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盧昌海的系列文章:質(zhì)量的起源(5)

 老夫不請自來也 2018-03-01
 

質(zhì) (5)

- 盧昌海 -

十一. 手征對稱性自發(fā)破缺

手征對稱性SU(2)A是量子色動力學(xué)Lagrangian中的(近似)對稱性,卻在現(xiàn)實(shí)世界中完全找不到對應(yīng)。這究竟是什么原因?當(dāng)時(shí)物理學(xué)家們已經(jīng)知道對稱性可以自發(fā)破缺,如果量子色動力學(xué)中的手征對稱性是自發(fā)破缺的,顯然就會出現(xiàn)這種Lagrangian具有(近似)手征對稱性,客觀世界卻并不買賬。但是,猜測歸猜測,要想在理論上嚴(yán)格證明這一點(diǎn),哪怕只是在物理學(xué)而不是數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)下嚴(yán)格證明,卻是極其困難的。

本來對稱性自發(fā)破缺在電弱統(tǒng)一理論中用得好好的,為什么在量子色動力學(xué)中就變得極其困難了呢?這是因?yàn)樵陔娙踅y(tǒng)一理論中對稱性自發(fā)破缺是由人為引進(jìn)的Higgs場產(chǎn)生的,我們有一定的自由度來選擇對稱性破缺的方式。但量子色動力學(xué)并不包含這種人為引進(jìn)的Higgs場,量子色動力學(xué)中的整體SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 對稱性是否自發(fā)破缺,或者如果破缺又是否恰好是手征部分SU(2)A 破缺(即破缺到SU(2)V×U(1)V),都只能由理論本身來決定,而不是我們可以擅自假設(shè)的。正是這一特點(diǎn)使問題變得極其困難[1]。更麻煩的是,手征對稱性的破缺如果出現(xiàn)的話,乃然是一種出現(xiàn)在量子色動力學(xué)的強(qiáng)相互作用區(qū)域即低能區(qū)域的現(xiàn)象。對于理論研究來說,無疑是雪上加霜。

另一方面, 對稱性自發(fā)破缺的存在與否及具體方式由理論本身所決定,雖然為量子色動力學(xué)帶來了一個(gè)極其困難的理論問題,同時(shí)卻也是它的一個(gè)極大的理論優(yōu)勢。因?yàn)殡娙踅y(tǒng)一理論之所以只是對質(zhì)量起源問題的一個(gè)不盡人意的回答,一個(gè)很重要的原因就是Higgs場以及它與費(fèi)米場之間的相互作用即Yukawa 耦合都是人為引進(jìn)的,它們都是所謂的自由參數(shù)(free parameter)。量子色動力學(xué)沒有這類自由參數(shù),它與觀測之間的對比更為嚴(yán)酷:如果成功,將是極具預(yù)言能力的成功,因?yàn)樽杂蓞?shù)越少,預(yù)言能力就越強(qiáng);但如果失敗,也將是無力回天的失敗,因?yàn)樽杂蓞?shù)越少,回旋余地也就越小。

那么量子色動力學(xué)究竟能不能實(shí)現(xiàn)從SU(2)V×SU(2)A×U(1)V SU(2)V×U(1)V 的對稱性自發(fā)破缺呢?目前在理論上還是一個(gè)待解之謎。1979't Hooft(特.胡夫特通過對規(guī)范理論中的反常(anomaly) 進(jìn)行分析,得到了一個(gè)結(jié)果:即如果所考慮的整體對稱性是SU(3)V×SU(3)A×U(1)V,那它就必須自發(fā)破缺。可惜的是,一來量子色動力學(xué)中的SU(3)對稱性遠(yuǎn)比SU(2)對稱性粗糙,二來這一結(jié)果并未告訴我們具體哪一部分對稱性會自發(fā)破缺。1980年,美國物理學(xué)家Sidney Coleman (西德尼.科爾曼,1937-2007)Edward Witten(愛德華.威滕,1951-)提出了在某些合理的物理?xiàng)l件下,當(dāng)色的數(shù)目Nc 趨于無窮時(shí),手征對稱性必須自發(fā)破缺。這一結(jié)果雖然抓準(zhǔn)了手征對稱性,但可惜量子色動力學(xué)中色的數(shù)目Nc 不僅不是無窮,而且還很小(Nc=3)。1984年,伊朗裔美國物理學(xué)家Cumrun Vafa (卡姆朗.瓦法1960-)Witten證明了未被非零夸克質(zhì)量項(xiàng)所破缺的同位旋對稱性(試想現(xiàn)實(shí)世界里這一對稱性由什么群來表示)不會自發(fā)破缺。可惜這一證明雖然表明特定的同位旋對稱性不會自發(fā)破缺,卻未能對手征對稱性是否一定會自發(fā)破缺提供說明。

