之前你已經(jīng)了解概率的基礎(chǔ)知識（如果還不知道概率能干啥，在生活中有哪些應(yīng)用的例子，可以看我之前的《投資賺錢與概率》）。

今天我們來聊聊幾種特殊的概率分布。這個知識目前來看，還沒有人令我滿意的答案，因為其他人多數(shù)是在舉數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式。我這個人是最討厭數(shù)學(xué)公式的，但是這并不妨礙我用統(tǒng)計概率思維做很多事情。相比熟悉公式，我更想知道學(xué)的這個知識能用到什么地方。可惜，還沒有人講清楚。今天，就讓我來當(dāng)回雷鋒吧。

首先，你想到的問題肯定是：

1. 什么是概率分布？ 2. 概率分布能當(dāng)飯吃嗎？學(xué)了對我有啥用？

好了，我們先看下：什么是概率分布？

1. 什么是概率分布？

要明白概率分布，你需要知道先兩個東東：

1）數(shù)據(jù)有哪些類型 2）什么是分布

數(shù)據(jù)類型（統(tǒng)計學(xué)里也叫隨機變量）有兩種。第1種是離散數(shù)據(jù)。

離散數(shù)據(jù)根據(jù)名稱很好理解，就是數(shù)據(jù)的取值是不連續(xù)的。例如擲硬幣就是一個典型的離散數(shù)據(jù)，因為拋硬幣的就2種數(shù)值（也就是2種結(jié)果，要么是正面，要么是反面）。

你可以把離散數(shù)據(jù)想象成一塊一塊墊腳石，你可以從一個數(shù)值調(diào)到另一個數(shù)值，同時每個數(shù)值之間都有明確的間隔。

第2種是連續(xù)數(shù)據(jù)。連續(xù)數(shù)據(jù)正好相反，它能取任意的數(shù)值。例如時間就是一個典型的連續(xù)數(shù)據(jù)1.25分鐘、1.251分鐘，1.2512分鐘，它能無限分割。連續(xù)數(shù)據(jù)就像一條平滑的、連綿不斷的道路，你可以沿著這條道路一直走下去。

什么是分布呢？

數(shù)據(jù)在統(tǒng)計圖中的形狀，叫做它的分布。

其實我們生活中也會聊到各種分布。比如下面不同季節(jié)男人的目光分布.。

各位老鐵，來一波美女，看看你的目光停在哪個分布的地方。

美女也看了，現(xiàn)在該專注學(xué)習(xí)了吧?，F(xiàn)在，我們已經(jīng)知道了兩件事情：

1）數(shù)據(jù)類型（也叫隨機變量）有2種：離散數(shù)據(jù)類型（例如拋硬幣的結(jié)果），連續(xù)數(shù)據(jù)類型（例如時間） 2）分布：數(shù)據(jù)在統(tǒng)計圖中的形狀

現(xiàn)在我們來看看什么是概率。概率分布就是將上面兩個東東（數(shù)據(jù)類型+分布）組合起來的一種表現(xiàn)手段：

概率分布就是在統(tǒng)計圖中表示概率，橫軸是數(shù)據(jù)的值，縱軸是橫軸上對應(yīng)數(shù)據(jù)值的概率。

很顯然的，根據(jù)數(shù)據(jù)類型的不同，概率分布分為兩種：離散概率分布，連續(xù)概率分布。

那么，問題就來了。為什么你要關(guān)心數(shù)據(jù)類型呢？

因為數(shù)據(jù)類型會影響求概率的方法。

對于離散概率分布，我們關(guān)心的是取得一個特定數(shù)值的概率。例如拋硬幣正面向上的概率為:p(x=正面)=1/2

而對于連續(xù)概率分布來說，我們無法給出每一個數(shù)值的概率，因為我們不可能列舉每一個精確數(shù)值。

例如，你在咖啡館約妹子出來，你提前到了。為了給妹子留下好印象，你估計妹子會在5分鐘之內(nèi)出現(xiàn)，有可能是在4分鐘10秒以后出現(xiàn)，或者在4分鐘10.5秒以后出現(xiàn)，你不可能數(shù)清楚所有的可能時間，你更關(guān)心的是在妹子出現(xiàn)前的1-5分鐘內(nèi)（范圍），你把發(fā)型重新整理下（雖然你因為加班頭發(fā) 已經(jīng)禿頂了，但是發(fā)型不能亂），給妹子留個好印象。所以，對于像時間這樣的連續(xù)型數(shù)據(jù)，你更關(guān)心的是一個特定范圍的概率是多少。

2. 概率分布能當(dāng)飯吃嗎？學(xué)了對我有啥用？

當(dāng)統(tǒng)計學(xué)家們開始研究概率分布時，他們看到，有幾種形狀反復(fù)出現(xiàn)，于是就研究他們的規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律來解決特定條件下的問題。

