纏論動力學3-分岔

前面講到了定點和定點的穩(wěn)定性是研究非線性動力系統(tǒng)最關(guān)鍵的東西，定點的穩(wěn)定性有一個影響的區(qū)域叫做Basin of Attraction。在簡單的非線性動力系統(tǒng)里，定點、定點的穩(wěn)定性和Basin of Attraction是重點研究對象。

一個動力學系統(tǒng)由狀態(tài)變量（構(gòu)成系統(tǒng)維度的變量）和控制變量（參數(shù)）組成。一般研究一個動力學系統(tǒng)時，會先假設(shè)參數(shù)不變，然后求定點和運動軌跡。對于一些簡單的動力學系統(tǒng)，其參數(shù)無論如何變化，該系統(tǒng)的基本性質(zhì)不會發(fā)生改變，但有一些動力學系統(tǒng)，當其參數(shù)的變化超越某個范圍時，系統(tǒng)的基本性質(zhì)就會發(fā)生徹底的改變。此時，我們叫它為Bifurcation（分岔）。

我們用一張圖來形象地表示：

圖中的小球一開始在谷底，處于穩(wěn)定平衡。山谷就代表了系統(tǒng)的參數(shù)，當參數(shù)確定時，山谷的形狀就隨之確定，當我們改變參數(shù)，山谷的形狀也隨之改變。例如，當參數(shù)改變，使得谷底開始變平，然后隆起，這時，原來谷底這個定點的穩(wěn)定性喪失，小球?qū)⒚媾R一次選擇，是落入左側(cè)的谷底還是右側(cè)的，那么這個變化過程就叫Bifurcation（分岔）。

由此可見，Bifurcation的本質(zhì)就是系統(tǒng)的反饋性質(zhì)的變化，當小球在谷底，此時是一個負反饋（地球引力）保證它不會離開，而當谷底變平并隆起的過程，負反饋變成正反饋（谷底向上的支撐力大于地球引力）。

當小球處于隆起部分的最高點時，這個點稱之為Bifurcation Point（分岔點），它的狀態(tài)是不穩(wěn)定的，隨便一個擾動即可使得其運動的方向發(fā)生改變，也就是說它最終選擇向左還是向右是非常敏感的，在歷史上，我們往往稱之為歷史性時刻，或者是歷史的轉(zhuǎn)折點。當它一旦選擇了方向，其后的運動又會被負反饋束縛，進入新的穩(wěn)定性定點。

分岔在日常生活中的案例比比皆是，比如疾病，很多疾病是由日積月累的壞習慣形成的，一天兩天的壞習慣并不足以導致疾病，當達到某個臨界點時，也就是分岔點時，就立刻進入疾病狀態(tài)，再想治愈它就不是幾天的事情，而需要花費更多的功夫。我們常說的量變引起質(zhì)變，在動力學中，就是達到了分岔點。

此外，分岔點還體現(xiàn)在一些決定性瞬間，例如高考、辭去公職下海，顧順章叛變時上海地下黨的安全撤離。。。。。。在分岔點的時候，系統(tǒng)的前途未卜，任何風吹草動都會帶來截然不同的結(jié)果，這時候一個小事件就會影響到整個國家的命運。

中國的歷史也是一個大的動力學系統(tǒng)，從歷史記載的初期東周列國開始，一直到秦國一統(tǒng)七國，就經(jīng)歷了分岔，因為動力學系統(tǒng)的基本性質(zhì)發(fā)生了改變，從之前的眾邦國平衡態(tài)轉(zhuǎn)到了大帝國循環(huán)的動力學模型，因此，春秋戰(zhàn)國時期就是歷史上的關(guān)鍵點，即使在秦朝建立初期，前一個動力學模型依然沒有完全結(jié)束，兩個動力學模型還在競爭，這就是分岔點，因為雖然眾邦國的政府已經(jīng)不在，但在人們的觀念上還在，這就導致秦國的歷史只有短短20年，陳勝吳廣一嗓子“王侯將相，干它娘的！”之后，各國的舊貴族紛紛揭竿反秦。

項羽的悲劇是動力學系統(tǒng)所決定的，因為他雖然奪了天下，但思想觀念依然停留在舊的動力學系統(tǒng)中，只想趕緊分封諸侯，回到六國舊夢。因此，他注定是個悲劇人物，而被新模型的代表---劉邦干趴下，這種手握倆王四個二的好牌都輸?shù)脑虿辉谟诔酝跻粋€人，而是這神奇的分岔點選擇了新模式之后，任何人都無法阻擋社會向新的模型定點靠攏。

所謂的天意，不過是系統(tǒng)向定點的移動而已，歷史學最終也會被數(shù)學家顛覆。