作為圖形科學(xué)的平面幾何

平面幾何作為圖形科學(xué)，其研究對(duì)象如下圖所示，是使用尺子和圓規(guī)作出來(lái)的圖形。描繪圖形是圖形科學(xué)的實(shí)驗(yàn)，圖形科學(xué)的理論用于解釋圖形現(xiàn)象，例如證明圖中P、Q、R 三點(diǎn)在同一條直線上。圖形的繪制需要保證正確性，這和在物理學(xué)中的實(shí)驗(yàn)必須嚴(yán)謹(jǐn)是一樣的。

平面幾何中，一般會(huì)把幾個(gè)基本法則當(dāng)作公理(Axiom)，根據(jù)公理通過(guò)論證來(lái)推導(dǎo)出各種各樣的定理(Theorem)，從而構(gòu)成一個(gè)體系，這叫作建立公理系統(tǒng)(Axiomatic system)。

在本章中，我將嘗試講述作為圖形科學(xué)的平面幾何及其嚴(yán)密的公理系統(tǒng)。

§1　公理系統(tǒng)

我們首先來(lái)明確公理。

公理Ⅰ　圖形可以在不改變其形狀和大小的情況下改變其位置。

這是前文引用的《理解幾何學(xué)》中的公理Ⅰ，也是掛谷老師的教科書(shū)中的第一個(gè)公理。

公理Ⅱ　通過(guò)兩點(diǎn)的直線有且只有一條。

這是掛谷老師的教科書(shū)中的第二個(gè)公理。在這里，“直線”的意思是《理解幾何學(xué)》中解釋的沒(méi)有端點(diǎn)的無(wú)限直線。通過(guò)兩點(diǎn)A 和B 的直線叫作直線 AB。

線段，射線　在直線AB 上，點(diǎn)A 和點(diǎn)B 之間的部分叫作線段AB，A和B 是線段AB 的端點(diǎn)。線段即《理解幾何學(xué)》中所說(shuō)的有限直線。線段AB 的長(zhǎng)度用AB 來(lái)表示。當(dāng)然，

BA = AB

連接A、B 兩點(diǎn)的線段AB，其長(zhǎng)度為AB，這叫作 A 和 B 的距離。

從直線 AB 截取線段 AB 后，直線 AB 剩余的部分叫作線段 AB 的延長(zhǎng)線。

在直線上取一點(diǎn)O，O 把這條直線分成兩個(gè)部分。這兩個(gè)部分都叫作射線，O 叫作直線的開(kāi)端或者端點(diǎn)。把 O 作為端點(diǎn)且通過(guò)點(diǎn)A 的這條射線叫作射線 OA，從直線 OA 截取射線 OA 后，直線 OA 剩余的部分叫作射線 OA 的延長(zhǎng)線。另外，把 O 作為端點(diǎn)的射線叫作從 O 出發(fā)的射線。

角

角是從一點(diǎn) O 出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的圖形，O 是角的頂點(diǎn)，兩條射線是邊。在《理解幾何學(xué)》中，角的定義是“從一點(diǎn)畫(huà)出來(lái)的兩條射線所截取的平面的一部分”。但是，本書(shū)認(rèn)為，角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的圖形，兩條射線截取的平面的一部分（紅色部分）

稱作角的內(nèi)部。角的內(nèi)部是角的兩邊所圍成的平面。

在直線上取兩點(diǎn)A、B，則可以把這條直線稱作直線AB。在角的兩邊分別取與頂點(diǎn)O 不同的點(diǎn)A 和點(diǎn)B，則可以把這個(gè)角稱作角AOB。角AOB 用∠AOB來(lái)表示，當(dāng)然，∠AOB 和∠BOA 是相同的角。

角的大小　《理解幾何學(xué)》中把角的大小定義為：“其一條邊圍繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)，一直轉(zhuǎn)到另一條邊時(shí)的旋轉(zhuǎn)量?！痹偾逦恍┙忉尩脑?，圍繞點(diǎn)O 周?chē)D(zhuǎn)的射線OX 從射線OA 的位置出發(fā)，一直旋轉(zhuǎn)至射線OB 的位置，此時(shí)，射線OX的旋轉(zhuǎn)量為∠AOB 的大小。∠AOB 的大小同樣用符號(hào)∠AOB 來(lái)表示。角的大小∠AOB 是正實(shí)數(shù)?！螧OA 和∠AOB 相同，所以

∠BOA = ∠AOB

∠AOB 常常簡(jiǎn)寫(xiě)成∠O，此時(shí)，角的大小∠AOB 也寫(xiě)成∠O。

定義在射線 OX 上 OE = 1 處的點(diǎn)為 E 點(diǎn)，當(dāng)射線 OX 從 OA 旋轉(zhuǎn)至 OB 時(shí)，點(diǎn) E 作出一個(gè)圓弧。這個(gè)圓弧的長(zhǎng)度是射線 OX 的旋轉(zhuǎn)量，這樣來(lái)想的話，我們就很清楚地明白旋轉(zhuǎn)量的意思了。但是，圓弧的長(zhǎng)度是平面幾何范圍外的知識(shí)，所以我們不能使用圓弧的長(zhǎng)度來(lái)定義角的大小。

要想測(cè)量角的大小，從實(shí)用的角度來(lái)說(shuō)，使用量角器是很方便的。量角器的刻度表示圓弧的長(zhǎng)度，所以用量角器測(cè)量角的大小和用圓弧的長(zhǎng)度表示角的大小的原理是相同的。