想起，當(dāng)年為了備戰(zhàn)高考，我是準(zhǔn)備了一個自己的“萬能模板”，任何作文題目過來，我都可以套用該模板，快速解決作文這個難題。當(dāng)你，我高考的作文分?jǐn)?shù)還是不錯的。（我聰明吧）

同樣的，記住概率里這些特殊分布的好處就是：

下次遇到類似的問題，你就可以直接套用“模板”（這些特殊分布的規(guī)律）來解決問題了。

酷不酷？爽不爽？

接下里，我們一起來聊聊常見的4種概率分布。

1）3種離散概率分布

二項分布 泊松分布 幾何何分布

2）1種連續(xù)概率分布

正態(tài)分布

在開始介紹之前，你先回顧下這兩個知識：

期望：概率的平均值 標(biāo)準(zhǔn)差：衡量數(shù)據(jù)的波動大小。

第1種：二項分布

我們從下面3個問題開聊：

1. 二項分布有啥用？ 2. 如何判斷是不是二項分布？ 3. 二項分布如何計算概率？

1. 二項分布有啥用呢？

當(dāng)你遇到一個事情，如果該事情發(fā)生次數(shù)固定，而你感興趣的是成功的次數(shù)，那么就可以用二項分布的公式快速計算出概率來。

例如你按我之前的《投資賺錢與概率》買了這5家公司的股票（谷歌，F(xiàn)acebook，蘋果，阿里巴巴，騰訊），為了保底和計算投入進去多少錢，你想知道只要其中3個股票幫你賺到錢（成功的次數(shù)）的概率多大，那么這時候就可以用二項分布計算出來。

牛掰吧？

2. 如何判斷是不是二項分布？

首先，為啥叫二項，不叫三項，或者二愣子呢？故明思義，二項代表事件有2種可能的結(jié)果，把一種稱為成功，另外一種稱為失敗。

生活中有很多這樣2種結(jié)果的二項情況，例如你表白是二項的，一種成功（恭喜你表白成功，可以戀愛了，興奮吧？），一種是失?。ū痪芙^了，傷不傷心？）。你向老板提出加薪的要求，結(jié)果也有兩種（二項）。一種是成功（加薪成功，老板我愛你），一種是失?。榈埃唤o漲薪老子不干了，像是這種有統(tǒng)計概率思維的人，是很稀缺的，明天就投簡歷出去）

那么，什么是二項分布呢？只要符合下面3個特點就可以判斷某事件是二項分布了：

1）做某件事的次數(shù)（也叫試驗次數(shù)）是固定的，用n表示。

（例如拋硬幣3次，投資5支股票），

2）每一次事件都有兩個可能的結(jié)果（成功，或者失?。?/span>

（例如每一次拋硬幣有2個結(jié)果：正面表示成功，反面表示失敗。

每一次投資美股有2個結(jié)果：投資成功，投資失敗）。

3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示

（例如每一次拋硬幣正面朝上的概率都是1/2。

你投資了5家公司的股票，假設(shè)每一家投資盈利成功的概率都相同）

4）你感興趣的是成功x次的概率是多少。那么就可以用二項分布的公式快速計算出來了。

（你已經(jīng)知道了我前面講的5家美股的賺錢概率最大，所以你買了這5家公司的股票，假設(shè)投資的這5家公司成功的概率都相同，那么你關(guān)心其中只要有3個投資成功，你就可以賺翻了，所以想知道成功3次的概率）

根據(jù)這4個特點，我們就知道拋硬幣是一個典型的二項分布，還有你投資的這5支股票也是一個典型的二項分布（在假設(shè)每家公司投資成功的前提下）。

3. 二項分布如何計算概率？

怎么計算符合二項分布事件的概率呢？也就是你想知道下面的問題：

你拋硬幣3次，2次正面朝上的概率是多少？ 你買了這5家公司的股票，3支股票賺錢的概率是多大？

上面我們已經(jīng)知道了二項分布的4個特點，并知道每個特點的表示方法：

1）做某件事次數(shù)是固定的，用n表示
2）每一次事件都有兩個可能的結(jié)果（成功，或者失敗）
3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示
4）你感興趣的是成功x次的概率是多少

這時候，二項分布的公式就可以發(fā)揮威力了：

這里你也別害怕數(shù)學(xué)公式，每一項的含義我前面已經(jīng)講的很清楚了。這個公式就是計算做某件事情n次，成功x次的概率的。很多數(shù)據(jù)分析工具（Excel，Python，R）都提供工具讓你帶入你研究問題的數(shù)值，就能得到結(jié)果。

例如，拋硬幣5次（n），恰巧有3次正面朝上(x=3，拋硬幣正面朝上概率p=1/2)，可以用上面的公式計算出出概率為31.25%（用Excel的BINOM.DIST函數(shù)，Python，R都可以快速計算)

