由于帶電粒子往往是在有界磁場中運動，粒子在磁場中只運動一段圓弧就飛出磁場邊界，其軌跡不是完整的圓，因此，此類問題往往要根據(jù)帶電粒子運動的軌跡作相關(guān)圖去尋找?guī)缀侮P(guān)系，分析臨界條件：（1）帶電體在磁場中，離開一個面的臨界狀態(tài)是對這個面的壓力為零；（2）射出或不射出磁場的臨界狀態(tài)是帶電體運動的軌跡與磁場邊界相切。然后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和相應(yīng)物理規(guī)律分析求解。

1、兩種思路

一是以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后再分析、討論臨界條件下的特殊規(guī)律和特殊解；

二是直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過臨界條件求出臨界值。

2、兩種方法

一是物理方法：

（1）利用臨界條件求極值；

（2）利用問題的邊界條件求極值；

（3）利用矢量圖求極值。

二是數(shù)學(xué)方法：

（1）利用三角函數(shù)求極值；

（2）利用二次方程的判別式求極值；

（3）利用不等式的性質(zhì)求極值；

（4）利用圖像法等。

3、從關(guān)鍵詞中找突破口：許多臨界問題，題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示。審題時，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律。

例1、如圖1所示，一帶正電的質(zhì)子從O點垂直射入，兩個板間存在垂直紙面向里的勻強磁場，已知兩板之間距離為d，板長為d，O點是板的正中間，為使粒子能射出兩板間，試求磁感應(yīng)強度B的大?。ㄙ|(zhì)子的帶電量為e，質(zhì)量為m）。

圖1

解析：第一種極端情況從M點射出，此時軌道的圓心為O′點，由平面幾何知識可得

而帶電粒子在磁場中的軌道半徑，

第二種極端情況是粒子從N點射出，此時粒子正好走了半個圓，其軌道半徑為。

綜合上述兩種情況，得。

例2、如圖2所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊的中點O處，垂直磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為的帶電粒子。已知粒子質(zhì)量為m，電量為q，ad邊長為l，重力影響不計。

  （1）試求粒子能從ab邊射出磁場的值。

  （2）在滿足粒子從ab邊射出磁場的條件下，粒子在磁場中運動的最長時間是多少？

圖2

解析：（1）由于有界磁場區(qū)域的限制，使帶電粒子由ab邊射出磁場時的速度有一定的范圍。以的較小值和較大值為臨界值，可知當(dāng)較小時，運動軌跡恰好與ab邊相切；當(dāng)較大時，則恰好與dc邊相切，然后從ab邊穿出，如圖3所示。

圖3

當(dāng)速度較小為時，有。

解得

又由半徑公式，可得。

當(dāng)速度較大為時，有。

又由半徑公式，可得。

可見，帶電粒子在磁場中從ab邊射出時，其速度范圍應(yīng)為：

（2）帶電粒子在磁場中運動的周期為。要使帶電粒子運動的時間長，其運動軌跡所對的圓心角應(yīng)最大。所以當(dāng)速度為時，粒子在磁場中運動的時間最長。即有

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