雖然理論研究沒有一個(gè)能夠證明量子色動力學(xué)中的SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 整體對稱性必定會自發(fā)破缺到SU(2)V×U(1)V,但它們都與這一破缺方式相容,這無疑還是大大增強(qiáng)了人們的信心。在物理學(xué)上,嚴(yán)格證明是一種美妙的東西,但有時(shí)卻可望而不可及,物理學(xué)家們的工作往往并不總是依賴于它。迄今為止,雖然尚未有人能夠給出量子色動力學(xué)中手征對稱性自發(fā)破缺的嚴(yán)格證明,但從這一破缺方式已經(jīng)得到的大量間接證據(jù)來看,它的證明應(yīng)該只是時(shí)間問題。物理學(xué)家們更感興趣的是:如果手征對稱性自發(fā)破缺,我們又可以從中得到什么推論?基于這個(gè)思考,人們已經(jīng)做了不少細(xì)致研究,并獲得了極大的成功,不僅給出了被稱為手征微擾理論” (chiral perturbation theory)的描述低能量子色動力學(xué)的所謂有效場論” (effective field theory),而且得到了一系列與實(shí)驗(yàn)相吻合的漂亮結(jié)果。這些反過來也為手征對稱性的自發(fā)破缺提供了進(jìn)一步的間接證據(jù)。

十二. Goldstone 粒子的質(zhì)量

由手征對稱性自發(fā)破缺啟發(fā)的推論中與質(zhì)量起源問題有密切關(guān)系的,在 第七節(jié) 中介紹的無質(zhì)量的標(biāo)量粒子,即Goldstone粒子,它與自發(fā)破缺的對稱性所對應(yīng)的荷具有相同的宇稱及內(nèi)稟量子數(shù)。對于手征對稱性來說,荷是(QA)a,它在時(shí)空中是一組贗標(biāo)量,在內(nèi)稟空間中則是一個(gè)矢量,因此相應(yīng)的Goldstone 粒子的宇稱為負(fù),同位旋則為1。自然界里滿足這些特征的強(qiáng)子中質(zhì)量最輕的是π介子包括π-、π0 π+。如果手征對稱性是自發(fā)破缺的,π介子就應(yīng)該是這一破缺所對應(yīng)的Goldstone粒子[2]。但是,Goldstone粒子是無質(zhì)量的,π介子卻是有質(zhì)量的。這一矛盾該如何解決呢?

在理想的對稱性自發(fā)破缺情形下,體系的實(shí)際真空態(tài)可以是一系列簡并真空態(tài)中的任何一個(gè)。但是,量子色動力學(xué)中的手征對稱性破缺卻并非理想情形下的破缺,因?yàn)榱孔由珓恿W(xué)的Lagrangian含有手征對稱性的明顯破缺項(xiàng),即夸克的質(zhì)量項(xiàng)。由于這種明顯破缺項(xiàng)的存在,實(shí)際真空態(tài)的選取就不再是任意的了,明顯破缺項(xiàng)的存在將會對實(shí)際真空態(tài)起到一個(gè)選擇作用。這就好比一根立在桌上的筷子,如果桌子是嚴(yán)格水平的,它向任何一個(gè)方向倒下都是同等可能的,如果桌子是傾斜的,筷子就會往傾斜度最大的方向倒。用數(shù)學(xué)的語言來說(符號的含義與第七節(jié)相同)如果V1a) (a=1,...,N)表示對稱性的明顯破缺項(xiàng),那么,它所選出的真空態(tài)將滿足下列條件:

