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《2018年浙江嘉興@舟山壓軸題 ——二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題@分類(lèi)畫(huà)圖意識(shí)、截長(zhǎng)補(bǔ)短方法》

 逸飛揚(yáng)2018 2018-08-09

金色的六月,收獲的中考,學(xué)子捷報(bào)頻頻,師者桃李滿天下.

本系列將針對(duì)2018年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題,結(jié)合本人新著《廣猛說(shuō)題——中考數(shù)學(xué)壓軸題破解之道》進(jìn)行詳細(xì)解說(shuō),說(shuō)一題,會(huì)一類(lèi),通一片.

本文選擇的是2018年浙江嘉興@舟山卷中的最后幾道解答題.

本文主要介紹二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題、幾何問(wèn)題中的分類(lèi)畫(huà)圖意識(shí)以及截長(zhǎng)補(bǔ)短方法,同時(shí)還涉及“倍半角”的相關(guān)構(gòu)造等!

反思:本題考查的是含參型二次函數(shù)的應(yīng)用,看到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(b,4b+1),立知頂點(diǎn)M在一條定直線y=4x+1上運(yùn)動(dòng),此為第(1)問(wèn);

第(2)問(wèn)考查學(xué)生運(yùn)用圖像解決問(wèn)題的方法,看圖即可;

第(3)問(wèn)是本題的難點(diǎn),首先需要根據(jù)題目條件,求出參數(shù)b的取值范圍;然后借助拋物線的對(duì)稱(chēng)性,得到b的臨界值;最后結(jié)合圖像的增減性,分類(lèi)討論即可.這里,還需要知道拋物線的一條直觀性質(zhì):當(dāng)拋物線的開(kāi)口向下時(shí),離對(duì)稱(chēng)軸越近的點(diǎn),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大;當(dāng)拋物線的開(kāi)口向上時(shí),離對(duì)稱(chēng)軸越近的點(diǎn),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越?。?/strong>

對(duì)于含參型二次函數(shù)關(guān)于某區(qū)間的增減性問(wèn)題,常見(jiàn)的類(lèi)型有:①區(qū)間定,對(duì)稱(chēng)軸動(dòng);②對(duì)稱(chēng)軸定,區(qū)間動(dòng);③對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間都動(dòng).考查的方式有兩種:一是求最大值;二是求最小值,其解決之道稍有區(qū)別.

以開(kāi)口向上的拋物線舉例如下:

反思:兩個(gè)問(wèn)題中拋物線都是開(kāi)口向上,都是求自變量在一定范圍內(nèi)的最值問(wèn)題,但分類(lèi)策略略有不同,前者(最小值)依據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與給定自變量范圍之間的相對(duì)位置關(guān)系分三類(lèi),數(shù)形結(jié)合,解決問(wèn)題;后者(最大值)首先利用對(duì)稱(chēng)性,確定對(duì)稱(chēng)軸的臨界位置,然后依據(jù)“離對(duì)稱(chēng)軸越近,相應(yīng)的函數(shù)值越小”原理分類(lèi)討論;

為什么兩種最值問(wèn)題的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)略有不同?究其原因是:當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí),最小值可能在給定區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取得,而最大值只可能在端點(diǎn)處取得.因此,對(duì)于開(kāi)口向上的拋物線最小值問(wèn)題,必須考慮對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的三種位置關(guān)系;而最大值問(wèn)題只需要考慮給定的兩個(gè)端點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的遠(yuǎn)近關(guān)系即可;

同樣地,對(duì)于開(kāi)口向下的拋物線,最大值要考慮對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的三種位置關(guān)系,而最小值只需要利用對(duì)稱(chēng)性,考慮給定的兩個(gè)端點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的遠(yuǎn)近關(guān)系即可.

例2.(2018年浙江嘉興卷倒一題)我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”.

(1)概念理解:如圖1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,試判斷△ABC是否是“等高底”三角形請(qǐng)說(shuō)明理由;  

反思:解決本題的關(guān)鍵有兩個(gè):一是分類(lèi)意識(shí);二是畫(huà)圖意識(shí);

因本題指代不明,不確定△ABC的哪一邊是BC的根號(hào)2倍,故首先需分兩大類(lèi);

在每一類(lèi)情形下,根據(jù)“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓”,借助作輔助圓的方式,可以找到所有目標(biāo)點(diǎn)A,然后進(jìn)行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn),再利用解三角形來(lái)解決問(wèn)題.

反思:形如“X+Y=Z”的線段和證明問(wèn)題,一般可采取“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”求解,所謂“截長(zhǎng)”,指的是將長(zhǎng)線段Z先截取一段長(zhǎng)度等于X(或Y)的短線段,再證明余下的線段等于Y(或X);而所謂“補(bǔ)短”,指的是將短線段X(或Y)延長(zhǎng),使其等于長(zhǎng)線段Z或?qū)⒍叹€段X(或Y)延長(zhǎng)出Y(或X)長(zhǎng)度,再證明相關(guān)線段相等;

解法一至解法四都是截長(zhǎng)補(bǔ)短的典型方法,有時(shí)候各種方法都可行,但有時(shí)候其中部分方法并不好用,具體問(wèn)題具體分析,關(guān)鍵是構(gòu)造相關(guān)輔助線后,題中條件能集中使用;

解法五基于超級(jí)對(duì)稱(chēng)的解題意識(shí),結(jié)合兩次“A字型相似”,輕松獲解,大快人心.

反思:因探索a、b、c三者關(guān)系,故鎖定其構(gòu)成的△ABP,通過(guò)導(dǎo)角分析,發(fā)現(xiàn)隱藏關(guān)系∠BAP=2∠BPA是解題的關(guān)鍵,抓住此倍半角關(guān)系,由倍造半或由半造倍,然后結(jié)合相似,導(dǎo)邊求解;

針對(duì)本題,方法一較方法二簡(jiǎn)捷明了,原因在于構(gòu)造出相應(yīng)的輔助線后,所有條件都“使得上力氣,用得著地方”,簡(jiǎn)而言之,恰到好處;

此外,方法二中,若是了解三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的來(lái)龍去脈,可以結(jié)合面積法或平行相似法解決問(wèn)題,詳見(jiàn)本人新作《廣猛說(shuō)題——中考數(shù)學(xué)壓軸題破解之道》,即將正式出版發(fā)售,敬請(qǐng)期待!


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