通過(guò)觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象可得如下結(jié)論。

的圖象是軸對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸方程為（），它們分別過(guò)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，同時(shí)又是中心對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為（，0）（），它們是圖象與x軸的交點(diǎn)。

對(duì)于的圖象，只要將的圖象向左平移個(gè)單位，就可相應(yīng)地得到對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)（）。

對(duì)于，它的圖象是中心對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為（）。

一般地，函數(shù)（，）既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸方程為（），且它們分別過(guò)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（簡(jiǎn)稱峰點(diǎn)和谷點(diǎn)），對(duì)稱中心坐標(biāo)為（），它們是圖象與x軸的交點(diǎn)。

函數(shù)（，）既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸方程為（），且它們分別過(guò)圖象的最值點(diǎn)，對(duì)稱中心坐標(biāo)為（），它們是圖象與x軸的交點(diǎn)。

例1、函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（  ）

A. 

B. 

C. 

D. 

解析：（驗(yàn)證法）把代入得，取得最值，應(yīng)選A。

（直接法）由，得，當(dāng)時(shí)，得，應(yīng)選A。

例2、函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則等于（  ）

A. 

B. ，

C. ，

D. ，

解析：由題意知，，此時(shí)，應(yīng)選B。

例3、函數(shù)的圖象，向右平移（）個(gè)單位，得到的圖象恰好關(guān)于對(duì)稱，則的最小正值為

A. 

B. 

C. 

D. 

解析：的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，且關(guān)于對(duì)稱，則，，取，得，應(yīng)選A。

例4、函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，求a的值。

解法1：（由所確定）

∴當(dāng)時(shí)，，得，，又，所以。

解法2：由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，得。

例5、函數(shù)（，）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱，且在上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。

解析：由是偶函數(shù)，得，即，所以。

因，所以，由，得。

由于的圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱，所以，當(dāng)時(shí)，，即。

∴，得。①

∵在上是單調(diào)函數(shù)，

∴，得。②

由①②知或。

例6、把函數(shù)的圖象向左平移m（）個(gè)單位，所得的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。（1）求m的最小值；（2）證明當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線斜率恒為負(fù)值。

解析：（1）由已知得，向左平移m個(gè)單位后得函數(shù)，由圖象關(guān)于直線對(duì)稱，知時(shí)必取得最大值或最小值。

∴或，即或，整理得

·，即，得，這時(shí)

。

（2）為了證明函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)的直線斜率恒為負(fù)值，只要尋找它的遞減區(qū)間（）包含區(qū)間。

當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，而為的真子集，即。

從而證明了圖象上任意兩點(diǎn)的直線斜率恒為負(fù)值。