一、我們面臨的現(xiàn)實

　　課改迅猛推進，亟待解決的問題多多：新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設計難適應；教學方式、學習方式的變革難跟上；課程改革與考試評價制度的改革不配套；等。

　　二、教學層面的問題

　　課堂教學抓不住數(shù)學概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數(shù)學思想主線，在學生沒有基本了解數(shù)學概念和思想方法時就進行大量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領，在無關大局的細枝末節(jié)上耗費學生寶貴時間，數(shù)學課堂中效益、質量“雙低下”。學生花大量時間學數(shù)學，做無數(shù)的練習，但數(shù)學基礎仍很脆弱。

　　我國數(shù)學教學質量滑坡的現(xiàn)象并沒有隨課改而得到改觀，而是越來越嚴重了。

　　例1 “平方根”教學中的不當問題。

　　是近似值，無法在數(shù)軸上準確表示。

　　帶根號的數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。

　　數(shù)軸上任意兩點之間都有無數(shù)個點。

　　若a＞|b|，則a²＞b²。

　　的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是m，n，求m－n。

　　三、教師層面的問題分析

　　對數(shù)學課程、教材的體系結構、內容及其組織方式把握不準，特別是對中學數(shù)學核心概念和思想方法的體系結構缺乏必要的了解；

　　對中學數(shù)學概念的核心把握不準確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高；

　　只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學教學目標，導致教學措施無的放矢，對是否已經(jīng)達成教學目標心中無數(shù)；

　　對自己設計的教學方案不能取得預期效果，不能從設計層面給出令人信服的解釋，往往只把問題歸咎于教學系統(tǒng)的復雜性；

　　缺乏有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學問題的方法，往往感到教學問題的存在而不知其所在，或者發(fā)現(xiàn)了問題而找不到原因，甚至發(fā)現(xiàn)了問題及其根源也找不出解決問題的有效方法；

　　采取的教學方法、策略和模式都比較單一，機械地套用一些已有的解決教學問題方案，缺乏根據(jù)教學問題和教學條件創(chuàng)建解決教學問題的新方法。

　　四、努力的方向──專業(yè)化

　　1．數(shù)學學科的專業(yè)素養(yǎng)

　　有較好的數(shù)學功底（教好數(shù)學的前提是自己先學好數(shù)學），對數(shù)學內容所反映的思想、精神有深入的體會和理解；懂得哪些數(shù)學知識對學生的發(fā)展具有根本的重要性；具有揭示數(shù)學知識所蘊含的科學方法和理性思維過程的能力和“技術”；等。

　　2．教育學科的專業(yè)素養(yǎng)

　　一個人的可持續(xù)發(fā)展，不僅要有扎實的雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、主動發(fā)展的需求、終身學習的愿望、熱情、能力和堅持性、健康向上的人生觀和價值觀。教師在這些方面對學生的影響力，就是教師的教育學科專業(yè)素養(yǎng)的最重要指標。

　　3．“兩個素養(yǎng)”的結合

　　善于抓住數(shù)學的核心概念和思想方法，懂得削枝強干；對數(shù)學知識中蘊含的價值觀資源特別敏感，有挖掘這些資源并用與學生身心發(fā)展相適應的方式表述的能力，使數(shù)學知識教學與價值觀影響有機整合；方法多樣、有趣味、少而精；能有效激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)揮學生學習的主動性、積極性，使學生有效學習、主動發(fā)展，使他們不僅學業(yè)成就得到提高，而且發(fā)展均衡。

　　五、數(shù)學課堂教學──教什么

　　構建反映數(shù)學內在發(fā)展邏輯、符合學生數(shù)學認知規(guī)律的中學數(shù)學核心概念、思想方法結構體系，并使核心概念、思想方法在數(shù)學課堂中得到落實，是提高數(shù)學課堂教學質量和效益的突破口，同時也是數(shù)學課堂教學改革的抓手。因為使學生真正領會和把握數(shù)學概念的核心，領悟概念所反映的數(shù)學思想方法，學會數(shù)學地思維，才能形成功能強大的數(shù)學認知結構，切實發(fā)展數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)。

　　例2 代數(shù)的核心概念、思想方法。

　　有系統(tǒng)、有效力地運用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運算的運算律，去解決各種各樣的代數(shù)問題：

　　各種式（整式、分式、根式等）的運算──用運算律進行“等價變換”；

　　方程──未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)關系；解方程──由代數(shù)方程式確定其中的“未知數(shù)”的值；

　　解方程的基本原理：運算律對任何數(shù)都成立（通性），所以對“未知數(shù)”也成立、可用。有系統(tǒng)地用運算律化簡所給的方程，從而確定其中的未知數(shù)──化未知為已知。

