一、求等效擺長(zhǎng)

所謂擺長(zhǎng)意味著懸點(diǎn)到球心間的距離，同學(xué)們對(duì)下圖中各擺等效擺長(zhǎng)一看便知，迅速可得周期公式，分別為（注：擺球可看作質(zhì)點(diǎn)）：

，

若等效擺長(zhǎng)不易一眼看出，則應(yīng)從數(shù)學(xué)角度計(jì)算。

圖1      圖2      圖3

例1.由長(zhǎng)度依次為L(zhǎng)和2L的AC和BC兩根細(xì)繩懸掛小球C，如圖4所示，每根細(xì)繩跟豎直方向的夾角均為30°，當(dāng)該小球向紙內(nèi)外做微小擺動(dòng)時(shí)，其擺動(dòng)周期為_(kāi)__________。

圖4

簡(jiǎn)析：本題是一個(gè)雙線擺問(wèn)題，解決其周期，首先得確定其等效擺長(zhǎng)，連接AB，然后過(guò)擺球C作豎直線交直線AB于O點(diǎn)，則OC為該擺的等效擺長(zhǎng)，如圖5所示，L”，故周期：

圖5

二、求等效重力加速度

原始的單擺模型在振動(dòng)過(guò)程中回復(fù)力來(lái)源于重力的分量，要研究升降機(jī)中單擺的周期問(wèn)題，必須從研究回復(fù)力著手，求出其等效重力，再求等效重力加速度g'，則。

例2.在升降機(jī)中掛著一單擺，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，當(dāng)升降機(jī)以加速度a勻加速上升的過(guò)程中，求單擺的振動(dòng)周期T。

簡(jiǎn)析：?jiǎn)螖[在擺動(dòng)過(guò)程中，受重力和繩的張力F的作用，當(dāng)升降機(jī)勻加速上升時(shí)，單擺一方面繞懸點(diǎn)振動(dòng)，另一方面沿豎直方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)力的作用效果，將F分為三個(gè)力，如圖6所示，在豎直方向上，F(xiàn)₃與G的合力產(chǎn)生向上的加速度a，切線方向的F₁使單擺返回“平衡”位置，產(chǎn)生切向加速度，F(xiàn)₂沿?cái)[線方向產(chǎn)生做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心加速度。

圖6

因?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2018/05/1206/132786532_11_20180512064941457' data-ratio='0.09954751131221719' data-type='gif' data-w='221' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>。

又因?yàn)镕⊥F₁，所以：

當(dāng)很小時(shí)，。

故單擺在加速上升的升降機(jī)中所受回復(fù)力與位移成正比，且方向相反，得。

單擺在升降機(jī)中擺動(dòng)周期為：

顯然，我們稱之為等效重力加速度，同理，若升降機(jī)以加速度a勻加速下降，則：

。

可見(jiàn)在升降機(jī)中加速上升（或加速下降），可以等效為重力加速度發(fā)生變化，只要求出等效重力加速度，則單擺的周期問(wèn)題迎刃而解，現(xiàn)列舉另外幾種常見(jiàn)情形：

（1）在水平加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)

如圖7所示，若將單擺懸掛于水平加速向左運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)，其平衡位置由O變到了O”，等效重力加速度為，則振動(dòng)周期為。

圖7

（2）在斜面上加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)

如圖8所示，當(dāng)小車沿傾角為的光滑斜面自由滑下時(shí)，單擺的周期為，比小車靜止時(shí)要大。

圖8

（3）光滑斜面上的單擺

如圖9所示，單擺一端系于傾角為的光滑斜面上，產(chǎn)生回復(fù)力的是的切向分力，等效重力加速度為，周期為。

圖9

（4）復(fù)合場(chǎng)中的單擺

若將帶電量為q的單擺放入電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，如圖10所示，則得到最常見(jiàn)的復(fù)合場(chǎng)。

圖10

若擺球帶負(fù)電，則：

若擺球帶正電，則：

當(dāng)時(shí)，單擺停擺。

若電場(chǎng)方向改為水平，同理分析可得。

（5）在勻速運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星內(nèi)

因?yàn)閿[球受到的萬(wàn)有引力全部充當(dāng)了和衛(wèi)星一起環(huán)繞行星運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，所以處于完全失重狀態(tài)，單擺停擺。

三、用等效模型求T

在光滑的圓弧槽底端有一小球，且知圓弧半徑R遠(yuǎn)大于圓弧長(zhǎng)，其受力類似于單擺，容易證得小球運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則其周期為。

例3.如圖11所示，光滑圓弧槽半徑為R，A為最低點(diǎn)，C到A距離遠(yuǎn)小于R，兩質(zhì)點(diǎn)B和C都由靜止開(kāi)始釋放，問(wèn)哪一個(gè)小球先到A點(diǎn)？

圖11

簡(jiǎn)析：B球到A點(diǎn)時(shí)間用自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解，其時(shí)間：

C球第一次到達(dá)A點(diǎn)用單擺周期公式：

顯然，，即B球先到。

討論：要使兩球在A點(diǎn)相遇，可使B球上移，問(wèn)此時(shí)B球高度h為多少？

分析：B球下落時(shí)間為：

又C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)具有重復(fù)性，兩球相遇時(shí)間必有多解，相應(yīng)的h值亦應(yīng)有多解：

，

解得：