Δa(φ) (?V1/?φa) = 0

這一條件被稱為真空取向條件(vacuum alignment condition)。另一方面,明顯破缺項(xiàng)的存在也破壞了Goldstone定理成立的條件,由此導(dǎo)致的結(jié)果是Goldstone粒子有可能具有非零質(zhì)量,這樣的粒子被稱為贗Goldstone粒子(pseudo-Goldstone particle)。真空取向條件是確定贗Goldstone粒子質(zhì)量的重要條件。贗Goldstone粒子的出現(xiàn)消除了π介子的非零質(zhì)量與Goldstone粒子的零質(zhì)量之間的定性矛盾。但是,在定量上π介子與贗Goldstone粒子的質(zhì)量是否吻合?我們現(xiàn)在就來看一看。

如前所述,對于量子色動力學(xué)中的手征對稱性來說,對稱性的明顯破缺項(xiàng)為質(zhì)量項(xiàng),它可以改寫成:

V1 = (1/2)(mu+md)ΨΨ + (1/2)(mu-md)(uu-dd)

其中 ΨΨ = uu+dd。上式的特點(diǎn)是:第一項(xiàng)只破壞手征對稱性,第二項(xiàng)則破壞同位旋對稱性。研究表明,在這些特點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮到不存在同位旋對稱性的自發(fā)破缺這一限制,可以得到贗Goldstone粒子的質(zhì)量為:

Mπ2 = (1/2)(mu+md)<0|ΨΨ|0>/Fπ2

這一結(jié)果也可以從手征微擾理論得到,其中Fπ 是一個(gè)量綱為能量的常數(shù),由

<0|Aμa(x)|πb(p)> = ipμFπδabe-ipx

來定義。Fπ 被稱為π衰變常數(shù)pion decay constant,可以由π介子的衰變來確定,原則上也可以由理論上計(jì)算得到,其數(shù)值約為92.4 MeV[3]。<0|ΨΨ|0>是一個(gè)量綱為能量三次方的參數(shù),被稱為手征凝聚(chiral condensation),目前人們對它的計(jì)算還比較粗略,結(jié)果大致為<0|ΨΨ|0>(270 MeV)3nf,其中nf為參與凝聚的夸克種類,對于所要考慮的情形nf=2即只有u 夸克和d 夸克參與凝聚[4]。mu+md 通常取8-9MeV。由此可以得到:Mπ140MeV。這幾乎正好就是π介子的質(zhì)量π± 的質(zhì)量約為140MeV;π0 的質(zhì)量約為135MeV。當(dāng)然,估算是相當(dāng)粗略的,不能因數(shù)值上接近吻合而高估它的精度。在結(jié)合了格點(diǎn)量子色動力學(xué)lattice QCD計(jì)算的大量更為細(xì)致的研究表明,這種吻合并非偶然[5]

現(xiàn)在讓我們再次回到質(zhì)量的起源這個(gè)主題。量子色動力學(xué)計(jì)算出了作為贗Goldstone粒子的π介子的質(zhì)量。如果我們想知道π介子的質(zhì)量起源,這可以算是一種回答??上У氖?,這種回答與我們在第六節(jié)中介紹的電磁自能具有相同的缺陷,那就是它正比于在理論中無法約化的外來參數(shù):夸克質(zhì)量。一旦外來參數(shù)不存在,即夸克質(zhì)量為零,這一回答就會失效因?yàn)樗玫降拇鸢敢矊榱恪?/SPAN>因此量子色動力學(xué)對π介子及其它贗Goldstone粒子質(zhì)量的計(jì)算雖然很漂亮,從回答質(zhì)量本原問題的角度看仍然不足以令人滿意。

十三. 一個(gè)93 分的答案

當(dāng)我們把目光轉(zhuǎn)到更復(fù)雜,同時(shí)也更具現(xiàn)實(shí)意義的強(qiáng)子質(zhì)子和中子,以下統(tǒng)稱核子的質(zhì)量時(shí),卻會看到量子色動力學(xué)的確為質(zhì)量起源問題提供了一個(gè)非常精彩的回答。