　　一元一次方程是基礎，其它都設法向它轉化。

　　許多問題是在引進字母表示數(shù)時才水到渠成地提出來的──從處理單個的數(shù)到處理一類問題。

　　從代數(shù)式（符號代表數(shù)）、方程（符號代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號代表變數(shù)）是一個飛躍，這是看問題角度的根本變化──從變化過程中考察規(guī)律，函數(shù)是研究變化規(guī)律的。

　　一次函數(shù)y=kx+b的變化規(guī)律由誰反映──不僅明確x，y的意義，而且明確k，b的意義──變化規(guī)律由k，b決定。

　　其他函數(shù)也類似。

　　六、基于概念的核心、思想方法的教學設計框架

　　1．教學設計的基本線索

　　概念及其解析（概念的核心）；目標和目標解析；教學問題診斷（達成目標已有條件和需要的新條件的分析）；教學過程設計；目標檢測的設計。

　　2．概念和概念解析

　　概念：內涵和外延的準確表達；

　　概念解析：重點是在揭示內涵的基礎上說明概念的核心之所在；對概念在中學數(shù)學中的地位的分析，對內容所反映的思想方法的明確。在此基礎上確定教學重點。

　　例3 “三線八角”概念的核心。

　　定義：“兩條直線”被“第三條直線所截”，得到八個角。

　　對頂角、內錯角、同位角、同旁內角，都是關于一對角的位置關系。

　　關鍵：根據(jù)結構特征進行分類。

　　例4 一元二次方程的核心。

　　知識：概念（未知數(shù)、系數(shù)）；解法和公式──通法；判別式──解的情況（通性）；根與系數(shù)的關系──通性。

　　思想方法：等價轉化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開方等運算）；對方程的根、系數(shù)之間關系進行研究的思想──方法論層次。

　　3．目標和目標解析

　　目標是教學目的的具體化，是教學活動每一階段所要實現(xiàn)的教學結果，是衡量教學質量的標準。

　　目標：用了解、理解、掌握等及相應的行為動詞經(jīng)歷、體驗、探究等表述目標；闡明經(jīng)過教學，學生將有哪些變化，會做哪些以前不會做的事。

　　目標解析：解析了解、理解、掌握、經(jīng)歷、體驗、探究等的含義。特別注意對概念所反映的數(shù)學思想方法的解析。

　　例5  “三線八角”的教學目標。

　　目標：識別同位角、內錯角、同旁內角（課標）。

　　目標解析：

　　正確地分析圖形的結構特征，從中找到“兩條直線”和“第三條直線”，確定角的關系（同位角、內錯角、同旁內角）。

　　以“結構特征”為依據(jù)，對角進行分類，確定角的特定關系的思想方法。

　　例6 一元二次方程的解法。

　　目標：掌握一元二次方程的解法。

　　解析：

　?。?）能用具體的方法，如開方法、因式分解法、配方法、公式法等解方程；

　?。?）能用等價轉化（如x²=a、（x－x₁）（x－x₂）=0等）、化歸（通過代數(shù)運算轉化方程，化未知為已知）等探究一元二次方程的解。

　　例7  一元二次方程根的判別式。

　　目標：掌握一元二次方程根的判別式。

　　解析：──對“掌握”的內涵作具體界定。

　?。?）在用配方法推導求根公式的過程中，理解判別式的結構和作用；

　?。?）能用判別式判斷數(shù)字系數(shù)的一元二次方程根的情況；

　?。?）能用判別式判斷字母系數(shù)的一元二次方程根的情況；

　　（4）能應用判別式解決其他情境中的問題。

　　例8  根與系數(shù)的關系。

　　目標：掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系。

　　解析：

　　（1）提出問題的方法──根的個數(shù)、符號、根與根之間的關系、根和系數(shù)的關系（根由系數(shù)唯一確定、具體關系的探究）、由根作新的方程（解方程的反問題）、根──多項式的因子……；

　　（2）通過運算所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律──代數(shù)的基本方法；等等。

　　4．教學問題診斷分析

　　教師根據(jù)自己以往的教學經(jīng)驗，數(shù)學內在的邏輯關系以及思維發(fā)展理論，對本內容在教與學中可能遇到的障礙進行的預測，并對出現(xiàn)障礙的原因進行分析。在上述分析的基礎上指出教學難點。

　　例9 “三線八角”中的難點。

　　學生初次接觸平面幾何關于位置關系、大小度量的討論，在思想方法上存在困難外，對于認識幾何問題的一般程序也存在困難。復雜的圖形會使學生感到無從下手。

　　教學難點：對圖形結構特點的理解并正確地對角分類；在具體（變式）圖形中正確找出有關的角。

　　∠B和∠BCE可以看成是直線     ，     被直線     所截得的     角；∠B和∠BCD可以看成是直線     ，     被直線      所截得的      角。

