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試題分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以； （2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在  中點(diǎn)時(shí)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)． 試題解析：（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB， ∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD為等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和諧線； （2）由題意作圖為：圖2，圖3  （3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴∠CAD=30°，   ∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠BCD=60°+75°=135°． 如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90°， ∴四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90° 如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=  AD，∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四邊形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF= BC，∴∠BCF=30°． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE= ∠BCF=15°，∴∠BCD=15°×3=45°． |
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