計(jì)算核子或其它重子的質(zhì)量是一個(gè)相當(dāng)困難的低能量子色動力學(xué)問題,通常的做法是利用巨型計(jì)算機(jī)進(jìn)行格點(diǎn)量子色動力學(xué)計(jì)算。由于技術(shù)上的限制,人們在這類格點(diǎn)量子色動力學(xué)計(jì)算中采用的u夸克和d夸克的質(zhì)量一度要比它們的實(shí)際質(zhì)量高出5倍左右,由此得到的核子質(zhì)量通常也要比實(shí)際值高出30%以上。近幾年隨著技術(shù)的演進(jìn),格點(diǎn)量子色動力學(xué)計(jì)算所采用的夸克質(zhì)量已逐漸降低,甚至已有一些研究者開始采用實(shí)際質(zhì)量。

另一方面,與格點(diǎn)量子色動力學(xué)計(jì)算中夸克質(zhì)量的不可承受之重截然相反,在我們前面提到的手征微擾理論中,夸克的質(zhì)量卻是越輕越好,甚至最好是零。顯然,如果我們能在這兩種極端之間作某種調(diào)和,借助手征微擾理論對格點(diǎn)量子色動力學(xué)的計(jì)算進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐馔?,就有可能得到更接近現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)果。這正是物理學(xué)家們在計(jì)算核子質(zhì)量時(shí)采用的手段。這種借助手征微擾理論對格點(diǎn)量子色動力學(xué)計(jì)算進(jìn)行外推的方法被稱為手征外推(chiral extrapolation)。利用手征外推得到的核子質(zhì)量為:

mN = m0 - 4c1Mπ2 + O(Mπ3)

其中m0 880MeVc1-1GeV-1;Mπ2 π介子的質(zhì)量平方,它正比于夸克質(zhì)量。若干更高階的項(xiàng)也已被計(jì)算出,在此不細(xì)述。

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上述公式,我們可以得到:mN954MeV,它與實(shí)際的核子質(zhì)量質(zhì)子約為938 MeV,中子約為940 MeV相當(dāng)接近。不僅如此,系統(tǒng)的計(jì)算包括來自部分高階項(xiàng)的貢獻(xiàn)還給出了許多其它重子的質(zhì)量,比如 mΣ1192MeV實(shí)驗(yàn)值約:Σ+:1189MeV,Σ01193 MeV,Σ-1197MeVmΛ1113MeV實(shí)驗(yàn)值約1116 MeV;mΞ1319MeV實(shí)驗(yàn)值約:Ξ01315MeVΞ-1321MeV。這些結(jié)果都與實(shí)驗(yàn)有不錯(cuò)的吻合[6],表明了量子色動力學(xué)的確可以用來計(jì)算重子質(zhì)量。

那么,從回答本原問題的角度看,這些計(jì)算是否令人滿意?

從上面所引的核子質(zhì)量公式中可以看到,上述核子質(zhì)量有一個(gè)不同于贗Goldstone粒子質(zhì)量的至關(guān)重要的特點(diǎn),那就是它在手征極限即夸克質(zhì)量為零時(shí)不為零,這樣得到的是m0 880MeV。這個(gè)數(shù)值約為核子質(zhì)量的93%,它完全是由量子色動力學(xué)所描述的相互作用所確定的[7]。這表明即便不引進(jìn)任何外來的夸克質(zhì)量,量子色動力學(xué)仍能給出核子質(zhì)量的絕大部分。由于宇宙中可見物質(zhì)的質(zhì)量主要來自核子的質(zhì)量,因此宇宙中可見物質(zhì)質(zhì)量的絕大部分都可以在不引進(jìn)夸克質(zhì)量的情況下,由純粹的量子色動力學(xué)加以說明。從這個(gè)意義上講,量子色動力學(xué)為質(zhì)量起源問題提供了一個(gè)獨(dú)特而精彩的回答。這一回答不象電弱統(tǒng)一理論那樣帶有比所要解釋的質(zhì)量參數(shù)還要多的可調(diào)參數(shù),因而非常符合回答本原問題的需要。不過,由于它只能給出核子質(zhì)量的93%,因此我們粗略地給它打93分。在標(biāo)準(zhǔn)模型的范圍內(nèi),這是迄今所知的最佳回答。

