微積分的核心思想是極限運(yùn)算，通過導(dǎo)數(shù)可以比較直觀地理解極限地意義，一個(gè)好的例子就是瞬時(shí)速度，就像牛頓所思考的那樣。伽利略用函數(shù)s(t)=1/2gt²描述了一個(gè)自由落體經(jīng)過了事件t的下降距離，其中g(shù)是重力作用下的加速度：如果時(shí)間單位是秒，距離單位是米，那么地球上的重力加速度近似為g=9.8。這樣，伽利略的自由落體定律可以近似用

s(t)=4.9t² （1）

表示。如果一個(gè)物體下降4秒以后還沒有落地，那么，這個(gè)物體的下降距離為s=4.9X16=76.6(米)?，F(xiàn)在我們的問題是：這個(gè)物體下落4秒時(shí)的速度是多少？也就是說，這個(gè)物體下落76.6米時(shí)的速度是多少？回想我們過去使用的物體運(yùn)動(dòng)公式：距離=速度X時(shí)間，這是在假設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度是均勻的前提下得到的公式，如果物體運(yùn)動(dòng)速度不是均勻的，就用平均速度來代替公式中的速度。這就啟發(fā)我們思考：是否可以用很短的時(shí)間間隔的平均速度來代替瞬時(shí)速度呢？如果可以，這個(gè)時(shí)間間隔需要多短呢？

假定在4秒以后有一個(gè)時(shí)間增量h，在時(shí)間4+h時(shí)物體下落的距離增量為m,有（1）可以得到

76.6+m=4.9X(4+h)²=4.9X(16+8h+h²)

等式兩邊減去76.6并除以h，有

m/h=(39.2h+4.9h²)/h

=39.2+4.9h (2)

上式的右邊就是物體下落4秒以后時(shí)間間隔h內(nèi)的平均速度。按照我們的設(shè)想，如果令時(shí)間間隔h為0，那么由（2）式的右邊可以得到物體下落4秒的瞬時(shí)速度為39.2米/秒。于是牛頓定義當(dāng)h趨于0時(shí)（2）式的左邊的比值為瞬時(shí)速度，并稱其為流數(shù)（類似倒是）。

這種計(jì)算是非常美妙的，用靜態(tài)的計(jì)算刻畫了動(dòng)態(tài)的瞬間，就像高速攝影的定格一樣。至少對(duì)于自由落體定律，這種計(jì)算是可行的，在直觀上也是可以認(rèn)同的。我們可以把這種方法推廣到更為一般的情況，令函數(shù)f(t)表示一個(gè)物體隨著時(shí)間t變化的運(yùn)動(dòng)方程，我們計(jì)算在時(shí)刻t₀時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，現(xiàn)在令△t趨于0時(shí)，可以定義

瞬時(shí)速度=[f(t₀+△t)-f(t₀)]/△t (3)

我們用f’(t₀)表示這個(gè)“瞬時(shí)速度”，并稱這個(gè)計(jì)算的過程為“求導(dǎo)數(shù)”。

現(xiàn)在考慮伽利略描述的自由落體方程s(t)=1/2gt²求導(dǎo)數(shù)的一般情況，類似（2）式的計(jì)算，對(duì)時(shí)刻t，求導(dǎo)數(shù)后可以得到速度方程為s’(t)=gt，用同樣的方法，再求一次導(dǎo)數(shù)可以得到s’’(t)=g。我們稱s’(t)為一階導(dǎo)數(shù)，稱s’’(t)為二階導(dǎo)數(shù)。于是，運(yùn)動(dòng)方程的一階導(dǎo)數(shù)為速度，二階導(dǎo)數(shù)為加速度，多么簡(jiǎn)潔清晰的計(jì)算，多么合情合理的表述。

但是，對(duì)于這個(gè)一般的表示式（3），我們的理性遇到了挑戰(zhàn)：時(shí)間增量△t到底是等于0還是不等于0？這也促使我們必須重新審視（2）式的合理性。令（2）式右式中的h為0是無所謂的，只是一個(gè)規(guī)定而已。問題出在（2）式的左邊，也就是牛頓定義的流數(shù)：如果假定時(shí)間間隔h非常小時(shí)，距離差m也非常小，那么，當(dāng)h=0時(shí)比值m/h將要為0/0，根據(jù)我們四則運(yùn)算的知識(shí)，這個(gè)比值是無意義的。

牛頓解釋不清楚他所定義的流數(shù)，他在1676年發(fā)表的《求曲邊形的面積》中說：

“流數(shù)，可以隨我們的意愿，任意接近在盡可能小的時(shí)間間隔中產(chǎn)生的流量的增量，精確地說，是最初增量地最初比?！?/p>

在巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中他已經(jīng)用極限來解釋：

“它與無限減少的量所趨近的極限的差能夠比任何給出的差更小，但在這些量無限減少之前不能越過也不能達(dá)到這個(gè)極限?！?/p>

還有一個(gè)問題是需要研究的，如果（3）式中的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)的話，那么，當(dāng)t₀在分段點(diǎn)時(shí)，是不可能得到類似（2）式的結(jié)果的。那么，問題是：為保證當(dāng)△t趨于0時(shí)（3）式右邊的極限存在，函數(shù)需要滿足什么條件？

現(xiàn)在我們可以看到問題的癥結(jié)所在：如果把極限看作一種運(yùn)算，與四則運(yùn)算不同，現(xiàn)在既解釋不清運(yùn)算的規(guī)則，也判斷不了運(yùn)算的對(duì)象。

盡管還有許多問題說不清楚，牛頓卻沒有花費(fèi)更多的精力作進(jìn)一步的研究，因?yàn)榕ｎD認(rèn)為數(shù)學(xué)只是表述自然定律的一種工具，于是牛頓用他的數(shù)學(xué)方法成功地描述了他那個(gè)時(shí)代所關(guān)心地一切自然現(xiàn)象：物體下落，行星運(yùn)動(dòng)，彗星周期，海洋潮汐，光的折射，力的表達(dá)等等。這充分說明牛頓已經(jīng)很好地開始了關(guān)于極限運(yùn)算的第一步抽象。當(dāng)然，為了求得合理的解釋，我們還需要第二步抽象，但是，正如我們?cè)凇稊?shù)學(xué)的抽象：從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)》中談到的那樣，雖然第二步抽象的結(jié)果在形式上可能是美妙的，但第一步抽象卻是更為重要，因?yàn)榈谝徊匠橄蟀l(fā)現(xiàn)的是新的知識(shí)，而第二步抽象是合理地表達(dá)了新的知識(shí)。