鴨爪定理的內(nèi)容為：

如圖，設(shè)H是△ABC的垂心，高AD延長交外接于H'點(diǎn)。

則HD＝DH'。

證明：作高BE，聯(lián)結(jié)BH'。

∵∠EBC＝90°－∠C＝∠H'AC＝∠H'BC，

∴Rt△BDH≌Rt△BDH'，

于是HD＝DH'。

說明：（1）本結(jié)論很簡單也很漂亮，等價于H關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)在外接圓上。本結(jié)論也是很常用的，因為垂心和外接圓的結(jié)構(gòu)十分常見，幾乎涉及到垂心與外接圓的問題都會與其有關(guān)。

（ 2）其逆命題也是正確的，即若某點(diǎn)關(guān)于三角形兩邊的對稱點(diǎn)在外接圓上，則其為三角形垂心，或者若某點(diǎn)在高線上且其關(guān)于某邊對稱點(diǎn)在外接圓上則其為三角形垂心。即此性質(zhì)也可以作為垂心的判定。

（3）此結(jié)論很經(jīng)典，命名為鴨爪定理應(yīng)該是受到雞爪定理的啟發(fā)，因為顯然上圖中四邊形BH’CH的形狀很像一個鴨蹼，所以叫鴨爪定理。事實(shí)上我們一般稱上圖中一條對角線是另一條對角線為箏形，因為它的形狀像一個風(fēng)箏。

（4）雞爪定理中蘊(yùn)含著鴨爪定理，事實(shí)上，如下圖，如果我們把雞爪定理補(bǔ)全，作出內(nèi)心I的三個雞爪來。對△ABC，由雞爪定理，則FA=FI,EA=EI,故EF為AI中垂線；同理ED、FD為CI、BI中垂線。如果改變角度，從△DEF角度看，由垂直知I為△DEF垂心，則I關(guān)于△DEF三邊對稱點(diǎn)在其外接圓上。由此可知雞爪定理與鴨爪定理等價，你中有我、我中有你，可以互相推演。

分析：由三個等圓不難想到作出三個圓心，再連接相交公共弦，想到連心線垂直平分公共弦即可發(fā)現(xiàn)很多菱形，從而得到思路。

證明：（1）如圖，設(shè)三個圓的圓心依次為E、F、G，連接各點(diǎn)。

由三圓為等圓知EAGH為菱形，

同理ECFH，F(xiàn)HGB為菱形。

則EC、HF、GB平行且相等，

從而ECBG為平行四邊形，則EG//BC，

又AH⊥EG，故AH⊥BC；

同理BH⊥AC，故H為△ABC垂心；

（2）由（1）證明知EG=BC，

同理EF=AB，F(xiàn)G=AC，

故△ABC?△FEG(SSS)。

顯然HE=HF=HG=R，即△FEG外接圓半徑為R，

則△ABC外接圓半徑為R。

注：1）本結(jié)論很經(jīng)典，也很美，歷史至少上百年，是一個人見人愛的結(jié)論。

很多經(jīng)典書籍（例如波利亞的《怎樣解題》、梁紹鴻的《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）》等）中都收錄了它。證明并不困難。

