全區(qū)期末統(tǒng)考于2018年1月29日開始至2月1日結(jié)束，今年七年級(jí)語文、數(shù)學(xué)、英語三科與八年級(jí)數(shù)學(xué)、英語、物理三科實(shí)行“交叉監(jiān)考·統(tǒng)一閱卷”模式運(yùn)作，是一次很好的創(chuàng)新舉措.學(xué)生家長歡呼、教師隊(duì)伍雀躍，可推廣！

九年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)于1月31日與2月1日兩天舉行，由區(qū)教研室牽頭統(tǒng)一命卷，兄弟學(xué)校統(tǒng)一閱卷，成為了常態(tài).總體來看，效果還是可圈可點(diǎn)的。

首先，就但從數(shù)學(xué)測(cè)試卷來看，命卷基本符合中考考綱要求，題量與近些年中考試卷一樣，做到了數(shù)學(xué)“四基”全覆蓋，難易適中，區(qū)分度明顯，棒！

其次，數(shù)學(xué)學(xué)科考試一直承擔(dān)了區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的功用得以比較完美體現(xiàn).比方說第9題就是一道很了不起的考題：能做對(duì)本題的學(xué)生并不多，原因在于看不出所求劃過區(qū)域的面積是一個(gè)圓環(huán)的面積.…待后續(xù)專題雜談之！

最后，本次數(shù)學(xué)統(tǒng)考測(cè)試卷，對(duì)于一元二次方程的判別式的使用技能，分別提出了第16題（6分）、第19題（8分）與第23（3）題（4分）三道題，非常好，這在本學(xué)期的檢測(cè)中很及時(shí)，有必要加強(qiáng)之，本文就重點(diǎn)地雜談之！

一、捋一捋【要點(diǎn)清晰】.

關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0）的根的判別式△=b²-4ac是在一元二次方程的基礎(chǔ)上才能使用的；其次對(duì)于根的存在性與唯一性，主要看△這個(gè)表達(dá)式的取值情況：

△＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.反之亦真；

△=0，一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（實(shí)質(zhì)上有時(shí)也說成是一個(gè)實(shí)數(shù)根），反之亦真；

△＜0，一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0）沒有實(shí)數(shù)根.反之亦真；

△≥0，一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0）一定有實(shí)數(shù)根，反之亦真.

對(duì)于一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0）來說，不解方程直接計(jì)算出△的值（即判別式的值），就能看得出原方程根的有無與數(shù)量.

將其引申至兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立組成的方程組來說，消去其中一個(gè)未知數(shù)比如y，留下的含有自變量比如x的方程，若x有確定的值，對(duì)于y自然而然有相應(yīng)確定的值；反之x的值不存在，則函數(shù)y的值也不存在. 此時(shí)從“數(shù)形結(jié)合思想”方面考慮就相當(dāng)于兩個(gè)圖象的交點(diǎn)問題：

當(dāng)兩個(gè)圖象是直線時(shí)，對(duì)應(yīng)解析式聯(lián)立方程組有解，說明有交點(diǎn)存在；若方程組無法解比如兩者的比例系數(shù)k（高中說成“直線斜率”）相同，自然方程組就無解，說明兩條直線平行也就沒有交點(diǎn)的存在.

當(dāng)兩個(gè)圖象分別是直線與雙曲線或者直線與拋物線或者雙曲線與拋物線時(shí)，對(duì)應(yīng)兩圖象的解析式聯(lián)立方程組有無實(shí)數(shù)解就能完全決定兩圖象有無交點(diǎn).

二、試一試【考題剖析】.

先來看一看考卷上精彩的第16題：

本題涉及的是直線與雙曲線交點(diǎn)問題.

腦海里立馬搜索出原先平常的“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累”：

一次函數(shù)對(duì)應(yīng)屬性（1）位置性；（2）增減性；（3）交點(diǎn)性；（4）陡緩性；（5）平移性. 其中交點(diǎn)性與陡緩性派得上用場(chǎng)，心中竊喜之一！

反比例函數(shù)的屬性（1）位置性；（2）增減性；（3）漸進(jìn)性；（4）對(duì)稱性；（5）等積性. 其中漸進(jìn)性與對(duì)稱性估計(jì)能有用，心中竊喜之二！

依據(jù)直線屬性不難發(fā)現(xiàn)：

直線y=kx-2是經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）的直線束（不含直線x=0即不含y軸）.

