一、知識依據(jù)

1.線段公理——兩點之間，線段最短；

點P在直線l上，AP+BP何時最??？

2.垂線段最短；

點P在直線l上，AP何時最?。?/span>

3.對稱的性質——①關于一條直線對稱的兩個圖形全等；②對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線；

點A與點A’關于直線EF對稱，聰明的你能找到圖中相等的角和相等的線段嗎？試試看！

4.三角形三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊。（本質上也可以理解為兩點之間線段最短?。?/span>

這幾條依據(jù)是解決數(shù)線段類最值問題（函數(shù)類除外）的知識原點，我們在教學過程中力求引導學生化繁為簡，以簡馭繁，從混沌中尋找秩序，從經驗中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構建模型，從感性土壤中開出理性之花.

    好了！有了基本知識儲備，那就讓我們小試牛刀，嘗試完成以下基本作圖吧！

二、基本作圖

1.在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；

（1）點A、B在直線m兩側：

簡析：連接AB交直線于點P，即為所求，知識依據(jù)為“兩點之間，線段最短”.

（2）點A、B在直線同側：

簡析：作點A關于直線m的對稱點A’，連接A’B與直線m的交點即為所求，由對稱可得PA=PA’,PA+PB最小值即為PA’+PB最小，再根據(jù)“兩點之間線段最短”即可解釋.

（注：這就是傳說中大名鼎鼎的“將軍飲馬模型”，后面將專門分析）

2.“將軍飲馬問題”變式：

已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定（長度為d）,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。

（1）點A、B在直線m兩側：

簡析：過點A作平行于直線m的線段AC使AC=d，連接BC交直線m于一點即為點Q，過點A作CQ的平行線交直線m于點P；因為線段PQ長度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就轉化為PA+QB的值最小，由平行四邊形性質可知PA=CQ，所以PA+QB就轉化為CQ+QB的最小值，結合“兩點之間線段最短”即可解釋.

（2）點A、B在直線m同側：

簡析：過點A作平行于直線m的線段AC使AC=d，作點B關于直線m的對稱點B’，連接B’C交直線m于一點即為點Q，過點A作CQ的平行線交直線m于點P；因為線段PQ長度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就轉化為PA+QB的值最小，由平行四邊形性質和對稱性質可知PA=CQ、BQ=BQ’，所以PA+QB就轉化為CQ+QB’的最小值，結合“兩點之間線段最短”即可解釋.

（飲馬問題其它變式將另作分析，不再累述）

2.在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）兩個點都在直線外側：

簡析：連接AB與直線m、n的交點即為所求點P、點Q，理由為“兩點之間線段最短”.

 （2）一個點在內側，一個點在外側：

簡析：作點B關于直線n的對稱點B’，由對稱可知BQ=BQ’，所有PA+PQ+QB就轉化為PA+PQ+QB’，再結合兩點之間線段最短即可解釋.

（3）兩個點都在內側：

簡析：分別作點A和點B關于直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’與直線m、n交于兩點即為所求點P、點Q，由對稱可知PA=PA’，QB=QB’，所以PA+PQ+QB就轉化為PA’+PQ+QB’，再結合“兩點之間線段最短”即可解釋.

（4）臺球兩次碰壁模型

變式一：已知點A、B位于直線m,n 的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.

簡析：因為線段AB長度不變，要使四邊形ADEB周長最短，只要保證AD+DE+BE最小即可，這樣就轉化為上面的的模型；分別作點A和點B關于直線n、m的對稱點A’、B’，連接A’B’與直線n、m交于兩點即為所求點P、點Q，由對稱可知DA=DA’，EB=EB’，所以AD+DE+EB就轉化為DA’+DE+EB’，再結合“兩點之間線段最短”即可解釋.

變式二：已知點A位于直線m,n 的內側, 在直線m、n分別上求點P、Q點，使△APQ周長最短.

簡析：作點A關于直線n、m的對稱點，分別記為點A’、A”，由對稱可知QA=QA’，PA=PA’，

所以C△APQ=QA+PQ+PA=QA’+PQ+PA”,再結合“兩點之間線段最短”即可解釋.

3.點B在直線n上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）

（1）兩點在直線兩側：

簡析：如下圖，結合“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”可得.

（2）兩點在直線同側：

簡析：作點A關于直線m的對稱點A’，由對稱可知PA=PA’，所以PA+PB就轉化為PA’+PB，結合“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”可得.

4.動點在圓上運動

點B在⊙O上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點P和點B）

（1）點與圓在直線兩側：

簡析：如圖，結合“兩點之間線段最短”和“圓的半徑不變性”可得直接連接OA即可得解.

（2）點與圓在直線同側：

簡析：如圖，作點A關于直線m的對稱點A’，結合“兩點之間線段最短”和“圓的半徑不變性”可得直接連接OA’即可得解.

5. 求兩線段差的最大值問題

在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；

（1）點A、B在直線m同側：

簡析：如下圖，當點P不與點A、B共線時，此時點P、A、B構成三角形，由三角形三邊關系可知<>

（2）點A、B在直線m異側：

簡析：如下圖，作點B關于直線m 的對稱點，由對稱可知PB=PB’，當點P不與點A、B共線時，此時點P、A、B’構成三角形，由三角形三邊關系可知<>

正所謂“磨刀不耽誤砍柴工”，以上為線段最值問題常見的基本作圖，你若熟練掌握并將作圖基本原理理解透徹，相信你一定能輕松解決能解決大多數(shù)問題，讓我們在下面幾個實戰(zhàn)專題中再見.