愛好數(shù)學(xué)的小朋友也許聽到過這樣一種說法：全體自然數(shù)的和是-1/12，也就是說：

類似這種結(jié)論的式子還有好多，例如：

看起來，這似乎顯然是錯(cuò)的，因?yàn)榈忍栕筮厬?yīng)該是無窮大，而等號右邊是個(gè)確定的數(shù)字，兩邊不應(yīng)該相等。那么為什么會(huì)有這樣的等式出現(xiàn)呢？

歐拉級數(shù)

為了理解這個(gè)等式，我們還是需要從數(shù)學(xué)家歐拉說起。歐拉曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)級數(shù)求和的問題：

這里的ξ讀作“可塞”，是一個(gè)希臘字母，而Σ讀作“西格瑪”，也是一個(gè)希臘字母，表示求和的意思。這個(gè)級數(shù)是指：把全體自然數(shù)的s次冪取倒數(shù)，再把它們求和。

這個(gè)級數(shù)有什么奇妙的性質(zhì)呢？

我們首先來看s=1的情況：

這個(gè)級數(shù)稱為調(diào)和級數(shù)，調(diào)和級數(shù)有無窮多項(xiàng)，但是越往后越小。如果最后無窮多項(xiàng)加起來是一個(gè)有限的數(shù)，就稱為級數(shù)收斂；如果最后加起來是無窮大，就稱為級數(shù)發(fā)散。大家知道這個(gè)級數(shù)是收斂還是發(fā)散的嗎？

在中世紀(jì)的時(shí)候，人們已經(jīng)證明了這個(gè)級數(shù)是發(fā)散的，方法很簡單：放縮。我們可以把1/3變小為1/4， 把1/5、1/6、1/7、1/8變小為1/8，再把1/9、…、1/16都變小為1/16，以此類推，這樣整個(gè)級數(shù)就縮小了?？s小后的級數(shù)有兩個(gè)1/4，加起來是1/2；有4個(gè)1/8，加起來是1/2，有8個(gè)1/16，加起來是1/2….這樣一來，新的級數(shù)一定會(huì)增長到無窮大，而調(diào)和級數(shù)比縮小后的級數(shù)大，調(diào)和級數(shù)自然是發(fā)散的。

我們再來看s>1的情況。例如s=2，這時(shí)級數(shù)變?yōu)?/p>

即全體自然數(shù)平方的倒數(shù)和。它的提出是在1644年，而最終在1735年由歐拉解決，當(dāng)時(shí)歐拉只有28歲。為了紀(jì)念歐拉，人們把這個(gè)問題稱為巴塞爾問題，巴塞爾是瑞士第三大城市，歐拉的故鄉(xiāng)。

歐拉指出：這個(gè)級數(shù)的和是一個(gè)很奇怪的數(shù)字，與圓周率有關(guān)。

不僅如此，歐拉以及后來的數(shù)學(xué)家證明了：只要s>1，級數(shù)ξ(s)總是收斂的，也就是雖然項(xiàng)數(shù)有無窮多項(xiàng)，但是越往后數(shù)字越小，最后加起來是一個(gè)確定的數(shù)。

如果s<1，情況又是如何呢？有讀者可能已經(jīng)感覺到了：s<1的時(shí)候級數(shù)ξ(s)會(huì)比調(diào)和級數(shù)更大，調(diào)和級數(shù)都發(fā)散，那么s<1的時(shí)候自然更加的發(fā)散了！這是一個(gè)合乎情理的推理，但是常人不能理解的歐拉居然算出了s=-1,-2和-3時(shí)的級數(shù)和。

我們以s=-1為例。此時(shí)級數(shù)變?yōu)?/p>

為了計(jì)算這個(gè)和，歐拉首先計(jì)算了一個(gè)函數(shù)的冪級數(shù)展開式：

這個(gè)展開式的計(jì)算并不難，類似于等比數(shù)列求和的方法，我們后面會(huì)給大家介紹。從這個(gè)式子出發(fā)，歐拉把x=-1代入其中，得到

這個(gè)式子已經(jīng)非常奇怪了，因?yàn)榘凑瘴覀兝斫?，等號右邊?yīng)該如果兩項(xiàng)兩項(xiàng)的看，應(yīng)該一直在增大才對，怎么會(huì)變?yōu)?1/4呢。

歐拉繼續(xù)對這個(gè)內(nèi)容進(jìn)行操作：他把右邊所有負(fù)的項(xiàng)放在一起，又進(jìn)行了填補(bǔ)：

這樣一來，就得到了全體自然數(shù)的和：

歐拉用類似的辦法計(jì)算了全體自然數(shù)的平方和為零，全體自然數(shù)的立方和為1/120。

解析延拓

一邊是越來越大的發(fā)散級數(shù)，一邊是一個(gè)確定的數(shù)字，看似非常不合理。問題出在哪里呢？其實(shí)，歐拉的問題在于沒有考慮收斂性的問題，也就是他將一個(gè)不在定義域范圍內(nèi)的數(shù)字代入了表達(dá)式。

為了能夠理解這個(gè)問題，我們必須首先弄清楚一個(gè)概念：解析延拓。

如果有一個(gè)函數(shù)f(x), 它的定義域是A1，另外一個(gè)函數(shù)g(x)，定義域是A2，A1完全包含于A2，并且在A1的范圍內(nèi)，f(x)與g(x)完全相同，那么我們可以說g(x)是f(x)的延拓。我們用一個(gè)圖表示出來：