畫出雙曲線與直線束的大致圖象后，一眼可以看出：

當(dāng)k=0時(shí)，就是一條經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）且平行于x軸的直線，該直線與反比例函數(shù)的圖象恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)（0.5，-2）.符合題意，先收獲到本題2分.

其次考慮k≠0的情況，聯(lián)立兩者的解析式，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，要使得此方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，才能顯示有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的要求，自然想到使用判別式來搞定，具體如下：

總結(jié)：

實(shí)際閱卷中，發(fā)現(xiàn)本題約有七成學(xué)生考慮問題不全，沒有想到k=0的情況；

其次，還有半數(shù)左右學(xué)生不知曉會(huì)去使用“判別式”來解題；考后了解得知：有學(xué)生講會(huì)在草稿紙上畫草圖，會(huì)想到k的變化影響交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

對(duì)于本題數(shù)形結(jié)合肯定離不開的. 吃一塹長一智，以后涉及到兩圖象交點(diǎn)問題必須想到求交點(diǎn)的首選方法是“解方程組法”，這個(gè)總是有的.

三、變一變【加深理解】.

對(duì)于第16題來講，光會(huì)做出本題還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須學(xué)會(huì)變式：

一變：變結(jié)果.原題改成問：直線y=kx-2與反比例函數(shù)y=-1/x圖象沒有公共點(diǎn)時(shí)，試確定k的取值范圍？或者問：直線y=kx-2與反比例函數(shù)y=-1/x的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，試確定k的取值范圍？

參考答案：

當(dāng)直線y=kx-2與反比例函數(shù)y=-1/x的圖象沒有公共點(diǎn)時(shí)，k＞1.

當(dāng)直線y=kx-2與反比例函數(shù)y=-1/x圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k≤1.

二變：變前提.原題的直線y=kx-2改成直線y=x+k，若與反比例函數(shù)y=-1/x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，（1）求k的值；（2）求出公共點(diǎn)的坐標(biāo). 答案一樣？

顯然此時(shí)直線y=x+k是一條與直線y=x平行的直線，考查的是平移性咯！

參考答案：

當(dāng)直線y=x+k與反比例函數(shù)y=-1/x圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，（1）k的值為±2；（2）公共點(diǎn)為（-1,1）或（1，-1）.

三變：綜合變.假如這樣出題：若直線y=x+k與反比例函數(shù)y=-1/x沒有公共點(diǎn)時(shí)，試確定k的取值范圍；若至少有兩個(gè)公共點(diǎn)又如何呢？

顯然這樣的考題，畫草圖肯定少不了的，使用“觀圖法”立馬搞定之！

參考答案：

當(dāng)-2＜k＜2時(shí)，兩圖象無公共點(diǎn)；當(dāng)k≤-2或k≥2時(shí)，至少有一個(gè)交點(diǎn).

也可以改直線y=x+k為y=2x-k仿上問法出題，萬變不離其宗，類似解之.

就如第19題一樣的變式：直線y=kx-2不變，反比例函數(shù)變成二次函數(shù)之后，將“兩圖象沒有公共點(diǎn)”變成“二次函數(shù)y=x²-4x+3的圖象恒在直線y=kx-2的上方”這樣的條件，原題如下：

19.二次函數(shù)y=x²-4x+3的圖象恒在直線y=kx-2的上方，求k的取值范圍.

簡(jiǎn)析：

這是一道8分題，主要考查學(xué)生

1.數(shù)形結(jié)合思想、

2.直線的陡緩性、

3.交點(diǎn)問題之判別式的巧用.