93分雖然是一個(gè)高分,但畢竟不是滿分。為了尋找更接近滿分的答案,我們不得不重新回到標(biāo)準(zhǔn)模型中不能約化的那些質(zhì)量,包括使量子色動力學(xué)丟掉7分的夸克質(zhì)量上來。那些質(zhì)量究竟來自何方?究竟還能不能約化?這些問題的答案如果有的話,就只能到標(biāo)準(zhǔn)模型之外去尋找了。

注釋

1.從實(shí)驗(yàn)上觀測到的強(qiáng)子譜來看,量子色動力學(xué)中SU(2)V×SU(2)A×U(1)V 對稱性幾乎肯定是破缺成了SU(2)V×U(1)V 即手征對稱性被破缺了,但這并不意味著量子色動力學(xué)的真空一定能夠?qū)崿F(xiàn)這一破缺方式。相反,能否實(shí)現(xiàn)這一破缺方式在很大程度上可以視為是對量子色動力學(xué)的檢驗(yàn)。

2. π介子的質(zhì)量遠(yuǎn)小于其它強(qiáng)子的質(zhì)量,這一點(diǎn)很早就引起了人們的注意。為了解釋這一現(xiàn)象,早在量子色動力學(xué)出現(xiàn)之前的1960年,Nambu(南部)就提出可能存在一種極限情形相當(dāng)于后來的手征極限,在其中π介子是對稱性自發(fā)破缺所產(chǎn)生的無質(zhì)量粒子。中國物理學(xué)家周光召也于1961年提出過類似的想法。

3. 不同的文獻(xiàn)對Fπ 有不同的定義,彼此相差一個(gè)常數(shù)因子2 √2。

4. 這一結(jié)果在定性上是可以預(yù)期的,因?yàn)樗笾碌扔诹孔由珓恿W(xué)中除夸克質(zhì)量外的唯一能標(biāo)ΛQCD的三次方。感興趣的讀者可以定性地思考:在不考慮夸克質(zhì)量的情況下,量子色動力學(xué)Lagrangian中唯一的參數(shù)是無量綱的耦合常數(shù),那么象ΛQCD 這樣的能標(biāo)從何而來?

5.對于夸克質(zhì)量的估計(jì)本身就在一定程度上運(yùn)用了π介子及其它幾種介子的質(zhì)量。因此,孤立地看,這里所謂的吻合帶有循環(huán)論證的意味。人們對強(qiáng)子質(zhì)量的計(jì)算是大量而系統(tǒng)的,涉及的粒子種類遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于輕夸克的數(shù)目,當(dāng)我們把所有這些計(jì)算綜合起來看的時(shí)候,這種吻合就不再是循環(huán)論證了,而是成為了很強(qiáng)的自洽性檢驗(yàn)(consistency check)。這一點(diǎn)也適用于后文所述的對重子質(zhì)量的計(jì)算。

6. 這些數(shù)值對比來自本文寫作之初所參閱的文獻(xiàn),是大約十年前的研究結(jié)果。感興趣的讀者可以查閱一下新近文獻(xiàn),看是否有更好的結(jié)果。

7. 這個(gè)質(zhì)量對應(yīng)于一個(gè)由無質(zhì)量的夸克和膠子組成的束縛態(tài)的質(zhì)量。撇開計(jì)算上的復(fù)雜性不論,我們定性地講量子色動力學(xué)對這一質(zhì)量確實(shí)并不玄妙,它與量子力學(xué)對氫原子結(jié)合能的確定相類似當(dāng)然,氫原子在零質(zhì)量極限下是不存在的,量子色動力學(xué)所具有的這種質(zhì)量隙”(mass gap)現(xiàn)象是高度非平凡的。另外,這個(gè)質(zhì)量完全由相互作用所決定,在這一點(diǎn)上它有點(diǎn)類似于Mach(馬赫)早年的想法,只不過Mach設(shè)想的相互作用來自遙遠(yuǎn)的星體,而量子色動力學(xué)計(jì)算涉及的是微觀世界的相互作用。感興趣的讀者可以思考:無質(zhì)量的粒子為什么可以組成有質(zhì)量的束縛態(tài)?

 

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