點(diǎn)C在∠AOB 內(nèi)部時(shí)，如果作出射線OC，∠AOB 就會(huì)分成∠AOC 和∠COB兩個(gè)角。這時(shí)，角的大小的等式為

（1.1）　∠AOB = ∠AOC + ∠COB

三角形

三角形　不在同一條直線上的三點(diǎn)A、B、C 兩兩連接變成線段BC、CA、AB，它們構(gòu)成的圖形叫作三角形ABC，用符號(hào)△ABC 來(lái)表示。點(diǎn)A、B、C 叫作△ABC的頂點(diǎn)，線段BC、CA、AB 叫作ABC的邊?！螧AC、∠ABC、∠BCA 叫作△ABC的角或者內(nèi)角，有時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)成∠A、∠B、∠C。另外，把∠A、∠B、∠C 分別叫作邊BC、CA、AB 的對(duì)角，邊BC、CA、AB 分別叫作∠A、∠B、∠C 的對(duì)邊。由三條線段BC、CA、AB 圍成的部分平面（陰影部分）叫作 △ABC 的內(nèi)部。

公理Ⅲ　在 △ABC 中

AB < AC + CB

《理解幾何學(xué)》的公理Ⅲ結(jié)合了此處講到的公理Ⅱ與公理Ⅲ*。

公理Ⅲ*　線段AB 是連接點(diǎn)A 和點(diǎn)B 兩點(diǎn)間的最短距離。

我們可以知道，公理Ⅲ是公理Ⅲ 的特殊情況。在本章的平面幾何中，如果有公理Ⅲ，便不需要公理Ⅲ。我們用公理Ⅲ取代公理Ⅲ*。

注意　在平面幾何中，長(zhǎng)度被明確定義的線僅僅是有限個(gè)線段連接而成的折線。舉例來(lái)說(shuō)，公理Ⅲ* 實(shí)際上主張，當(dāng)把點(diǎn)A 和點(diǎn)B 像前一頁(yè)最下方的圖那樣用折線連接起來(lái)的時(shí)候，則

AB < AC + CD + DE + EB

將這個(gè)不等式與公理Ⅲ結(jié)合，可以做如下證明。

AB < AE + EB < AD + DE + EB 

< AC + CD + DE + EB

公理Ⅲ* 比公理Ⅲ要常見(jiàn)，但實(shí)際上與公理Ⅲ相同。

初中生應(yīng)該很容易明白公理Ⅰ的意思。我也是在舊制中學(xué)時(shí)毫無(wú)異義地接受了公理Ⅰ。但是，仔細(xì)一想，我注意到，雖說(shuō)圖形可以在不改變其形狀和大小的情況下改變其位置，但是“形狀和大小”的意思并不是很清晰。慶幸的是，在本章中，適用公理Ⅰ的圖形都是三角形。關(guān)于三角形，△ABC 的“形狀和大小”是由 3 個(gè)角∠A、∠B、∠C 的大小與 3 條邊 BC、CA、AB 的長(zhǎng)度來(lái)決定的。因此在適用三角形的情況下，公理Ⅰ變成如下內(nèi)容：

公理Ⅰ△　三角形可以在不改變 3 個(gè)角的大小和 3 條邊的長(zhǎng)度的情況下改變其位置。

這叫作移動(dòng)① 三角形。

如果將平面上的三角形看作是把三角尺放置在平面上，那么就可以隨意平移、旋轉(zhuǎn)三角形。在平面幾何中，三角形并不是放置在平面上的，但是，與在平面上移動(dòng)三角尺一樣，平面幾何中的三角形也可以自由移動(dòng)，這就是公理Ⅰ△。

如上所述，本章適用公理Ⅰ的圖形僅限于三角形，所以在此舍棄公理Ⅰ，取而代之使用公理Ⅰ△。因此就可以不使用“形狀和大小”這種模糊的表達(dá)方式了。以防萬(wàn)一，我們?cè)诖苏砜偨Y(jié)一下前面提到的公理。

公理Ⅰ△　三角形可以在不改變3 個(gè)角的大小和3 條邊的長(zhǎng)度的情況下，改變其位置。

公理Ⅱ　通過(guò)兩點(diǎn)的直線有且只有一條。

公理Ⅲ　在△ABC 中，AB < AC + CB。

平角

如下圖所示，當(dāng)A、O、B 三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，把兩條射線OA 和OB 組成

的圖形視為角，用∠AOB 來(lái)表示，這叫作平角。直線AB 把平面分成兩個(gè)部分。其中的一部分（下圖中的陰影部分）叫作平角的內(nèi)部。圍繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)的射線OX 從射線OA 旋轉(zhuǎn)至射線OB，此時(shí)旋轉(zhuǎn)量的大小為平角的大小。因此，當(dāng)點(diǎn)C 位于平角∠AOB 內(nèi)部時(shí)，等式∠AOB = ∠AOC + ∠COB（1.1）成立。

定理1.1　平角都相等。也就是說(shuō)，如果∠AOB 和∠CPD 都是平角，那么

∠AOB = ∠CPD

證明請(qǐng)見(jiàn)書(shū)中詳述

上文節(jié)選自《幾何世界的邀請(qǐng)》, 已獲圖靈許可, 特此感謝! 部分圖形由 [遇見(jiàn)數(shù)學(xué)] 重新制作.