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2018高考數(shù)學(xué)100彈之第91彈:回歸教材之圓錐曲線與方程

 昵稱47813312 2018-05-29

一.曲線與方程(理科)

       要搞清曲線的方程、方程的曲線的定義,教材思考與討論給了兩個例題對這個定義進(jìn)行了說明.

       要把求曲線的方程的步驟以及通過曲線的方程研究曲線性質(zhì)的步驟搞清楚.

二.橢圓

       橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)必須得會,我在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的三個重要節(jié)點(diǎn)中對方程推導(dǎo)的重要性做了詳細(xì)的說明.

       橢圓的性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、長軸短軸、離心率等)必須牢牢掌握,教材有道應(yīng)用題直接說了橢圓長軸的兩個端點(diǎn)是到焦點(diǎn)距離最近最遠(yuǎn)的點(diǎn),我覺得不夠嚴(yán)密,在大題中必須給出證明.

       課后習(xí)題研究了橢圓的一個性質(zhì):橢圓上一點(diǎn)和長軸兩個端點(diǎn)連線的斜率之積為定值.其實(shí)該結(jié)論的更一般的形式是橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)P和橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)的連線的斜率(如果存在的話)之積為-b2/a2.用點(diǎn)差法證明很簡單,希望大家記住這個結(jié)論,小題直接用,大題用點(diǎn)差法說明一下,說不定能起到簡化計(jì)算的作用.

  課后還有一道習(xí)題:橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上動弦AB的中點(diǎn)為M,O為原點(diǎn),AB的斜率和OM的斜率(斜率存在)之積也為-b2/a2.

三.雙曲線

       雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也得會推導(dǎo),要把雙曲線和橢圓的方程對照著復(fù)習(xí)一遍,特別是焦點(diǎn)在不同的軸上方程的區(qū)別.

       雙曲線的高頻考點(diǎn)是漸近線,教材給了漸近線的證明,用到了極限的知識,了解即可.要把漸近線方程的求法牢牢掌握.區(qū)分焦點(diǎn)在不同軸上時的漸近線方程.給了漸近線方程,要會快速設(shè)出雙曲線方程.

       同橢圓一樣,習(xí)題上也研究了雙曲線的一個性質(zhì):雙曲線上一點(diǎn)和實(shí)軸兩個端點(diǎn)連線的斜率之積為定值.其實(shí)該結(jié)論的更一般的形式是雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)P和雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)的連線的斜率(如果存在的話)之積為b2/a2.也是用點(diǎn)差法證明很簡單,也希望大家記住這個結(jié)論.

四.拋物線

       拋物線的定義也是拋物線最重要的性質(zhì),準(zhǔn)線是其高頻考點(diǎn),而且以小題居多,所以一定要將其定義放在首要位置.

       要將拋物線標(biāo)準(zhǔn)形式的四種形式區(qū)分開,特別是開口向上的,我們?nèi)菀资芏魏瘮?shù)干擾,寫錯其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線.

五.直線與圓錐曲線

       直線和圓錐曲線位置關(guān)系的判斷(判別式法)、弦長公式等需要牢牢把握,計(jì)算能力就別指望通過看教材提高了.

       教材上有道求橢圓內(nèi)接矩形面積最大值的題,用的是構(gòu)造二次函數(shù)的方法,其實(shí)直接均值不等式法或參數(shù)方程法更簡單,當(dāng)然教材的做法體現(xiàn)了消元構(gòu)造函數(shù)的思想,是很重要的方法.

六.有必要做做的題

1.(1)已知F1F2是橢圓x2/9+y2/5=1的焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上且∠F1PF2=π/3,求△F1PF2的面積.

(2)已知F1、F2是雙曲線3x2-5y2=15的焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且F1PF2的面積等于2√2,求F1PF2的大小.

2.已知點(diǎn)A(1,1),F(xiàn)是橢圓x2/9+y2/5=1的左焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),求|PF|+|PA|的最小值和最大值.

3.已知F1F2是橢圓x2/9+y2/4=1的焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上且F1PF2是直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4. 已知F1、F2是橢圓x2/4+y2=1的焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上:

(1)求|PF1|×|PF2|的最大值;(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.

5.求雙曲線x2/4-y2/36=1上任意一點(diǎn)M到兩條漸近線的距離乘積的值,試把這個結(jié)論推廣到一般的雙曲線x2/a2+y2/b2=1.

6.已知直線l1:5x+3y=0和l2:5x-3y=0:

(1)寫出兩個以直線l1和l2為漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如果以直線l1和l2為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(1,3),求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

7.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線與它交于P,Q兩點(diǎn),過點(diǎn)P和此拋物線頂點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,求證直線MQ平行于此拋物線的對稱軸.

8.已知拋物線y2=4x,P是拋物線上一點(diǎn):

(1)設(shè)F為焦點(diǎn),一個定點(diǎn)A(6,3),求|PA|+|PF|的最小值,并指出此時P的坐標(biāo);

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),m∈R,求|PM|的最小值(用m表示),并指出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

9.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為π/4的直線,交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的上方,求|AF|/|BF|的值.

10.已知橢圓x2/36+y2/9=1,弦AB的中點(diǎn)是M(3,1),求弦AB所在直線的方程.

11.過拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的的弦OA和OB,求證:弦AB與拋物線的對稱軸交于定點(diǎn).

12.已知點(diǎn)A是橢圓x2+2y2=4的長軸的左端點(diǎn),以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作一個內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形ABC,求斜邊BC的長.

13.設(shè)A、B分別是直線y=2√5x/5和y=-2√5x/5上的動點(diǎn),且|AB|=2√5,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)P滿足:向量OP等于向量OA加上向量OB,求動點(diǎn)P的軌跡方程.

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