畫出二次函數(shù)圖象之草圖后，二次函數(shù)的六大屬性（1）開口性；（2）對(duì)稱性；（3）最值性；（4）增減性；（5）交點(diǎn)性；（6）平移性. 哪些會(huì)用上是邊解題邊搞定的事. 顯然其中大致畫出拋物線是先手，結(jié)合圖象可以直觀看出：

拋物線開口向上；對(duì)稱軸是直線x=2；頂點(diǎn)為（2，-1）；與x軸交于點(diǎn)（1,0）、（3,0）；與y軸交于點(diǎn)（0,3）.進(jìn)一步看出拋物線與直線y=-2沒有公共點(diǎn).

聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，接下來使用判別式，令判別式等于零，得到直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的兩個(gè)值.

此時(shí)k的兩個(gè)值正好一個(gè)為負(fù)值、另一個(gè)為正值. 于是想到“直線束”中以點(diǎn)（0，-2）為“旋轉(zhuǎn)中心”旋轉(zhuǎn)的過程中k的值是改變著的.

直線的“陡緩性”一直告訴我們：

直線y=kx-2隨著k的絕對(duì)值越大，直線越陡；k的絕對(duì)值越小，直線越緩.

也就是說：對(duì)于負(fù)值的k來說，k越大其絕對(duì)值越小，直線y=kx-2越緩，越不會(huì)與拋物線相交，因?yàn)閽佄锞€是固定著的，故k的取值比那個(gè)負(fù)值更大為好；對(duì)于正值的那個(gè)k值來說，若k取得越小其絕對(duì)值越小，直線越緩，就越不與拋物線相交，故k的取值要比那個(gè)正值更小些為好；最終介于兩者之間.請(qǐng)看：

總結(jié)：

從平常教學(xué)中掌握的“圖象法”解題思路來看，吃透本題的僅有考了113分的那位同學(xué)做得最漂亮，其余學(xué)生或多或少能得一、二分，也還行！

考后有學(xué)生對(duì)于k值范圍的確定，“恍然大悟”明白到：知曉判別式等于零求得出k的值之后，不使用直線的“陡緩性”，直接采用與直線y=-x或直線y=x進(jìn)行對(duì)比【這種做法是值得提倡的“特殊值比較法”，教學(xué)中早已使用】，一眼就看出了結(jié)果；有學(xué)生說：當(dāng)時(shí)沒有想到這樣解題也行，吸取到教訓(xùn)了.

四、展一展【適宜補(bǔ)全】.

閱卷時(shí)，有數(shù)學(xué)教師反映：第19題講“恒在直線上方”這種說法不科學(xué).

實(shí)質(zhì)上，我們通常講“某一圖象在另一圖象的上方”指的是：過圖象上任意一點(diǎn)作一條平行于y軸的直線，此時(shí)比較兩圖象在該直線上的“高矮”位置既可以看成哪一圖象位于另一個(gè)圖象的上方（還是下方包括可能重合于一點(diǎn)）.

平常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們遇到比較多的是“請(qǐng)直接寫出當(dāng)y₁＞y₂或y₁=y₂或y₁＜y₂時(shí)，x的取值范圍”這樣的題型，第19題這道題將其說法進(jìn)行了提升，是可行的說法，非常的創(chuàng)新！值得點(diǎn)贊，也是本卷最精彩的考題之一。

鑒于以上兩道考題的詳細(xì)剖析，接下來看第23題中的第（3）小題就簡(jiǎn)單多了，只是增加了直線的“平移性”：兩直線平行，其系數(shù)K值相等；在求出直線BC的解析式后，可以設(shè)出與直線BC平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的新直線解析式，再與拋物線對(duì)應(yīng)的解析式聯(lián)立解方程組，在判別式△=0的前提下不難求出其面積最大的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，就是方程組的唯一解【畢竟點(diǎn)B與點(diǎn)C的位置是固定的，更何況平行線間的距離又是處處相等的.】.

有道是：

數(shù)學(xué)是思維的體操，

數(shù)學(xué)注重的是四基，

數(shù)學(xué)學(xué)好在于做悟；

數(shù)學(xué)能甄別出素能的高低永遠(yuǎn)是真理！

本卷這三道考題就是學(xué)生間“拉開差距”的“試金石”之一，非常貼切！