如果適當(dāng)調(diào)整可以使得六邊形AECFBG為正六邊形，還可以把除去圓的本圖

看成正方體的斜二測畫法的圖形。

2）設(shè)△ABC外接圓為圓O，由證明知OAEC為菱形，即圓O與圓E關(guān)于AC對稱，

同理圓O與圓F關(guān)于BC對稱，圓O與圓G關(guān)于AB對稱。其實(shí)這可以說是鴨爪定理的

另外一種形式：若H為△ABC垂心，則△ABC外接圓關(guān)于三邊對稱的圓分別為△HAB、

△HBC、△HCA的外接圓。這也算是垂心的一個重要性質(zhì)。

3）由證明知△ABC與△FEG中心對稱，△ABC外心O為△FEG垂心，從而兩三角形

的對稱中心為OH中點(diǎn)N，為△ABC九點(diǎn)圓圓心。

4)本題結(jié)論可以推廣，可以考慮過H作多個等圓會有什么結(jié)果，有興趣的讀者可以探究。

思路分析及證明：本題難點(diǎn)首先在于如何描述垂心H，

看到垂心及外接圓想到鴨爪定理，

故延長AH交外接圓于H'，由鴨爪定理則HE=H'E。

下面是如何利用垂直及共圓證明M為PH中點(diǎn)。

由兩個垂直得BFDP四點(diǎn)共圓，則∠PDM=∠ABP=180°-AH'P=∠DPH'。

下面就可以只考慮這個PDHH'這個局部了，將其取出來，圖形簡化為：

已知：如下圖，DE為HH'中垂線，PD⊥DE,∠PDM=∠DPH'，M在PH上，

求證：MP=MH，

這個問題的難度應(yīng)該不高了。

思路一：看到中點(diǎn)想到中位線，可以考慮同一法，

取PR中點(diǎn)R，設(shè)M'為PH中點(diǎn)，則RM'EH'為平行四邊形，

則RM'為DE中垂線，故∠PDM'=∠H'EM'=180°-HH'P=∠DPH',

由圖形唯一性知M與M'重合，即MP=MH。

思路二：由對稱性想到作出P關(guān)于DE對稱點(diǎn)D'，

則PD'HH'為等腰梯形，則∠PDM=∠DPH'=∠D',

故DM//D'H,由D為PD'中點(diǎn)知MP=MH.

注：1）斯坦納定理有多種敘述形式，上述形式算是最簡潔明了的。如果引入西姆松（Simson）定理：三角形外接圓上任意點(diǎn)在三邊上的射影共線，此直線稱為此點(diǎn)的西姆松線。則斯坦納定理的第二種形式為：外接圓上任意點(diǎn)與垂心的連線被此點(diǎn)的西姆松線平分。聯(lián)系到上述證明中的對稱還可以得到它的第三種形式：外接圓上任意一點(diǎn)關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)及垂心四點(diǎn)共線。其中第三種形式最漂亮。可能是斯坦納發(fā)現(xiàn)此定理的一個思路。華萊士定理說：外接圓上點(diǎn)P運(yùn)動時，其西姆松線的包絡(luò)為圓的三尖點(diǎn)內(nèi)擺線，如下圖所示。 可能斯坦納希望研究外接圓上點(diǎn)P運(yùn)動時，其關(guān)于三邊對稱點(diǎn)得到的直線有什么特征，發(fā)現(xiàn)此直線經(jīng)過一個定點(diǎn)，而且此點(diǎn)恰為三角形的垂心！如以下動畫所示。

2）斯坦納定理是幾何中的一顆明珠，結(jié)論優(yōu)美，證明不易。幾何競賽中經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，我第一次遇到此結(jié)論是在高中競賽時，當(dāng)時陜西省競賽委員會請了一批競賽專家給我們上競賽課，劉裕文老師給我們講了很多知識，讓我打開了眼界。他還帶了一個學(xué)生——楊運(yùn)新，當(dāng)時上高一，后來他也給我們上了一節(jié)課講了幾道題，其中我印象最深刻的就是這個斯坦納定理。他當(dāng)時講的就是上述證明中的第二個證明。當(dāng)然后來楊運(yùn)新老師三次進(jìn)入國家集訓(xùn)隊，雖然沒有最終沒有進(jìn)入國家代表隊，略有遺憾。不過其實(shí)力還是公認(rèn)的。后來他到了西安工作，我們就成了好朋友，經(jīng)常一起討論問題。

3）上述證明中證法一是我的思路，證法二是經(jīng)典方法，歷史上很多幾何大家，如開世（casey）、矢野健太郎等都基本是用此方法證明的。當(dāng)然上述證明的關(guān)鍵是想到鴨爪定理。轉(zhuǎn)化成最后梯形中結(jié)論后證明并不困難，實(shí)在不行暴力計算也簡單。

4）事實(shí)上，斯坦納定理的證明方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述兩種，葉中豪老師以及我后來都發(fā)現(xiàn)了很多新的證明。

5）此定理內(nèi)涵非常豐富，這里只是展示了冰山一角。鉆之彌深，仰之彌高，我在后續(xù)學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)了許多問題都與它有關(guān)，后面有機(jī)會會給大家詳細(xì)介紹。