二項分布經(jīng)常要計算的概率還有這樣一種情況：

拋硬幣5次，硬幣至少有3次正面朝上（即x>=3）的概率是多少？

你能直接想到的簡單方法是：將恰巧有3次，恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加，結(jié)果便是至少3次，為50%。

但是如果次數(shù)很多，這樣的辦法簡直是給自己挖了一個大大的坑。

我們用逆向思維換個思路，至少3次正面朝上的反向思考是什么呢？

反向思路就是最多2次正面朝上。只要我們先計算出最多2次正面朝上的概率p(x<=2)，那么至少3次正面朝上的概率就是1-p(x<=2)。

這樣用逆向思維，就把一個復(fù)雜的問題，化解為簡單的問題。因為求做多2次朝上的概率比較簡單：

p(x<=2)=p(0)+p(1)+p(2)

最好提下二項分布的：

期望E(x)=np （表示某事情發(fā)生n次，預(yù)期成功多少次。）

知道這個期望有啥用呢？

做任何事情之前，知道預(yù)期結(jié)果肯定對你后面的決策有幫助。比如你拋硬幣5次，每次概率是1/2，那么期望E(x)=5*1/2=2.5次，也就是有大約3次你可以拋出正面。

在比如你之前投資的那5支股票，假設(shè)每支股票幫你賺到錢的概率是80%，那么期望E(x)=5*80%=4，也就是預(yù)期會有4只股票投資成功幫你賺到錢。

第2種：幾何分布

其實我一直把幾何分布，叫做二項分布的孿生兄弟，因為他兩太像了。只有1點不同，就像海爾兄弟只有內(nèi)褲不同一樣。

我們還是從下面這個套路聊起來一起找出這個不同的“勁爆點”：

1 . 幾何分布有啥用？ 2. 如何判斷是不是幾何分布？ 3. 幾何分布如何計算概率？

1.幾何分布有啥用？

如果你需要知道嘗試多次能取得第一次成功的概率，則需要幾何分布。

2. 如何判斷是不是幾何分布？

只要符合下面4個特點就可以判別你做的事情是就是幾何分布了：

1）做某事件次數(shù)（也叫試驗次數(shù)）是固定的，用n表示
（例如拋硬幣3次，表白5次），
2）每一次事件都有兩個可能的結(jié)果（成功，或者失?。?/span>
（例如每一次拋硬幣有2個結(jié)果：正面表示成功，反面表示失敗。
每一次表白有2個結(jié)果：表白成功，表白失敗）。
3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示
（例如每一次拋硬幣正面朝上的概率都是1/2。
假設(shè)你是初出茅廬的小伙子，還不是老油條，所以你表白每一次成功的概率是一樣的）
4）你感興趣的是，進行x次嘗試這個事情，取得第1次成功的概率是多大。
（例如你在玩拋硬幣的游戲，想知道拋5次硬幣，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。

你表白你的暗戀對象，你希望知道要表白3次，心儀對象答應(yīng)和你手牽手的概率多大。）

正如你上面看到的，幾何分布和二項分布只有第4點，也就是解決問題目的不同。這個點夠不夠勁爆？（嘻嘻）

3. 幾何分布如何計算概率？

用下面公式就可以了：

p為成功概率，即為了在第x次嘗試取得第1次成功，首先你要失?。▁-1）次。

假如在表白之前，你計算出即使你嘗試表白3次，在最后1次成功的概率還是小于50%，還沒有拋硬幣的概率高。那你就要考慮換個追求對象。或者首先提升下自己，提高自己每一次表白的概率，比如別讓自己的鼻毛長出來。我之前讀書的一個師兄，每天鼻毛長出來，看的我都惡心，何況其他人呢。

幾何分布的期望是E(x)=1/p。代表什么意思呢？

假如你每次表白的成功概率是60%，同時你也符合幾何分布的特點，所以期望E(x)=1/p=1/0.6=1.67

所以你可以期望自己表白1.67次（約等于2次）會成功。這樣的期望讓你信息倍增，起碼你不需要努力上100次才能成功，2次還是能做到的，有必要嘗試下。

幾何分布的標(biāo)準(zhǔn)差：

第3種泊松分布

還是同樣的味道，還是同樣的討論，我們一起通過下面3個問題了解這個泊松分布。

1. 泊松分布有啥用？ 2. 如何判斷是不是泊松分布？ 3. 泊松分布如何計算概率？

1. 泊松分布有啥用？

如果你想知道某個時間范圍內(nèi)，發(fā)生某件事情x次的概率是多大。這時候就可以用泊松分布輕松搞定。比如一天內(nèi)中獎的次數(shù)，一個月內(nèi)某機器損壞的次數(shù)等。

