的名稱都是翻譯過來的，這些翻譯顯得很有“文言功底”，我認(rèn)為這是不好的翻譯，因?yàn)楫?dāng)代人看起來不易見名會(huì)義，而看英文版的教材的話很大程度上能夠避免這個(gè)問題。 當(dāng)然，如果你對高數(shù)學(xué)習(xí)的追求不太高，也不想攻克英文閱讀這道難關(guān)，或一時(shí)半會(huì)還無法達(dá)到能看英文教材的水平，那么我建議去看的中文高數(shù)入門教材是謝緒愷的《高數(shù)筆談》，這本書我沒看過，不過據(jù)說2：
謝老前輩很和藹，和錢學(xué)森、楊振寧皆有接觸3，推薦大家看看這個(gè)關(guān)于他的視頻。 以上就是我自學(xué)高數(shù)探索出來的一些經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，希望后來者看后有一定幫助。本篇成文于2018年10月16日，文中所描述的一些事實(shí)可能會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化，請讀者自行分辨！
|
|
|