　　例10 一元二次方程中的難點。

　　真正的難點還是在思想方法上：等價轉化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開方等運算）；對方程的根、系數(shù)之間關系進行研究的思想──如何提出研究的問題；分類討論思想。

　　具體操作上：由平方根概念所附帶產(chǎn)生的難點。

　　5．教學支持條件分析

　　為了有效實現(xiàn)教學目標，根據(jù)問題診斷分析和學習行為分析，分析應當采取哪些教學支持條件，以幫助學生更有效地進行數(shù)學思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。當前，可以適當?shù)貍戎赜谛畔⒓夹g的使用，以構建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境。

　　6．教學過程設計

　　強調教學過程的內在邏輯線索；

　　給出學生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構和技能操作過程，突出思想方法的領悟過程分析；

　　以“問題串”方式呈現(xiàn)為主，應當認真思考每一問題的設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養(yǎng)的能力，等；

　　根據(jù)內容特點設計教學過程，如基于問題解決的設計，講授式教學設計，自主探究式教學設計，合作交流式教學設計，等。

　　例11  “三線八角”的教學過程。

　　問題1（1）請回顧一下角的概念。（2）對頂角、鄰補角是怎樣形成的？我們是怎樣研究它們的性質的？

　　設計意圖：強調從結構特征、討論問題的思想方法等角度，對已有知識進行復習回顧，為新知識的學習提供借鑒。

　　先行組織者：兩條直線相交形成四個角，它們的關系（性質）已經(jīng)清楚（特例是垂直）。接下來可以研究一條直線與兩條直線分別相交，可以得到哪些角，它們又有什么關系（性質）。

　　意圖：提出問題的方法、研究思路的引導。

　　問題2：畫出一條直線與兩條直線分別相交的圖形。共得到幾個角？你知道哪些角的關系？

　　設計意圖：培養(yǎng)學生畫圖的習慣；分析出需要研究的新問題（思維的邏輯性）。

　　問題3：我們沒有研究過的是哪些角的關系？如何把這些角分類？

　　設計意圖：引導學生學習根據(jù)一定標準分類的研究方法。

　　問題4：如圖，直線AB，CD被直線EF所截?！?與沒有公共定點的∠5，∠6，∠7，∠8的關系可以怎樣描述？可分為幾類？

　　設計意圖：讓學生自己描述這些角的結構特征，并分類。

　　說明：本問題是本課的關鍵，可多給時間，教師可在確定分類標準上給予引導。

　　問題5：圖中，（1）與∠1、∠5具有相同位置關系的角還有哪幾對？（2）還有哪幾對角的位置關系是問題4中沒有包括的？

　　設計意圖：從圖中識別同位角，及時鞏固概念；引導學生觀察圖形，從分類角度認識內錯角、同旁內角概念。

　　可以安排讓學生找出所有內錯角、同旁內角的活動。

　　教科書只敘述了事實，給了名字。數(shù)學思想方法沒有明確──要學生自己悟。

　　例題：

　　主要是通過圖形變式，讓學生在逐漸復雜的圖形中識別有關角。要幫助學生總結操作要點：兩個角由哪條直線截另兩條直線形成的──關鍵是確定“所在公共直線”。

　　要注意使用反例。

　　課堂小結：從如下幾個方面進行總結。

　?。?）問題的提出──自然、水到渠成；

　?。?）研究的思想方法──位置關系的分類，提醒分類標準──角與三條直線的相對位置；

　?。?）歸納概括概念的內涵，注意使用“等值語言”，如“同位”即“同一個方位”等；

　?。?）用概念進行判斷的步驟、注意事項等。

　　7．目標檢測設計

　　習題、練習方式的檢測。要明確每一個（組）習題或練習的設計目的，加強檢測的針對性、有效性。

　　注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無益；基礎不夠的題目更是貽害無窮──題目出不好是老師專業(yè)素養(yǎng)低的表現(xiàn)之一。

　　例12 分式概念的檢測題比較。

　?。?）什么時候有意義？

　　（2）什么時候有意義？

　　（3）什么時候有意義？什么時候為0？

　?。?）什么時候有意義？什么時候為0？

　　結束語

　　圍繞數(shù)學核心概念、思想方法進行教學；

　　在挖掘知識所蘊含的價值觀資源上狠下功夫；

　　使學生打下扎實雙基的過程中，形成積極的生活態(tài)度，主動發(fā)展的需求，終身學習的愿望、熱情、能力和堅持性，健康向上的人生觀和價值觀。