知道這些事情的概率有啥用呢？

當(dāng)然是根據(jù)概率的大小來做出決策了。比如你搞了個抽獎活動，最后算出來一天內(nèi)中獎10次的概率都超過了90%，然后你順便算了下期望，再和你的活動成本比一下，發(fā)現(xiàn)要賠不少錢。那這個活動就別搞了。

泊松分布的形狀會隨著平均值的不同而有所變化，無論是一周內(nèi)多少人能贏得彩票，還是每分鐘有多少人會打電話到呼叫中心，泊松分布都可以告訴我們它們的概率。

2. 什么是泊松分布？

符合以下3個特點就是泊松分布：

1）事件是獨立事件
（之前如果你看過我的《投資賺錢與概率》已經(jīng)知道賭徒謬論了，所以類似抽獎這樣的就是獨立事件）
2）在任意相同的時間范圍內(nèi)，事件發(fā)的概率相同
（例如1天內(nèi)中獎概率，與第2天內(nèi)中間概率相同）
3）你想知道某個時間范圍內(nèi)，發(fā)生某件事情x次的概率是多大
（例如你搞了個促銷抽獎活動，想知道一天內(nèi)10人中獎的概率）

用x代表事情發(fā)的次數(shù)（例如中獎10個人中獎），u代表給定時間范圍內(nèi)事情發(fā)生的平均次數(shù)（例如你搞的抽獎活動1天平均中獎人數(shù)是5人），概率計算公式為：

可別被上面的公式嚇到，數(shù)學(xué)公式就是紙老虎，現(xiàn)在有很多工具（Excel，Python，R）都可以直接計算出來這個概率，所以也別記住這個公式，用的時候知道泊松分布適合啥時候用就妥了。

例如你搞了個促銷抽獎活動，只知道1天內(nèi)中獎的平均個數(shù)為5個，你想知道1天內(nèi)恰巧中獎次數(shù)為7的概率是多少？

此時x=7，u=5（區(qū)間內(nèi)發(fā)生的平均次數(shù)），代入公式求出概率為10.44%。Excel中的函數(shù)為POISSON.DIST就可以立馬算出來。

泊松概率還有一個重要性質(zhì)，它的數(shù)學(xué)期望和方差相等，都等于u

1. 什么是概率分布？

概率分布就是在統(tǒng)計圖中表示概率，橫軸是數(shù)據(jù)的值，縱軸是橫軸上對應(yīng)數(shù)據(jù)值的概率。

2. 概率分布能當(dāng)飯吃嗎？學(xué)了對我有啥用？

下次遇到類似的問題，你就可以直接套用“模板”（這些特殊分布的規(guī)律）來求得概率了。

3.特殊的概率分布有哪些？

3種離散概率分布，分別代表了解決3種問題的“萬能模板”

二項分布（Binomial distribution）

符合以下4個特點的就是二項分布

1）做某件事的次數(shù)是固定的。

2）每一次事件都有兩個可能的結(jié)果（成功，或者失?。?/p>

3）每一次成功的概率都是相等的

4）你感興趣的是成功x次的概率是多少

案例：

拋5次硬幣，有2次正面朝上的概率是多少

你買了之前我介紹你的5家公司的股票，假設(shè)投資的這5家公司成功的概率都相同，那么你關(guān)心其中只要有3個投資成功，你就可以賺翻了，所以想知道成功3次的概率多大。

幾何何分布（Geometric distribution）

只要符合下面4個特點就可以判別你做的事情是就是幾何分布了：

1）做某事件次數(shù)（也叫試驗次數(shù)）是固定

2）每一次事件都有兩個可能的結(jié)果

3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示

4）你感興趣的是，進行x次嘗試這個事情，取得第1次成功的概率是多大。

案例：例如你在玩拋硬幣的游戲，想知道拋5次硬幣，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。

表白3次，第3次成功的概率多大

泊松分布（poisson distribution）

符合以下3個特點就是泊松分布：

1）事件是獨立事件

2）在任意相同的時間范圍內(nèi)，事件發(fā)的概率相同

3）你想知道某個時間范圍內(nèi)，發(fā)生某件事情x次的概率是多大

案例：例如你搞了個促銷抽獎活動，想知道一天內(nèi)10人中獎的概率

例如你是公司質(zhì)檢管理員，想知道一個月內(nèi)某機器損壞的10次（假如超過10次一句認為不合格）的概率是多少。

1種連續(xù)概率分布：正態(tài)分布（Normal distribution）

這個分布在生活中太有用了，給我一種相見恨晚的“勁爆感”，留著下次聊

如何連接我？

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雖然...是作業(yè)....吧？但是我最近正好在復(fù)習(xí)，就隨意答答...不夠全面的話求輕噴

二項分布和泊松分布都是離散變量的分布，所以二項分布可以在n很大，p接近0時直接轉(zhuǎn)化為泊松分布。