圓和球是非常神奇的幾何形狀，喜歡問問題的孩子應該都問過圓的面積為什么是π乘以半徑平方，球的體積的公式又是怎么來的，還有圓錐的體積為什么是底面積乘以高之后，前面還要乘以三分之一類似的問題。這些問題的解釋包含了樸素的微積分思想和祖暅原理。要是能很好地解釋給孩子，讓他們懂得其中的原理，這無疑會培養(yǎng)孩子們的數學興趣。

一、圓的面積的形象解釋

關于圓，小學生第一次知道了圓周率π，知道了這個“周三徑一”的無理數，第一次接受了圓周長、圓面積這樣精確的不完美。解釋圓的面積時，小學數學課本有下面的一個圖。把圓分割成很多微小的“圓三角形”，拼成一個矩形。割的小三角形越多，拼成的圖形越接近矩形。這就是“化曲為直”的思想，很容易可以得到圓面積公式。

二、圓錐體積公式有個1/3的解釋

那么如何解釋圓錐體積是等底等高的圓柱體積的三分之一呢？小學課堂主要還是靠演示，老師拿透明的等底等高的圓柱和圓錐，圓錐盛水（或沙子），裝滿往圓柱倒三次，圓柱滿了，說明兩者體積是3倍關系。當然喜歡打破砂鍋問到底的孩子一定不滿足這樣的解釋。于是我們就可以開始一段充滿邏輯，增長見識的奇異的數學之旅。

還是一樣的道理，首先把等底等高的圓柱和圓錐如圖細分，分的足夠細，化曲為直，于是分出的每一小片就是一個三棱柱和對應的三棱錐。

接著觀察等底等高的三棱柱和三棱錐之間的關系。這里先說一個結論，就是等底等高的三棱錐體積相等。這需要先來說一個原理，祖暅原理。

很形象地，上面同一堆作業(yè)，形狀不同，但是每一層截面積處處都相等，體積肯定相等。

所以上圖中，等底等高的兩個三棱錐，由于相似關系，同一高度的截面積相等，于是由祖暅原理可知，等底等高的兩個三棱錐，體積相等。

進一步推廣，不光是棱錐體，圓錐也一樣。只要是錐體，等底等高的錐體體積都相等。這樣很容易由等積關系看出，如下三棱柱分成的三個三棱錐體積都相等，易得其中一個三棱錐就是等底等高的三棱柱體積的三分之一。

最后，回到最初那個圖中，由于圓柱分割成許多近似的小三棱柱，圓錐分割成對應的許多小三棱錐，每一小塊小三棱錐的體積都是對應小三棱柱體積的三分之一，因此最終的圓錐體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。這個中學生可以完全理解。小學生理解力好的也可以理解。

三、球的體積的解釋

來看下面一個有趣的結論，一個高和底面半徑相等的圓柱，可以分割成如下三個體積相等的部分。

如上圖，那個圓柱挖去那個圓錐部分之后，剩下三分之二的那個部分，剛好是球的體積的一半。圓柱的體積是π*r3，從而得到球的體積是三分之四派R立方。具體證明還是如下圖所示的祖暅原理。感覺真的很神奇有沒有！

也可以把球分割成很多小棱錐的方法來證明球的體積，如圖小棱錐的高為半徑，所有的小棱錐高都等于半徑。每個小棱錐的體積都是各自底面積乘以高乘以三分之一，那么累加起來，球的體積就是球的表面積乘以半徑乘以三分之一，當然，這里需要知道球的表面積為4倍的派R平方。這是另外話題了?；蛘吒纱喟堰@個方法當成球的表面積的一種推導方法。

四、圓面積周長、球表面積體積之間的關系等

關于這幾個量之間的關系有：圓面積求導等于圓周長，球體積求導等于球的表面積。下圖以圓為例解釋，球的不好畫，靠想象。當初知道這幾個關系的時候，覺得太神奇了。希望現在的小學生、中學生能多點這樣的體驗，那就不是被動地在學習數學了。

上圖也給了個球體積的積分計算，高中生應該能掌握。

其實還可以從一個類比的高維的觀點解釋圓錐體積公式中的三分之一。在二維平面中，圓錐對應的圖形就是三角形，三角形的底是一維的線，三角形面積前面是乘以二分之一；那么到三維空間中，圓錐的底就升了一級，變成一個面，體積公式前面就得乘以三分之一了。至于更高維的空間，僅剩下數學的抽象，我們四維時空的人永遠無法想象?；蛟S宇宙的終極真理就擺在那，人類由于自身局限卻永遠無法掌握。

好吧，希望這些內容可以幫助小學生、中學生朋友提高數學學習的興趣和熱情！