有一個(gè)函數(shù)f(x)，它只在x取0.5到1之間的值時(shí)候有意義，超過了這個(gè)范圍就沒有意義了。另一個(gè)函數(shù)g(x)在x屬于全體實(shí)數(shù)的時(shí)候都有意義，并且在0.5到1之間，兩個(gè)函數(shù)完全重合，那么我們就稱g(x)是f(x)的延拓。

如果僅僅是這個(gè)條件，那么延拓的方法有無窮多種，因?yàn)槲覀兛梢栽趂(x)的兩邊隨意畫出各種各樣的曲線。但是人們規(guī)定了一個(gè)更強(qiáng)的條件：如果延拓之前的函數(shù)處處可導(dǎo)，延拓之后的函數(shù)也是處處可導(dǎo)，那么這種延拓稱為解析延拓。如果可導(dǎo)這個(gè)概念不好理解，我們大致可以理解成“非常光滑”，我們常見的函數(shù)如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，都滿足這個(gè)性質(zhì)。雖然解析延拓的真正含義比這個(gè)復(fù)雜，但基本內(nèi)涵就是這樣。人們在研究過程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論：如果給出了一個(gè)解析函數(shù)，那么它的延拓方法是唯一的。

我們不妨來舉一個(gè)例子：

這是一個(gè)等比數(shù)列求和，只有在-1<x<1的范圍內(nèi)才能求出一個(gè)收斂的結(jié)果，此時(shí)這個(gè)數(shù)列稱為無窮遞縮等比數(shù)列，就是一個(gè)比一個(gè)小的意思。他可以通過錯(cuò)位想減得到結(jié)果，即將等號兩邊同時(shí)乘x，得到：

再把這個(gè)數(shù)列與第一個(gè)數(shù)列做差，得到

這樣我們就得到了

我們可以令

顯然，如果單獨(dú)看g(x)，它的定義域范圍是x不等于1，比f(x)的定義域范圍大。而且在-1到1之間，兩個(gè)函數(shù)是完全重合的，這兩個(gè)函數(shù)都是解析函數(shù)，于是我們就可以說g(x)是f(x)的解析延拓。

如果我們把x=1/2代入，那么無論代入f(x)還是代入g(x)，二者的結(jié)果都是相同的，因?yàn)?/2在兩個(gè)函數(shù)的定義域范圍里。因此

如果我們把x=2代入，那么f(x)就沒有意義了，g(x)還是有意義的，顯然此時(shí)二者不能相等。如果我們強(qiáng)硬的代入x=2并且還認(rèn)為二者相等，就會(huì)得到：

這樣荒謬的結(jié)論。

我們打一個(gè)比方：很多年前人和猴子都是一樣的祖先，后來人進(jìn)化了，猴子沒有進(jìn)化，相當(dāng)于人進(jìn)行了解析延拓。人進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就可以成為一個(gè)數(shù)學(xué)家，這必然是沒有錯(cuò)，那么有人說猴子進(jìn)入課堂也能成為數(shù)學(xué)家，這顯然是不對的。

歐拉當(dāng)時(shí)就沒有搞清楚這個(gè)概念，所以得出了全體自然數(shù)的和等于-1/12這樣奇怪的結(jié)果。

黎曼ζ函數(shù)

歐拉在1740年研究的這個(gè)問題，在一百年以后由德國數(shù)學(xué)家黎曼解決了。

黎曼對歐拉研究的數(shù)列

進(jìn)行了解析延拓。歐拉研究的這個(gè)函數(shù)只有在s是實(shí)數(shù)，并且s>1時(shí)才是收斂的，但是如果進(jìn)行解析延拓，那么它就可以在s是不等于1的全體復(fù)數(shù)的時(shí)候都有意義。實(shí)數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)，而復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)。關(guān)于復(fù)數(shù)的含義和計(jì)算方法，請移步我的另一篇文章：最美公式——?dú)W拉恒等式閱讀。

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黎曼函數(shù)有許多種形式，其中一種是：當(dāng)s是一個(gè)復(fù)數(shù)且s不等于1時(shí)

由于s是一個(gè)復(fù)數(shù)，而函數(shù)的結(jié)果也是一個(gè)復(fù)數(shù)，它具有實(shí)部和虛部，所以我們要畫出這個(gè)函數(shù)圖像必須采用一種比較奇怪的方法：定義域著色。大概的意思是用不同的顏色表示一個(gè)復(fù)數(shù)的模和幅角。

這樣畫出的黎曼函數(shù)長這個(gè)樣子：

神奇的是，當(dāng)s取-1時(shí)，黎曼函數(shù)的值ζ(-1)果然等于-1/12，當(dāng)s取-2時(shí)，黎曼函數(shù)的值ζ(-2)果然等于0，當(dāng)s取-3時(shí)，黎曼函數(shù)的值ζ(-3)果然等于1/120。也就是說，一百年前的歐拉雖然沒有搞清楚解析延拓的概念，但是卻得出了與解析延拓后完全相同的結(jié)果。只是這個(gè)結(jié)果并不能用自然數(shù)的和、平方和和立方和表示而已。歐拉果然就是歐拉。

說到這里，大家是不是明白了？1 2 3 4 …=-1/12并不是合理的，只是左邊級數(shù)進(jìn)行了解析延拓之后得到了右側(cè)，而左側(cè)級數(shù)此時(shí)已經(jīng)沒有意義了。黎曼函數(shù)的意義不僅如此，它的應(yīng)用非常廣泛，尤其在質(zhì)數(shù)領(lǐng)域，黎曼函數(shù)具有非常重要的意義。著名的黎曼猜想就是關(guān)于黎曼函數(shù)的猜想。